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高中数学竞赛 平面几何的几个重要的定理


平面几何的几个重要的定理---梅涅劳斯定理
定理1 :若直线l不经过?ABC的顶点,并且与?ABC的三边BC、CA、AB或它们 的延长线分别交于P、Q、R,则 BP CQ AR ? ? ?1 PC QA RB

例1.若直角?ABC中,CK 是斜边上的高,CE是?ACK的平分线,E点 在AK上,D是AC的中点,F 是DE与CK的交点,证明:BF //

CE。
练习 1.从点K引四条直线,另两条直线分别交这四条直线于A、B、C、D AC AD A1C1 A1D1 和A1、B1、C1、D1,试证: : ? : BC BD B1C1 B1D1
定理2:设P、Q、R分别是?ABC的三边BC、CA、AB上或它们的延长线上的三点, BP CQ AR 并且 P、Q、R三点中,位于?ABC边上的点的个数为0或2,这时若 ? ? ? 1, PC QA RB 求证:P、Q、R三点共线;

例2.点P位于?ABC的外接圆上;A1、B1、C1是从点P向BC、CA、AB引的垂线的垂足, 证明点A1、B1、C1共线. 练习2.设不等腰?ABC的内切圆在三边BC、CA、 AB上的切点分别为D、E、F, 则EF与BC, FD与CA,DE与AB的交点X 、Y、Z 在同一条 直线上.
练习3.已知直线AA1,BB1,CC1相交于O,直线AB和 A1B1的交点为C2,直线BC与B1C1 的交点是A2,直 线AC与AC 的交点是B2,试证:A2、B2、C2三点共线. 1 1

练习4.在一条直线上取点E、C、A,在另一条上取点B、F、D,记直线AB和ED, CD和AF,CD和AF,EF 和BC的交点依次为L、M、N,证明:L、M 、N 共线

平面几何的几个重要定理--西姆松定理
西姆松定理:若从 ?ABC外接圆上一点 P作BC、AB、AC的垂线, 垂足分别为 D、E、F, 则D、E、F三点共线;

西姆松的逆定理:从一点P向?ABC的三边(或它们的延长线)作垂线, 若其垂足 L、M、N 在同一直线上,则P在?ABC的外接圆上. 例1.设?ABC的三条垂线AD、BE、CF的垂足分别为 D、E、F;从点D作AB、BE、CF、 AC的垂线,其垂足分别为 P、Q、R、S,求证P、Q、R、S在同一直线上;

例2.四边形ABCD是圆内接四边形,且 ?D是直角,若从 B作直线AC、AD的垂线,垂足 分别为E、F,则直线EF平分线段BD。 例3.求证:四条直线两两相 交所构成的四个三角形 的外接圆相交于一点, 且由该点向四条 直线所作垂线的垂足在 一条直线上;

例4.设?ABC的外接圆的任意直径为 PQ,则关于P、Q的西姆松线是互相垂直 的。

练习 1、四边形ABCD是圆内接四边形,且 ?CDA是直角,若从 B点作直线AC、AD的垂线, 垂足分别为 E、F,求证:EF或其延长线平分 BD; 练习3.设?ABC的垂心为H,其外接圆上任意一点P,求证 : ?ABC关于P点的西姆松线过 线段PH的中点.

平面几何的几个重要定理――塞瓦定理
塞瓦定理:

设P、Q、R分别是?ABC的BC、CA、AB边上的点,则AP、BQ、CR三线共点 BP CQ AR 的充要条件是 : ? ? ?1 PC QA RB
例1.证明:三角形的中线交于一点. 练习 1.证明:三角形的角平分线交于一点. 练习2.证明:锐角三角形的高交于一点.

例2.在锐角?ABC中,角?C的平分线交于AB于L,从L作边AC和BC的垂线,垂 足分别是M 和N,设AN 和BM的交点是P,证明:CP ? AB. 例3.设AD是?ABC的高,且D在BC边上,若P是AD上任一点,BP、CP分别与AC、 AB交于E和F,则?EDA=?FDA 练习3.已知?ABC外有三点M、N、R,且?BAR ? ?CAN ? ? , ?CBM ? ?ABR ? ? , ?ACN ? ?BCM ? ? ,证明:A、BN、CR三线共点;

例4.在?ABC的边BC、CA、AB上取点A1、B1、C1, AC BA CB sin ?ACC1 sin ?BAA 1 sin ?CBB 1 证明: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? C1 B A1C B1 A sin ?C1CB sin ?A1 AC sin ?B1BA
练习4.在?ABC的边BC、CA、AB上取点A1、B1、C1,使AA1、BB1、CC1相交于 一点,证明,关于角平分线对称于这些直线的直线AA2、BB2、CC2也相交 于一点;
课外作业:

1.设A1、B1、C1是?ABC的内切圆与边 BC、CA、AB的切点,证明: 直线AA1、BB1、 CC1三线共点;
2.从圆上的点A、D引切线,相交于点 S。在AD弧上取点B和C,直线AC和BD相交于 P,AB和CD相交于点Q,证明,直线 PQ过点S;

3.在?ABC的边上向外作正方形,A1、B1、C1是正方形的边BC、CA、AB的对边的中点, 证明,直线AA1、BB1、CC1相交于一点;

平面几何的几个重要定理--托勒密定理
托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等 于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之 和).

即:

设四边形ABCD内接于圆,则有: AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? BD;

定理:在四边形ABCD中,有:AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? BD 并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时,等式成立.
一、直接应用托勒密定理 例 1 如图 2,P 是正△ABC 外接圆的劣弧 (不与 B、C 重合), 求证:PA=PB+PC. 二、完善图形 借助托勒密定理 例 2 证明“勾股定理”: 在 Rt△ABC 中,∠B=90°,求证:AC2=AB2+BC2 例 3 如图,在△ABC 中,∠A 的平分 线交外接∠圆于 D, 连结 BD,求证:AD·BC=BD(AB+AC). 上任一点

三、构造图形 借助托勒密定理 例 4 若 a、b、x、y 是实数,且 a2+b2=1,x2+y2=1. 求证:ax+by≤1. 四、巧变原式 妙构图形,借助托勒密定理 例 5 已知 a、b、c 是△ABC 的三边,且 a2=b(b+c),求证:∠A=2∠B. 五、巧变形 妙引线 借助托勒密定理

例 6 在△ABC 中,已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,

练习:
1.已知△ABC 中,∠B=2∠C。求证:AC =AB +AB·BC。
2 2

2. 已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7。 求证: 。(第 21 届全苏数学竞赛)

3.由?ABC外接圆的弧BC上一点P分别向边BC、AC与AB作垂线PK、PL和PN, BC AC AB 求证: ? ? PK PL PM

4.将直角?ABC绕AB的中点M旋转至?A1 B1C1,使得BC与B1C1交于D点,AC与A1C1 交于E点,证明: C、D、E、M四点共圆;


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