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学案5 离散型随机变量及其分布列


学案5

离散型随机变量及其分布列

离散型 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分 布列的概念,认识分布列刻画随机现象的重 随机变 要性,会求某些取有限个值的离散型随机变 量及其 量的分布列. 分布列 2.了解超几何分布,并能进行简单应用.

求简单随机变量的分布列,以及由此分布列求随机 变量的期望与方差.这部分

知识综合性强,涉及排列、组 合、二项式定理和概率,仍会以解答题形式出现,以 应用题为背景命题是近几年高考的一个热点.

1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,所有取 一一列出 值可以___________的随机变量,称为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列 一般地,若离散型随机变量 X可能取的不同值为 x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值的概率为p1, p2 ,…pn则称 表

X P

x1 p1

x2 p2

… …

xi pi

… …

xn pn

此表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分 布列.根据概率的性质,离散型随机变量的分布列具有如 下性质: pi≥0,i=1,2,…,n? ①_________________________________;
n

②_________________________________.
i i ?1

∑p

?1

3.两点分布 如果随机变量X的分布列是
X 0 1

,其中0<

P

1-p

p

p<1,q=1-p,则称离散型随机变量X服从参数为p的二

点分布.

4.超几何分布

一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰 有X件次品数,则事件{X=k}发生的概率为
P(X=k)=
C M C N -m CN
n m N -m

,k=0,1,2,…,m,

其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.称分布列

X P

0
0 N -0

1
1 N -1


CN
n

m
C M C N -m CN
n m N -m

C M C N -m C M C N -m CN
n



为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列, 超几何分布 则称随机变量X服从__________.

考点1 求离散型随机变量的分布列 某人参加射击,击中目标的概率为
1 3

.

(1)设ξ为他射击6次击中目标的次数,求随机变量ξ 的分布列;

(2)若他连续射击6次,设δ为他第一次击中目标前没 有击中目标的次数,求δ的分布列;
(3)若他只有6颗子弹,若击中目标,则不再射击, 否则子弹打完,求他射击次数ξ的分布列.

【分析】这4个小题中的随机变量的意义都很接近, 因此准确定义随机变量的意义是解答的关键. 【解析】(1)随机变量ξ服从二项分布B(6, ),而ξ 3 的取值为0,1,2,3,4,5,6,则 (ξ=k)=
C6 ( ) ( ) 3 3
k

1

1

k

2

6-k

(k=0,1,2,3,4,5,6).

故的分布列为:

ξ P

0
64 729

1
192 729

2
240 729

3
160 729

4
60 729

5
12 729

6
1 729

(2)设δ=k表示前k次未击中目标,而第k+1次击中 目标,δ的取值为0,1,2,3,4,5,当δ=6时表示射击6次均未 击中目标,则 P(δ=k)=
( 1 3 ) ?
k

1 3

(k=0,1,2,3,4,5),则P(δ=6)=

(

2 3

. )6

故δ的分布列为:

ξ

0
1 3

1
2 9

2
4 27

3
8 81

4
16 243

5
32 729

6
64 729

P

(3)设ξ=k表示前k-1次未击中,而第k次击中, k=1,2,3,4,5,
∴P(ξ=k)=
( 2 3 )
k -1

?

1 3

(k=1,2,3,4,5);而ξ=6表
( 2 3 ).
5

示前5次未击中,∴P(ξ=6)= 故ξ的分布列为:

ξ P

1
1 3

2
2 9

3
4 27

4
8 81

5
16 243

6
32 243

【评析】从上面各小题可以看出求随机变量的分布列,

必须首先弄清ξ的含义及ξ的取值情况,并准确定义
“ξ=k”,问题解答完全后应注意检验分布列是否满足第 二条性质.注意射击问题与返回抽样问题是同一类问题.

从一批有10个合格品与3个次品的产品中,一件一件地 抽取产品,设各个产品被抽取到的可能性相同.在下列三 种情况下,分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次 数ξ的分布列.

(1)每次取出的产品都不放回此批产品中;
(2)每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批

产品中.

(1)ξ的取值为1,2,3,4. 当ξ=1时,即只取一次就取得合格品, 故P(ξ=1)=
10 13

.

当ξ=2时,即第一次取到次品,而第二次取到合格品, 故P(ξ=2)=
3 13

×

10 12 1

=
3

5

.
2

26

类似地,有P(ξ=3)= P(ξ=4)=
3 13

×

2

12

×

11

×

13 12 11 10 1 10

×

×

10

=

5

143

,

=

286

.

所以,ξ的分布列为:

ξ P

1
10 13

2
5 26

3
5 143

4
1 286

(3)ξ的取值为1,2,3,4. 当ξ=1时,即第一次就取到合格品,故P(ξ=1)=
10 13

.

当ξ=2时,即第一次取到次品而第二次取到合格品,注意 第二次再取时,这批产品有11个合格品,2个次品, 故P(ξ=2)=
3 13

×

11 13

33

=
3

类似地,P(ξ=3)= P(ξ=4)=
3 13

13

×
1 13

13 2

2

;
12 13 13 13

13

×

=

72 13 6 13
3

2

, .

×

2

13

×

×

=

因此,ξ的分布列为:

ξ
P

1
10 13

2
33 13
2

3
72 13
2

4
6 13
3

考点4 超几何分布

在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券 1张,可获价值50元的奖品;有二等奖券3张,每张 可获价值10元的奖品;其余6张没有奖.某顾客从此10 张中任抽2张.求: (1)该顾客中奖的概率;

(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的概率分布 列.

【分析】利用超几何分布公式计算,注意分清N,

M,n,k的取值分别是多少.

【解析】(1)P=1或P=
C4C6 + C4 C6 C10
2 1 1 2 0

C4C6 C10 = 30 45 =
2

0

2

= 12 3

15 45

=

2 3

.

即该顾客中奖的概率为

2 3

.

(2)X的所有可能值为:0,10,20,50,60(元),且
P(X=0)= X=20)= 60)=
C4C6 C3
2 2 10 0 2 2

C

= 1

1 3

,P(X=10)=
1

C 3C6
2

1

1

C10 15 1 C1C 3 1 . = 2 C10 15
1

=

,P(X=50)=

C10 5 1 C1C6 2 ,P(X= = 2 C10 15

=

2

,P(

故X的分布列为:
X P 0
1 3

10
2 5

20
1 15

50
2 15

60
1 15

【评析】本题以超几何分布为背景,主要考查了概率 的计算、离散型随机变量分布列的求法及分析和解决 实际问题的能力.

某校组织一次冬令营活动,有8名同学参加,其中有5名男同 学,3名女同学,为了活动的需要,要从这8名同学中随机抽取 3名同学去执行一项特殊任务,记其中有X名男同学. (1)求X的分布列; (2)求去执行任务的同学中有男有女的概率.

(1)X~H(3,5,8),X可取0,1,2,3.
P(X=0)= (X=2)=
= . 3 C8 56 2 1 C5 ? C 3 15 = . 3 C8 28 C3
3

1

P(X=1)= P(X=3)=

C5 ? C 3

1

2

= . 3 C8 56 3 C5 5 = . 3 C8 28

15

∴X的分布列为:

X P

0
1 56

1
15 56

2
15 28

3
5 28

(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为: P(X=1)+P(X=2)=
15 56

+

15 28

=

45 56

.

1.掌握离散型随机变量的分布列,需注意: (1)分布列的结构为两行,第一行为随机变量X所有可能 取得的值;第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的 概率.看每一行,实际上是:上为“事件”,下为事件发 生的概率,只不过“事件”是用一个反映其结果的实数 表示的.每完成一列,就相当于求一个随机事件发生的概 率. (2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的 正误. 2.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这 个范围内各个值的概率之和. 3.处理有关离散型随机变量的应用问题,关键在于根据 实际问题确定恰当的随机变量.

1.离散型随机变量的概率分布列的两个本质特征:

pi≥0(i=1,2,…,n)与?∑p i
i =1

n

= 1是确定分布列中参数值的

依据.

2.求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情
况确定ξ的取值情况,然后利用排列、组合与概率知 识求出ξ取各个值的概率.

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