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2004年中国数学奥林匹克暨第十九届冬令营试题


2004 年中国数学奥林匹克暨第十九届冬令营试题
(第一天) (2004 年 1 月 8 日上午 8:00~12:30 澳门)

1. 凸四边形 EFGH 的顶点 E,F,G,H 分别在凸四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上,

满足

AE BF CG DH ? ? ? ? 1, 而点 A,B,

C,D 分别在凸四边形 E1F1G1H1 的边 E1F1, EB FC GD HA

F1G1, G1H1, H1E1 上,满足 E1F1∥EF,F1G1∥FG,G1H1∥GH,H1E1∥HE.已 知
E1 A FC ? ? ,求 1 的值. AH1 CG1

2. 已知正整数 c,设数列 x1 , x2 ,

满足:

? 2 x ? ? n ? 2? ? x1 ? c ,且 xn ? xn?1 ? ? n?1 ? ? 1 ? n ? 2,3, n ? ?
其中[x]表示不大于 x 的最大整数. 求数列 ?xn ? 的通项公式.

?,

3. 设 M 是平面上 n 个点组成的集合,满足: (1)M 中存在 7 个点,是一个凸七边形的 7 个顶点; (2)M 中任意 5 个点,若这 5 个点是一个凸五边形的 5 个顶点,则此凸五边形 内部至少含有 M 中的一个点. 求 n 的最小值.

2004 年中国数学奥林匹克暨第十九届冬令营试题
(第二天) (2004 年 1 月 9 日上午 8:00~12:30 澳门)

4. 给定实数 a 和正整数 n,求证: (1)存在唯一的实数数列 x0 , x1 ,

, xn?1 满足:

? x0 ? xn?1 ? 0 ? ?1 ? xi ?1 ? xi ?1 ? ? xi ? xi 3 ? a3 ? i ? 1, 2 , ? ?2

, n?



(2) (1)中的数列 x0 , x1 ,

, xn?1 满足 xi ? a ?i ? 0 ,1,

, n ?1? .

5. 给定正整数 n≥2,设正整数 ai ?i ? 1, 2 ,

, n? 满足:
n

a1 ? a2 ?

? an 以及 ?
i ?1
2

1 ≤1. ai

? n 1 求证:对任意实数 x,有 ? ?? a2 ? x2 ? i ?1 i

? 1 1 ? ? ≤ 2 ? a ?a ? 1? ? x 2 . ? 1 1

6. 证明:除了有限个正整数外,其他的正整数 n 均可表示为 2004 个正整数之 和 n ? a1 ? a2 ?

? a2004 ,且满足:

1 ? a1 ? a2 ?

? a2004 , ai | ai?1 ?i ? 1, 2 ,

, 2003?


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