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福建省厦门市海沧中学2015届春季高考班数学期中考试卷


福建省厦门市海沧中学 2015 届春季高考班数学期中考试卷
一、选择题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题 目要求,请将答案填写在答题卡上. 1、.若集合 A= ?0,1,2,4? ,B= ?1, 2,3? ,则 A ? B =( )

A. ?0,1,2,3,4?

B

. ?0, 4?


C. ?1, 2?

D. ?3?

2.不等式 x 2 ? 3x ? 0 的解集是( A. (??,0) 3.函数 f ( x) ? A. {x | x ? 1} B. (0,3)

C. (??,0) )

(3, ??)

D. (3,??)

1 的定义域为( x ?1
B. {x | x ? 1}

C. {x ? R | x ? 0}

D. {x ? R | x ? 1} )

4.已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n ,若 a4 ? a5 ? 18 ,则 S8 = ( A.72 B. 68 C. 54 ) D. 90

5.圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 3 的圆心坐标和半径分别是( (A) (?1, 0),3 (B) (1, 0),3

(C) (?1,0), 3 ).

(D) (1, 0), 3

6.已知命题 p : ?x ? R,sin x ? 1, 则 ?p 是(

(A)?x ? R,sin x ? 1 (B)?x ? R,sin x ? 1 (C) ?x ? R,sin x ? 1 (D) ?x ? R,sin x ? 1 7. 若 a ? R , 则 a ? 0 是 a ? a ?1? ? 0 的( ) C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 8.下列函数 f ( x) 中,在 ?0,??? 上为增函数的是(

1 A. f ( x) ? x

B. f ( x) ? ( x ? 1)

2

C f ( x) ? ln x

?1? D. f ( x) ? ? ? ?2?
)

x

2 9.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? x ,则 f (1) ? (

A. ?3

B. ?1

C.1

D.3 A )

10.过点 A(2,3)且垂直于直线 2x+y-5=0 的直线方程为( (A)x-2y+4=0 (B)2x+y-7=0 (C)x-2y+3=0 解析:直线 2x+y-5=0 的斜率为 k=-2, ∴所求直线的斜率为 k′= , (D)x-2y+5=0

∴方程为 y-3= (x-2),即 x-2y+4=0.

11. cos 430 cos770 ? sin 430 cos1670 的值为( A、1 B、 ? 1 C、

) D、 ?

1 2


1 2

12.函数 y ? log2 x, x ? (0,16] 的值域是(

A.(??, ?4]

B.(??, 4]

C.[?4, ??)

D.[4, ??)


13、已知函数 f ?x? ? x 3 ? x 2 ? x ? 1 ,则 f ?x ? 在(0,1)处的切线方程为( A、 x ? y ? 1 ? 0 B、 x ? y ? 1 ? 0 C、 x ? y ? 1 ? 0 D、 x ? y ? 1 ? 0

14.如图,F1 ,F2 是双曲线 C1 : x ?
2

y2 ? 1 与椭圆 C2 的公共焦点,点 A 是 C1 ,C2 在第一象限的公共点.若 3


|F1 F2 |=|F1 A|,则 C2 的离心率是(

A.

1 3

B.

2 3

C.

2 2 或 3 5

D.

2 5

答案及解析: 14.B 由双曲线的方程可知 , ,由双曲线的定义可知

,所以由椭圆的定义知

,所以



福建省厦门市海沧中学 2015 届春季高考班数学期中考试卷答题卡
请将选择题答案填入下表: 题号 选项 1 C 2 B 3 B 4 A 5 D 6 C 7 A 8 C 9 A 10 A 11 D 12 B 13 C 14 B 得分

非选择题(共 80 分) 二、 填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。请把答案写在答题卡相应的位置上. 15、函数 y ? (2 ? a) x 在定义域内是减函数,则 a 的取值范围是

?1, 2?
4 3 , )是α 终边上一点, 5 5

16.已知角α 的顶点在原点,始边与 x 轴非负半轴重合,与单位圆的交点为 P(-

则 sin α =

3 5

.

2 2 1 |? 7, 则 PF = 17、已知椭圆的方程为 x ? 4 y ? 16 ,若 P 是椭圆上一点,且| PF 2

1

.

18.函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则 n= 解析: 由于 f(1)=-4<0, f(2)=ln 2-1<0, f(3)=2+ln 3>0, 又 f(x)在(0,+∞)上为增函数, 所以零点在区间(2,3)内,故 n=2.

.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 19、 (本小题满分共 12 分) 求函数 y ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 5 在[0,3]上的最大值与最小值 解:? f 令? f x
` `

?x? ? 6x 2 ? 6x ? 12

…………………………………………2 分

?x? ? 6x 2 ? 6x ? 12 ? 0 得 x=-1 或 x=2
0 (0,2) 5 递减 2 0 极小-15 (2,3) + 递增 -4 3

f ` ?x ?

f ?x ?

…………………………………………10 分 在[0,3]上的最大值为 5 21. (本小题满分共 10 分) 在锐角△ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已知 b=2,c=3,sinA= 求△ABC 的面积及 a 的值. 解:由三角形面积公式得 S ?ABC ?
2 2 . 3

最小值为-15

…………………………………………12 分

1 1 2 2 bc sin A ? ? 2 ? 3 ? ?2 2 2 2 3
…………………………………………4 分

A 为锐角且 sinA=

1 2 2 .得 cos A ? 3 3
…………………………………………6 分

由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3 ?

1 ?9?a?3 3

…………………………………………10 分 22、 (本小题满分共 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos x ? 3sin 2x ? 1 求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递増区间.
2

解: f ?x? ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x ? 1= 3 sin 2x ? cos2x ? 2 sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

…………………………………………6 分

?T ?

2? ?? 2

…………………………………………8 分

? 2k? ?

?

2

? 2x ?

?
6

?

?
2

? 2k? ? 2k? ?

2? ? ? ? ? 2 x ? ? 2k? ? k? ? ? x ? ? k? 3 3 3 6
…………………………………………10 分

? ? ? ? ?单调递増区间为 ?k? ? , ? k? ? , k ? Z 3 6 ? ?
23. (本小题满分共 12 分)等比数列 (I)求数列 (II)若 的通项公式; 分别为等差数列 中,

…………………………………………12 分



的第 4 项和第 16 项,试求数列

的前 项和



答案及解析: 22.解: (Ⅰ)设

{an }

的公比为 ,由已知得 16 ? 2q ,解得 q ? 2 .

q

3

………………3 分

又 a1 ? 2 ,所以

an ? a1q n ?1 ? 2 ? 2n ?1 ? 2n .
a2 ? 8 a5 ? 32

…………………………………………6 分

(Ⅱ)由(I)得



,则 b4 ? 8 , b16 ? 32 .



{bn }

的公差为 d ,则有

?b1 ? 3d ? 8, ? ?b1 ? 15d ? 32,

解得

?b1 ? 2, ? ?d ? 2.

………………………………10 分

则数列

{bn }

的前 n 项和

S n ? nb1 ?

n(n ? 1) n(n ? 1) d ? 2n ? ? 2 ? n 2 ? n. 2 2 …………………12 分

24、 (本小题满分共 14 分)

某工厂生产某种产品,每日的成本 C(单位:万元)与日产量 x(单位:吨)满足函数关系式 C=3+x,每日的

k ? ? 5?0 ? x ? 6? ?3x ? 销售额 S(单位:万元)与日产量 x 的函数关系式 S= ? 已知每日的利润 L=S-C, x ?8 ? ?14?x ? 6?
且当 x=2 时,L=3. (1)求 k 的值; (2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值.

解:(1)由题意可得,L=

k +2.解得 k=18. ………………………………4 分 2?8 18 18 (2)当 0<x<6 时,L=2x+ +2,所以 L=2(x-8)+ +18 x?8 x?8
因为 x=2 时,L=3,所以 3=2×2+ =-[2(8-x)+

18 18 ? 18 =6. ]+18≤-2 2?8 ? x ? ? 8? x 8? x
18 ,即 x=5 时取得等号. 8? x
………………………………10 分

当且仅当 2(8-x)=

当 x≥6 时,L=11-x≤5.所以当 x=5 时,L 取得最大值 6. …………………………………………12 分 所以当日产量为 5 吨时,每日的利润可以达到最大值 6 万元. …………………………………………14 分


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