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2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第3讲


3 极限和导数 相关知识
1.导数的有关概念。 (1)定义: 函数 y=f(x)的导数 f (x),就是当 ?x ? 0 时,函数的增量 ?y 与自变量的增量 ?x 的比
/

极限,即 f / ( x) ? lim

?x ?0

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) 。 ? lim ?x

?0 ?x ?x

?y 的 ?x

(2)实际背景:瞬时速度,加速度,角速度,电流等。 (3)几何意义: 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率。 2. 求导的方法: (1)常用的导数公式: C =0(C 为常数) ; (x ) =mx (m∈Q); (sinx) =cosx; (cosx) = -sinx ; (e ) =e ; (a ) =a lna
x / x x / x / / m / m-1 /

1 ; x 1 (log a x) / ? log a e . x (ln x) / ?
(2)两个函数的四则运算的导数:

(u ? v) / ? u / ? v / ; (uv) / ? u / v ? uv / ; u / v ? uv / ?u? (v ? 0). ? ? ? v2 ?v?
/

(3)复合函数的导数: y 3.导数的运用: (1)判断函数的单调性。

/

x

? y/u ?u/ x

当函数 y=f(x)在某个区域内可导时,如果 f (x)>0,则 f(x)为增函数;如果 f (x)<0,

/

/

则 f(x)为减函数。 (2)极大值和极小值。 设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近所有的点,都有 f(x)<f(x0)(或 f(x)>f(x0)), 我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值(或极小值) 。 (3)函数 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。

A 类例题
例 1 求函数的导数
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(1) y ?

1? x (1 ? x 2 ) cos x

( 2) y ? (ax ? b sin 2 ?x ) 3 (3) y ? f ( x 2 ? 1)

(1)解 : y? ?

(1 ? x)?(1 ? x 2 ) cos x ? (1 ? x)[(1 ? x 2 ) cos x]? (1 ? x 2 ) 2 ? cos 2 x

? ? ?

?(1 ? x 2 ) cos x ? (1 ? x)[(1 ? x 2 )? cos x ? (1 ? x 2 )(cos x)?] (1 ? x 2 ) 2 cos 2 x ?(1 ? x 2 ) cos x ? (1 ? x)[2 x cos x ? (1 ? x 2 ) sin x] (1 ? x 2 ) 2 cos 2 x ( x 2 ? 2 x ? 1) cos x ? (1 ? x)(1 ? x 2 ) sin x (1 ? x 2 ) 2 cos 2 x
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(2)解 y=μ 3,μ =ax-bsin2ω x,μ =av-by v=x,y=sinγ γ =ω x y′=(μ 3)′=3μ 2·μ ′=3μ 2(av-by)′ =3μ 2(av′-by′)=3μ 2(av′-by′γ ′) =3(ax-bsin2ω x)2(a-bω sin2ω x)
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(3)解法一

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设 y=f(μ ),μ = v ,v=x2+1,则

y′x=y′μ μ ′v·v′x=f′(μ )· =f′( x 2 ? 1 )·

1 1 - v 2 ·2x 2

1 2

1 x ?1
2

·2x

=

x x ?1
2
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f ?( x 2 ? 1),

解法二

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y′=[f( x 2 ? 1 )]′=f′( x 2 ? 1 )·( x 2 ? 1 )′
? 1 2 (x +1) 2 ·(x2+1)′ 2 1

=f′( x 2 ? 1 )·

1 =f′( x ? 1 )· (x2+1) 2
2

?

1 2

·2x

=

x x ?1
2

f′( x 2 ? 1 )

说明 本题 3 个小题分别涉及了导数的四则运算法则,复合函数求导的方法,以及抽象函数求 导的思想方法 这是导数中比较典型的求导类型 解答本题的关键点是要分析函数的结构和特征,挖掘量的隐含条件,将问题转化为基本函数 的导数 本题难点在求导过程中符号判断不清,复合函数的结构分解为基本函数出差错
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例 2.观察 ( x )? ? nx
n

n ?1

, (sin x)? ? cos x , (cos x)? ? ? sin x ,是否可判断,可导的奇函数

的导函数是偶函数,可导的偶函数的导函数是奇函数。 解:若 f (x) 为偶函数

f ( x ? ?x) ? f ( x) ? f ?( x) ?x ?0 ?x f (? x ? ?x) ? f (? x) f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?(? x) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? ?x ? ?x f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ? ? ? f ?( x) ?x ?0 ??
f ( ? x) ? f ( x)
令 lim ∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数

另证: f ? ? [ f (? x)]? ? f ?(? x) ? (? x)? ? ? f ?( x) ∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数 例 3 已知曲线 C 及切点坐标
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y=x3-3x2+2x,直线 l:y=kx,且 l 与 C 切于点(x0,y0)(x0≠0),求直线 l 的方程

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由 l 过原点,知 k=

y0 (x0≠0),点(x0,y0)在曲线 C 上,y0=x03-3x02+2x0, x0



y0 =x02-3x0+2 x0

y′=3x2-6x+2,k=3x02-6x0+2 又 k=

y0 ,∴3x02-6x0+2=x02-3x0+2 x0

2x02-3x0=0,∴x0=0 或 x0= 由 x≠0,知 x0=

3 2

3 2 3 3 3 3 ∴y0=( )3-3( )2+2· =- 2 2 2 8
∴k=

y0 1 =- x0 4

∴l 方程 y=-

1 3 3 x 切点( ,- ) 4 2 8

情景再现
?x 2 1. y ? f ( x ) ? ? ?ax ? b x ?1 x ?1
在 x ? 1处可导,则 a ?

b?

2.已知 f(x)在 x=a 处可导,且 f′(a)=b,求下列极限: (1) lim

?h ?0

f (a ? h 2 ) ? f (a) f (a ? 3h) ? f (a ? h) ; (2) lim ?h ?0 h 2h

3.设 f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100),求 f′(1)。

B 类例题
例 4 (1)试述函数 y=f(x)在 x=0 处的导数的定义; (2)若 f(x)在 R 上可导,且 f(x)= -f(x),求 f (0)。 (1) 解 : 如 果 函 数 y=f(x) 在 x=0 处 的 改 变 量 △ y 与 自 变 量 的 改 变 量 △ x 之 比
/

?y f ( 0 ? ?x ) ? f ( 0 ) , ?x ? 0 时有极限, 当 这极限就称为 y=f(x)在 x=0 处的导数。 ? ?x ?x
记作 f (0) ?
/

lim
?x ? 0

f ( 0 ? ?x ) ? f ( 0 ) 。 ?x

(2)解法一:∵f(x)= f(-x),则 f(△x)= f(-△x) ∴ f ( 0) ?
/

lim
?x ? 0

f ( ?x ) ? f ( 0 ) f ( ? ?x ) ? f ( 0 ) ? ? lim ?x ? ?x ?x ? 0

当 ?x ? 0 时,有 ? ?x ? 0 ∴ f ( 0) ? ?
/

lim

? ?x ? 0

f ( ? ?x ) ? f ( 0 ) ? ? f / ( 0) ? ?x

∴ f (0) ? 0 。
/

解法二:∵f(x)= f(-x),两边对 x 求导,得 f ( x ) ? f ( x ) ? ( ? x ) ? ? f ( x )
/ / / /

∴ f (0) ? ? f (0)
/ /

∴ f / (0) ? 0 。

链接说明 本题涉及对函数在某一点处导数的定义。题( 2)可对其几何意义加以解释:由于 f(x)=f(-x),所以函数 y=f(x)为偶函数,它的图象关于 y 轴对称,因此它在 x=x0 处的切 线关于 y 轴对称,斜率为互为相反数,点(0,f(0))位于 y 轴上,且 f (0)存在,故在该点 的切线必须平行 x 轴(当 f(0)=0 时,与 x 轴重合) ,于是有 f (0)=0。在题(2)的解二 中可指出:可导的偶函数的导数为奇函数,让学生进一步思考:可导的奇函数的导函数 为偶函数吗? 例 5 利用导数求和 - (1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn 1(x≠0,n∈N*) (2)Sn=C 1 +2C 2 +3C 3 +…+nC n ,(n∈N*) n n n n 解 (1)当 x=1 时
/ /

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Sn=1+2+3+…+n= 当 x≠1 时,

1 n(n+1); 2

x ? x n ?1 , 1? x 两边都是关于 x 的函数,求导得
∵x+x2+x3+…+xn= (x+x2+x3+…+xn)′=(

x ? x n ?1 )′ 1? x


即 Sn=1+2x+3x2+…+nxn 1=

1 ? ( n ? 1) x n ? nx n ?1 (1 ? x ) 2

(2)∵(1+x)n=1+C 1 x+C 2 x2+…+C n xn, n n n 两边都是关于 x 的可导函数,求导得 n(1+x)n 1=C 1 +2C 2 x+3C 3 x2+…+nC n xn 1, n n n n 令 x=1 得,n·2n 1=C 1 +2C 2 +3C 3 +…+nC n , n n n n 即 Sn=C 1 +2C 2 +…+nC n =n·2 n n n
n-1
- - -

?

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说明要注意思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力 通过对数列的通项 - 进行联想,合理运用逆向思维 由求导公式(xn)′=nxn 1,可联想到它们是另外一个和式的导数 关键要抓住数列通项的形式结构 本题难点是学生易犯思维定势的错误,受此影响而不善于联想 第(1)题要分 x=1 和 x≠1 讨论,等式两边都求导
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1 x ?1 1 ? ln ? x ?1 x x 1 1 1 1 1 (2) n ? N n ? 2 求证 ? ? ? ? ? ln n ? 1 ? ? ? ? 2 3 n 2 n ?1 1 1 (1)证:令 1 ? ? t x ? 0 ∴ t ? 1 x ? x t ?1 1 1 原不等式 ? 1 ? ? ln t ? t ? 1 令 f (t ) ? t ? 1 ? ln t ∴ f ?(t ) ? 1 ? t t
例 6. (1) x ? (0 , ? ?) 求证

t ? (1 , ? ?) f ?(t ) ? 0
∴ t ? 1 ? ln t

∴ t ? (1 , ? ?)

f (t ) ?
∴ g ?(t ) ?

∴ f (t ) ? f (1) ? 0

令 g (t ) ? ln t ? 1 ?

1 t

1 1 t ?1 ? ? 2 t t2 t

t ? (1 , ? ?)

g ?(t ) ? 0

∴ t ? (1 , ? ?)

g (t ) ?

∴ g (t ) ? g (1) ? 0

∴ ln t ? 1 ?

1 t



1 x ?1 1 ? ln ? x ?1 x x

(2)令 x ? 1 , 2?n ? 1 上式也成立

1 1 1 2 3 n 1 1 ? ? ? ? ? ln ? ln ? ? ? lg ? 1? ??? 2 3 n 1 2 n ?1 2 n ?1 1 1 1 1 1 即 ? ? ? ? ? ln n ? 1 ? ? ? ? 2 3 n 2 n ?1
将各式相加 例 7. 已知 a ? 0, n 为正整数. (Ⅰ)设 y ? ( x ? a) n , 证明y ? ? n( x ? a) n?1 ; (Ⅱ)设 f n ( x) ? x n ? ( x ? a ) n , 对任意n ? a, 证明f n ?1? (n ? 1) ? (n ? 1) f n ? (n).
证明: (Ⅰ)因为 ( x ? a ) n
n?k k k ? ? C n (?a) x ,
k ?0 n

所以 y ? ?

k ?1 n ? k k ?1 n ?1 ? kCnk (?a) n?k x k ?1 ? ? n Cn?1 (?a) x ? n( x ? a) .
k ?0

n

n

k ?0

(Ⅱ)对函数

f n ( x) ? x n ? ( x ? a) n 求导数:

? f n ( x) ? nx n ?1 ? n( x ? a) n ?1 , ? 所以f n (n) ? n[n n ?1 ? (n ? a) n ?1 ]. ? 当x ? a ? 0时, f n ( x) ? 0. ?当x ? a时, f n ( x) ? x n ? ( x ? a) n 是关于x的增函数. 因此,当n ? a时, (n ? 1) n ?(n ? 1 ? a) n ? n n ? (n ? a) n


? f n ?1 (n ? 1) ? (n ? 1)[( n ? 1) n ? (n ? 1 ? a ) n ] ? (n ? 1)( n n ? (n ? a) n )

? ? (n ? 1)( n n ? n(n ? a ) n ?1 ) ? (n ? 1) f n (n).
即对任意 n

? ? ? a, f n ?1 (n ? 1) ? (n ? 1) f n ( n).

情景再现
4 设 f(x)在点 x0 处可导,a 为常数,则 lim A.f (x0)
/

?x ? 0

f ( x 0 ? a?x ) ? f ( x 0 ? a?x ) 等于( ?x
/

)

B.2af (x0)

/

C.af (x0)

D.0

5.求证下列不等式 (1) x ?

x2 x2 ? ln(1 ? x) ? x ? x ? (0 , ? ?) 2 2(1 ? x)

(2) sin x ?

2x

?

x ? (0 ,

?
2

)

(3) x ? sin x ? tan x ? x x ? (0 , 6 已 知 a ? 0 , 函 数 f ( x) ?

?
2

)

1 ? ax 2 , x ? (0,??), 设 0 ? x1 ? , 记 曲 线 y ? f (x) 在 点 x a

M ( x1 , f ( x1 )) 处的切线为 l 。
(Ⅰ)求 l 的方程; (Ⅱ)设 l 与 x 轴的交点为 ( x2 ,0) ,证明:① 0 ? x 2 ?

1 1 1 ②若 x1 ? ,则 x1 ? x 2 ? a a a

C 类例题
例 8 设函数 f(x)=ax -2bx +cx+4d(a、b、c、d∈R)的图象关于原点对称,且 x=1 时,f(x)取 极小值3 2

2 。 3

(1)求 a、b、c、d 的值; (2)当 x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使得过此两点的切线互相垂直?试证明你的 结论; (3)若 x1,x2∈[-1,1]时,求证:|f(x1)-f(x2)|≤

4 。 3

解(1) ∵函数 f(x)图象关于原点对称,∴对任意实数 x,都有 f(-x)=- f(x). 3 2 3 2 2 ∴-ax -2bx -cx+4d=-ax +2bx -cx-4d,即 bx -2d=0 恒成立. 3 2 ∴b=0,d=0,即 f(x)=ax +cx. ∴f′(x)=3ax +c. ∵x=1 时,f(x)取极小值-

2 . 3

∴f′(1)=0 且 f(1)=-

2 , 3

即 3a+c=0 且 a+c=-

2 1 . 解得 a= ,c=-1. 3 3

(2)证明:当 x∈[-1,1]时,图象上不存在这样的两点使结论成立,假设图象上存在 两点 A(x1,y1)、B(x2+y2),使得过这两点的切线互相垂直, 2 2 2 则由 f′(x)=x -1,知两点处的切线斜率分别为 k1=x1 -1,k2=x2 -1, 2 2 且(x1 -1)(x2 -1)=-1. (*) 2 2 ∵x1、x2∈[-1,1], ∴x1 -1≤0,x2 -1≤0 2 2 ∴(x1 -1)(x2 -1)≥0,这与(*)相矛盾,故假设不成立. 2 (3)证明:∵f′(x)=x -1,由 f′(x)=0,得 x=±1. 当 x∈(-∞,-1)或(1,+∞)时,f′(x)>0; 当 x∈(-1,1)时,f′(x)<0. ∴f(x)在[-1,1]上是减函数,且 fmax(x)=f(-1)= ∴在[-1,1]上,|f(x)|≤

2 2 , fmin(x)=f(1)= - . 3 3

2 . 3 2 2 4 + = . 3 3 3

于是 x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤ 故 x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤

4 . 3

说明 ①若 x0 点是 y=f(x)的极值点,则 f′(x0)=0,反之不一定成立; ②在讨论存在性问题时常用反证法; ③利用导数得到 y=f(x)在[-1,1]上递减是解第(3)问的关键. 例 9 已知平面向量 a =( 3 ,-1). b =(

?

?

3 1 , ). 2 2

(1)证明 a ⊥ b ; (2)若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 x = a +(t -3) b , y =-k a +t b , x ⊥ y ,试求 函数关系式 k=f(t); (3)据(2)的结论,讨论关于 t 的方程 f(t)-k=0 的解的情况. 分析 通过向量的运算转化为函数问题 解(1)∵ a ? b = 3 ×

?

?

? ?

2

?

? ?

?

?

?

? ?

? ?

3 1 +(-1)× =0 2 2

∴a ⊥b .
2

?

?

(2)∵ x ⊥ y ,∴ x ? y =0

?

? ?

? ? ?

即[ a +(t -3) b ]·(-k a +t b )=0.
2

?

?

?

?

整理后得-k a +[t-k(t -3)] a ? b + (t -3)· b =0
2

?2

? ?

?2

∵ a ? b =0, a =4, b =1, ∴上式化为-4k+t(t -3)=0,即 k= (3)讨论方程
2

? ?

?2

?2

1 2 t(t -3) 4

1 1 2 2 t(t -3)-k=0 的解的情况,可以看作曲线 f(t)= t(t -3)与直线 y=k 4 4

的交点个数. 于是 f′(t)=

1 2 3 (t -1)= t(t+1)(t-1). 4 4
-1 0 极大值 (-1,1) ↘ 1 0 极小值 (1,+ ∞) + ↗

令 f′(t)=0,解得 t1=-1,t2=1.当 t 变化时,f′(t)、f(t)的变化情况如下表: t (-∞,-1) + ↗

f′(t)
F(t)

1 . 2 1 当 t=-1 时,f(t)有极小值,f(t)极小值=- . 2 1 2 函数 f(t)= t(t -3)的图象如图 13-2-1 所示, 4
当 t=-1 时,f(t)有极大值,f(t)极大值= 可观察出:

1 1 或 k<- 时,方程 f(t)-k=0 有且只有一解; 2 2 1 1 (2)当 k= 或 k=- 时,方程 f(t)-k=0 有两解; 2 2 1 1 (3) 当- <k< 时,方程 f(t)-k=0 有三解. 2 2
(1)当 k> 说明 导数的应用为函数的作图提供了新途径。 例 10 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx. (1)求函数 f(x)的最大值;

a?b )<(b-a)ln2. 2 1 解:(1)函数 f(x)的定义域为(-1,+∞),f′(x)= -1. 1? x
(2)设 0<a<b,证明:0<g(a)+g(b)-2g( 令 f′(x)=0,解得 x=0. 当-1<x<0 时,f′(x)>0; 当 x>0 时, f′(x)<0. 又 f(0)=0,故当且仅当 x=0 时,f(x)取得最大值,最大值为 0. (2)证法一:g(a)+g(b)-2g( =alna+blnb-(a+b)ln =aln

a?b 2

a?b ) 2

2a 2b ? b ln a?b a?b

由(1)结论知 ln(1+x)-x<0(x>-1,且 x≠0)

b?a a ?b ? 0, ?1 ? ?0 2a 2b 2a b?a b?a 2b a ?b a ?b 因此 ln , ln , ? ln(1 ? )?? ? ? ln(1 ? )?? a?b 2a 2a a?b 2b 2b 2a 2b b?a a ?b ? a ln ? b ln ?? ? ? 0. a?b a?b 2 2
由题设 0<a<b,得

2a a?b , ? a?b 2b 2a 2b a?b 2b 2b ? a ln ? b ln ? a ln ? b ln ? (b ? a ) ln ? (b ? a ) ln 2 . a?b a?b 2b a ?b a?b a?b 综上 0 ? g (a ) ? g (b) ? 2 g ( ) ? (b ? a ) ln 2 . 2
又 证法二: g ( x) ? x ln x, g ?( x) ? ln x ? 1 . 设 F ( x ) ? g (a ) ? g ( x ) ? 2 g (

a?x ) ,则 2 a?x a?x . F ?( x ) ? g ?( x ) ? 2[ g ( )]? ? ln x ? ln 2 2

当 0<x<a 时, F ?( x) ? 0 ,因此 F ( x ) 在 (0, a ) 内为减函数; 当 x>a 时, F ?( x) ? 0 ,因此 F(x)在 ( a, ??) 上为增函数. 从而,当 x=a 时,F(x)有极小值 F(a).

? F (a ) ? 0, b ? a,

? F (b) ? 0 即 0 ? g (a ) ? g (b) ? 2 g (

设 G( x) ? F ( x) ? ( x ? a)ln 2 ,则 G?( x ) ? ln x ? ln

a?x ? ln 2 ? ln x ? ln( a ? x) 2

a?b ). 2

当 x>0 时, G?( x) ? 0 ,因此 G( x )在(0,+?)上为减函数。

? G(a) ? 0, b ? a,?G(b) ? 0,
即 g ( a ) ? g ( b) ? 2 g (

a?b ) ? (b ? a ) ln 2 ,综上,原不等式得证。 2

链接

x3 ? sin x ? x 1.证明:当 x>0 时,有 x ? 6
2.已知数列{an}各项均为正数,Sn 为其前 n 项和,对于任 2 意的 n∈N*,都有 4Sn=(an+1) (1)求数列{an}的通项公式; n (2)若 2 ≥tSn 对于任意的 n∈N*成立,求实数 t 的最大值。 分析:利用 Sn-Sn-1=an(n≥2)易得 an=2n-1,从而 Sn=n 则问(2)转化为 t≤
2

n2 恒成 2n

n2 立,故只需求出数列 bn ? n 的最小项,有以下求法: 2
法一:研究数列{bn}的单调性。

2n 2x 法二: 数列作为一类特殊的函数, 欲求 { 2 } 的最小项可先研究连续函数 y ? 2 ( x ? 0) n x
的单调性,求导得 y ? ?

2 x ? x ( x ln 2 ? 2) 2 2x ,易得 x ? 为函数 y ? 2 的极小值也是最小值 4 x ln 2 x

点,又

23 2 2 2 2 8 ,所以 [ ? ? ] ? 3 而 b3 ? 2 ? b4 ,故 t ? b3 ? 3 ln e ln 2 ln e ln 2 9

注意:导数的引进为不等式的证明,甚至为研究数列的性质提供了新途径,充分地体现了数 列作为一类特殊函数其本质所在。 特别提示:上几例充分体现了导数作为工具分析和解决一些如函数性质、方程、不等式、 数列等问题的方法,这类问题用传统教材无法解决;此外,例 10 还说明了一点:欲用导数, 得先构造函数。

例 11 已知双曲线 C : y ?

m ,如图所示. (m ? 0) 与点 M(1,1) x

(1)求证:过点 M 可作两条直线,分别与双曲线 C 两支相切; (2)设(1)中的两切点分别为 A、B,其△MAB 是正三角形, 求 m 的值及切点坐标。 (1)证明:设 Q (t ,

m ) ? C ,要证命题成立只需要证明关于 t 的方 t



y ? |x ?t ? k MQ 有两个符号相反的实根。

y ? |x ?t ? k MQ
2

m ?1 m t ?? 2 ? ? t 2 ? 2mt ? m ? 0 ,且 t≠0,t≠1。 t t ?1

设方程 t ? 2mt ? m ? 0 的两根分别为 t1 与 t2,则由 t1t2=m<0,知 t1,t2 是符号相反的实 数,且 t1,t2 均不等于 0 与 1,命题获证。 (2)设 A(t1 ,

m m ), B(t2 , ) ,由(1)知,t1+t2=2m,t1t2=m,从而 t1 t2

t1 ? t2 1 m m m(t1 ? t2 ) 2m 2 ? m, ( ? ) ? ? ? m ,即线段 AB 的中点在直线 y ? x 上。 2 2 t1 t2 2t1t2 2m

又? k AB

m m ? m(t1 ? t2 ) t2 t1 ? ? ? ?1 ,?AB 与直线 y ? x 垂直。 t2 ? t1 t2t1 (t2 ? t1 )

故 A 与 B 关于 y ? x 对称,

设 A(t ,
2

m m )(t ? 0) ,则 B ( , t ) t t


有 t -2mt+m=0 由 k MA ? ?

m m2 , k MB ? ? , ?AMB ? 60? 及夹角公式知 t2 k

?t 2 m ? 2 m t2 tan 60? ? m 2 t ,即 2 ? ? 2 3 t m t m 1? ? 2 m t
由①得 m ?



t2 2t ? 1



从而

m t2 1 4t (1 ? t ) ? ? ? (2t ? 1) ? ?0 2 t m 2t ? 1 2t ? 1 m t2 m 3 ?1 ? ? 2 3, 2 ? 3 ? 2 ,代入③知 t ? ? 2 2 t m t
1 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 , ), B( ,? )。 2 2 2 2

由②知

因此, m ? ? , A( ?

链接 求切线方程的常见方法有:1、数刑结合。2、将直线方程代入曲线方程利用判别式。3、 利用导数的几何意义。 小结:深刻理解导数作为一类特殊函数,其几何意义所在,熟练掌握利用导数求函数的 极值、单调区间、函数在闭区间上的最值等基本方法;导数的应用为研究函数性质、函数图 象开辟了新的途径,成为勾通函数与数列、圆锥曲线等问题的一座桥梁;此外,导数还具有 方法程序化,易掌握的显著特点。

情景再现
7.设 t ? 0 ,点 P( t ,0)是函数 f ( x) ? x ? ax与g ( x) ? bx ? c 的图象的一个公共点,两
3 2

函数的图象在点 P 处有相同的切线. (Ⅰ)用 t 表示 a,b,c; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围. 8. 已知函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? 9 x ? a.
3 2

(Ⅰ)求 f (x) 的单调减区间; (Ⅱ)若 f (x) 在区间[-2,2].上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. 9. (2005 山东)已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx ? 3(m ? 1) x ? nx ? 1 的一个极值点,其中
3 2

m, n ? R, m ? 0 ,
(I)求 m 与 n 的关系式; (II)求 f ( x) 的单调区间; (III)当 x ? ? ?1,1 ? 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围.

情景再现答案
?x 2 y ? f ( x) ? ? 1.解 ?ax ? b
x ?1?

x ?1 x ?1

在 x ? 1处可导,必连续 lim? f ( x) ? 1
x ?1

lim f ( x) ? a ? b

f (1) ? 1

∴ a ?b ?1

?y ?y ∴ a?2 ?2 lim ? ?a b ? ?1 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x f (a ? 3h) ? f (a ? h) f (a ? 3h) ? f (a) ? f (a) ? f (a ? h) 2 解: (1) lim ? lim h ?0 h ?0 2h 2h lim ?
f (a ? 3h) ? f (a) f ( a ) ? f ( a ? h) ? lim h ?0 2h 2h 3 f (a ? 3h) ? f (a ) 1 f ( a ? h) ? f ( a ) ? lim ? lim h ?0 h ?0 2 3h 2 ?h 3 1 ? f ' (a) ? f ' (a) ? 2b 2 2 ? lim
h ?0

(2) lim

h ?0

? f (a ? h 2 ) ? f (a) ? f (a ? h 2 ) ? f (a) ? lim ? h? h ?0 h h2 ? ?

? lim
3.解: ∴

h ?0

f (a ? h 2 ) ? f (a) ? lim h ? f ' (a) ? 0 ? 0 h ?0 h2

令 x=1 得

4.答案 C

f ( x 0 ? a?x) ? f ( x0 ? a?x) ?x ? 0 ?x f ( x 0 ? a?x) ? f ( x 0 ) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ? a?x) ? lim ?x ? 0 ?x f ( x 0 ? a?x) ? f ( x 0 ) f ( x 0 ? a ?x ) ? f ( x 0 ) ? a lim ? a lim a? x ? 0 ? a ?x ? 0 a?x ? a ?x / ? 2af ( x 0 ) lim
5 证: (1) f ( x) ? ln(1 ? x) ? ( x ? ∴ y ? f (x) 为 (0 , ? ?) 上 ? ∴ ln(1 ? x) ? x ?

x2 ) f (0) ? 0 2

f ?( x) ?

1 x2 ?1 ?1? x ? ?0 1? x x ?1

∴ x ? (0 , ? ?)

f ( x) ? 0 恒成立 g (0) ? 0

x2 2

g ( x) ? x ?

x2 ? l n 1 ? x) ( 2(1 ? x)

g ?( x) ? 1 ?

4x 2 ? 4x ? 2x 2 1 2x 2 ? ? ?0 1 ? x 4(1 ? x 2 ) 4(1 ? x) 2
∴ x ? (0 , ? ?) x ?

∴ g (x) 在 (0 , ? ?) 上 ? (2)原式 ?

x2 ? ln(1 ? x) ? 0 恒成立 2(1 ? x)

) cos x ? 0 x ? t a n ? 0 x 2 cos x( x ? tan x) ? ∴ f ?( x) ? ∴ x ? (0 , ) 2 2 x ? 2 2x ∴ sin x ? f( )? 2 ? ?
(3)令 f ( x) ? tan x ? 2 x ? sin x

x ? (0 ,

?

sin x 2 ? x ?

令 f ( x) ? sin x / x

f ?( x) ? 0

(0 ,

?
2

)?

f (0) ? 0

(1 ? cos x)(cos x ? sin 2 x) f ?( x) ? sec x ? 2 ? cos x ? cos2 x
2

2 ∴ tan x ? x ? x ? sin x

x ? (0 ,

?

)

f ?( x) ? 0

∴ (0 ,

?
2

)?

6 解: (1) f (x) 的导数 f ?( x) ? ?

1 ,由此得切线 l 的方程 x2

y?

1 ? ax1 1 ? ? 2 ( x ? x1 ) , x1 x1

(2)依题得,切线方程中令 y ? 0 ,得

x2 ? x1 (1 ? ax1 ) ? x1 ? x1 (2 ? ax1 ) ,其中 0 ? x1 ?
(ⅰ)由 0 ? x1 ?

2 , a

2 1 1 , x2 ? x1 (2 ? ax1 ) ,有 x2 ? 0 ,及 x 2 ? ?a( x1 ? ) 2 ? , a a a 1 1 1 ∴ 0 ? x 2 ? ,当且仅当 x1 ? 时, x2 ? 。 a a a 1 1 (ⅱ)当 x1 ? 时, ax1 ? 1 ,因此, x2 ? x1 (2 ? ax1 ) ? x1 ,且由(ⅰ) x2 ? , , a a 1 所以 x1 ? x 2 ? 。 a
7. 解: (I)因为函数 f (x) , g (x) 的图象都过点( t ,0) ,所以 f (t ) ? 0 , 即 t 3 ? at ? 0 .因为 t ? 0, 所以 a ? ?t 2 .

g (t ) ? 0,即bt 2 ? c ? 0, 所以c ? ab.
又因为 f (x) , g (x) 在点( t ,0)处有相同的切线,所以 f ?(t ) ? g ?(t ). 而 f ?( x) ? 3x ? a, g ?( x) ? 2bx, 所以3t ? a ? 2bt.
2 2

将 a ? ?t 2 代入上式得 b ? t.
3

因此 c ? ab ? ?t 3 . 故 a ? ?t 2 , b ? t , c ? ?t 3 .
2 2 3 2 2

(II)解法一 y ? f ( x) ? g ( x) ? x ? t x ? tx ? t , y ? ? 3x ? 2tx ? t ? (3x ? t )( x ? t ) . 当 y ? ? (3x ? t )( x ? t ) ? 0 时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 单调递减. 由 y ? ? 0 ,若 t ? 0, 则 ?

t t ? x ? t ;若 t ? 0, 则t ? x ? ? . 3 3

由题意,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,则

t t (?1,3) ? (? , t )或(?1,3) ? (t ,? ). 3 3 t 所以 t ? 3或 ? ? 3.即t ? ?9或t ? 3. 3
又当 ? 9 ? t ? 3 时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减.

所以 t 的取值范围为 (??,?9] ? [3,??). 8. 解: (I) f '( x) ? ?3x ? 6 x ? 9.
2

令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 3, 所以函数 f ( x) 的单调递减区间为 (??, ?1), (3, ??). (II)因为 f (?2) ? 8 ? 12 ? 18 ? a ? 2 ? a,

f (2) ? ?8 ? 12 ? 18 ? a ? 22 ? a,
所以 f (2) ? f (?2). 因为在 (?1,3) 上 f '( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 [?1, 2] 单调递增,又由于

f ( x) 在 [?2, ?1] 上单调递减,因此 f (2) 和 f (?1) 分别是 f ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值和最小值.
于是有 22 ? a ? 20 ,解得 a ? ?2. 故 f ( x) ? ? x ? 3x ? 9 x ? 2.
3 2

因此 f (?1) ? 1 ? 3 ? 9 ? 2 ? ?7. 即函数 f ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最小值为 ?7 . 9.解:(I) f ?( x) ? 3mx ? 6(m ? 1) x ? n
2

∵ x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点 ∴ f ?(1) ? 0 ,即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0 ∴ n ? 3m ? 6 (II)由(I)知, f ?( x) ? 3mx ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ? 1 ?
2

? ?

? ?

2 ?? ? m ?? ?

当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ?

2 ,当 x 变化时, f ( x) 与 f ?( x) 的变化如下表: m 1? 2 m
2 ? ? ?1 ? ,1? ? m ?
1

x
f ?( x) f ( x)

2? ? ? ??,1 ? ? m? ?

?1, ?? ?
?0
单调递减

?0
单调递减

0 极小值

?0
单调递增

0 极大值

故有上表知,当 m ? 0 时, f ( x) 在 ? ??,1 ?

? ?

2? 2 ? 单调递减,在 (1 ? ,1) 单调递增,在 m? m

(1, ?? ) 上单调递减.
(III)由已知得 f ?( x) ? 3m ,即 mx ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0
2

∵m?0

2 2 2 2 (m ? 1) x ? ? 0 即 x 2 ? (m ? 1) x ? ? 0, x ? ? ?1,1? ① m m m m 1 2 设 g ( x) ? x 2 ? 2(1 ? ) x ? ,其函数开口向上,由题意知①式恒成立, m m
∴ x2 ?

2 2 ? ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 4 4 ?? ∴? 解之得 ? ? m 又 m ? 0 所以 ? ? m ? 0 m m 3 3 ? g (1) ? 0 ? ?1 ? 0 ?
即 m 的取值范围为 ( ?

4 , 0) 3

本节习题
x2 1.已知函数 y=f(x)= x≥0 那么 y/|x=0 的值为( )

x x<0 A.0 B.1 C.1 或 0 D.不存在 3 2.已知曲线 C:y=3x-x 及点 P(2,2),则过点 P 可向 C 引切线的条数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.下列求导的式子中正确的是( ) A.[cos(1-x)]/=-sin(-x) C.(ax)/=xax-1 B. (e ? x) / ? e ? ? e ? x
1 1 D. (ln ) / ? ? x x

1 ? 4.函数 y ? a sin x ? sin 3x 在 x ? 处有极值,则( 3 3 1 A.a=2 B.a=1 C. a ? 2

) D.a= -2 )

5.函数 y=x3-3x, x ? [ a 2 ? 1, 2 ] 的最小值是 a2-1,则实数 a 的值是(
1 1 C. a ? ? 2 2 6.若 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)为增函数,则( ) 2 A.b -4ac>0 B.b>0,c>0 C.b=0,c>0

A.0

B. a ?

D.1 D.b2-3ac<0

7. 函数 y ? f (x) 在区间 (0 , ? ?) 内可导,导函数 f ?(x) 是减函数,且 f ?( x) ? 0 .设

x0 ? ( 0 , ? ?) , y ? kx ? m 是曲线 y ? f (x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程,并设函数

g ( x) ? kx ? m .
(Ⅰ)用 x 0 、 f ( x0 ) 、 f ?( x0 ) 表示 m; (Ⅱ)证明:当 x ? (0 , ? ?) , g ( x) ? f ( x) ; (Ⅲ)若关于 x 的不等式 x 2 ? 1 ? ax ? b ? 求 b 的取值范围及 a 与 b 所满足的关系. 8. 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(-1,f(-1) )处
3 2

3 2 x 3 在 [ 0 , ? ?) 上恒成立,其中 a、b 为实数, 2

的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . (Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f (x) 的单调区间. 9. 已知 f ?x ? ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d 是定义在 R 上的函数,其图象交 x 轴于 A,B,C 三点,若 点 B 的坐标为(2,0) ,且 f ? x ? 在 [?1, 0] 和[4,5]上有相同的单调性,在[0,2]和[4,5]上有 相反的单调性. (1)求 c 的值; (2)在函数 f ? x ? 的图象上是否存在一点 M(x0,y0) ,使得 f ? x ? 在点 M 的切线斜率为 3b? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由; (3)求 AC 的取值范围. 10.已知函数 f(x)=lnx,g(x)=

1 2 ax +bx,a≠0. 2

(Ⅰ)若 b=2,且 h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (Ⅱ)设函数 f(x)的图象 C1 与函数 g(x)图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点作 x 轴的 垂线分别交 C1,C2 于点 M、N,证明 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.

11.设函数 f ? x ? ? x sin x ? x ? R ? (Ⅰ)证明 f ? x ? 2k? ? ? f ? x ? ? 2k? sin x 其中为 k 为整数

2 x4 (Ⅱ)设 x0 为 f ? x ? 的一个极值点,证明 ? f ? x0 ? ? ? 0 2 ? ? 1? x 0

(Ⅲ)设 f ? x ? 在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为 a1 , a2 ,?, an ,? ,证明:

?
2

? an?1 ? an ? ? ? n ? 1,2,??

习题参考答案
1.(D) 2.(D) 3.(D) 4.(A) 5.(A) 6.(D)
7. (Ⅰ)解: m ? f ( x0 ) ? x0 f ?( x0 ). (Ⅱ)证明:令 h( x) ? g ( x) ? f ( x), 则h?( x) ? f ?( x0 ) ? f ?( x), h?( x0 ) ? 0. 因为 f ?(x) 递减, 所以 h?(x) 递增, 因此, x ? x0时, h?( x) ? 0 ; x ? x0时, h?( x) ? 0 . 当 当

所以 x 0 是 h(x ) 唯一的极值点,且是极小值点,可 h(x ) 的最小值为 0,因此 h( x) ? 0, 即

g ( x) ? f ( x).
(Ⅲ)解法一: 0 ? b ? 1, a ? 0 是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立.

x 2 ? 1 ? ax ? b,即x 2 ? ax ? (1 ? b) ? 0 对任意 x ? [0,??) 成立的充要条件是 1 a ? 2(1 ? b) 2 .
另一方面,由于 f ( x) ?
2

3 3 x 满足前述题设中关于函数 y ? f (x) 的条件,利用(II)的结 2
2

2

3 3 果可知, ax ? b ? x 3 的充要条件是:过点(0, b )与曲线 y ? x 3 相切的直线的斜率大 2 2
于 a ,该切线的方程为 y ? (2b)
2
? 1 2

x ? b.

于是 ax ? b ?

1 3 3 x 的充要条件是 a ? (2b) 2 . 2
2

综上,不等式 x 2 ? 1 ? ax ? b ?
? 1 2 1 2

3 3 x 对任意 x ? [0,??) 成立的充要条件是 2

? 1 2

(2b)

? a ? 2(1 ? b) .
? 2(1 ? b) .
1 2

显然,存在 a、b 使①式成立的充要条件是:不等式 (2b) 有解、解不等式②得

② ③

2? 2 2? 2 ?b? . 4 4

因此,③式即为 b 的取值范围,①式即为实数在 a 与 b 所满足的关系 (Ⅲ)解法二: 0 ? b ? 1, a ? 0 是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立.

x 2 ? 1 ? ax ? b,即x 2 ? ax ? (1 ? b) ? 0 对任意 x ? [0,??) 成立的充要条件是
1

a ? 2(1 ? b) 2 .


2

3 3 ? ( x) ? ax ? b ? x 3 ,于是 ax ? b ? x 3 对任意 x ? [0,??) 成立的充要条件是 2 2

2

? ( x) ? 0. 由 ? ?( x) ? a ? x

?

1 3

? 0得x ? a ?3 .

当 0 ? x ? a 时 ? ?( x) ? 0; 当 x ? a ?3 时, ?( x) ? 0 , 所以, x ? a ?3 时, 当 ?

?3

? (x) 取最小值.因此 ? ( x) ? 0 成立的充要条件是 ? (a ) ? 0 ,即 a ? (2b) .
?3

?

1 2

综上,不等式 x 2 ? 1 ? ax ? b ? 3 x 3 对任意 x ? [0 , ? ?) 成立的充要条件是
2

2

(2b)

1 ? 2

? a ? 2(1 ? b) .

1 2


? 1 2 1

显然,存在 a、b 使①式成立的充要条件是:不等式 (2b) 有解、解不等式②得

? 2(1 ? b) 2



2? 2 2? 2 ?b? . 4 4

因此,③式即为 b 的取值范围,①式即为实数在 a 与 b 所满足的关系. 8. 解 : ( Ⅰ ) 由 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的 图 象 过 点 P ( 0 , 2 ) ,d=2 知 , 所 以
3 2

f ( x) ? x3 ? bx 2 ? cx ? 2 , f ? (x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1))处的切线方程是 6x-y+7=0,知
-6-f(-1)+7=0,即 f(-1)=1, f ? (-1)=6,∴ ? 故所求的解析式为 f(x)=x3-3x-3+2, (Ⅱ) f ? (x)=3x2-6x-3,令 3x2-6x-3=0 即 x2-2x-1=0,解得 x1=1- 2 ,x2=1+ 2 , 当 x<1- 2 或 x>1+ 2 时, f ? (x)>0;当 1- 2 <x<1+ 2 时, f ? (x)<0 ∴f(x)=x3-3x2-3x+2 在(1+ 2 ,+∞)内是增函数,在(-∞, 1- 2 )内是增函数,在(1- 2 ,1+ 2 )内 是减函数. 9. 解:⑴ ∵ f ? x ? 在 ?? 1, 0 ? 和 ? 0 , 2 ? 上有相反单调性, ∴ x=0 是 f ? x ? 的一个极值点,故 f ' ?x ? ? 0 , 即 3ax 2 ? 2bx ? c ? 0 有一个解为 x=0,∴c=0 ⑵ ∵ f ? x ? 交 x 轴于点 B(2,0) ∴ 8a ? 4b ? d ? 0 ,即d ? ?4?b ? 2a ? 令 f ' ?x ? ? 0 ,则 3ax 2 ? 2bx ? 0 , x1 ? 0 , x 2 ? ?
2b 3a

?3 ? 2b ? c ? 6, ?b ? c ? 0, 即? 解得 b=c=-3. ??1 ? b ? c ? 2 ? 1, ?2b ? c ? ?3,

∵ f ? x ? 在 ? 0 , 2 ? 和 ? 4 , 5 ? 上有相反的单调性 2b b ∴2?? ? 4 , ∴ ? 6 ? ? ?3 3a a 假设存在点 M(x0,y0) ,使得 f ? x ? 在点 M 的切线斜率为 3b,则 f ' ?x0 ? ? 3b
2 即 3ax0 ? 2bx0 ? 3b ? 0

?b ? ∵ △ = ?2b?2 ? 4 ? 3a ? ?? 3b? ? 4b 2 ? 36ab ? 4ab? ? 9 ? ?a ? b 又 ? 6 ? ? ?3 , ∴△<0 a ∴不存在点 M(x0,y0) ,使得 f ? x ? 在点 M 的切线斜率为 3b.

⑶ 依题意可令

f ?x ? ? a?x ? ? ??x ? 2??x ? ? ? ? a x3 ? ?2 ? ? ? ? ?x 2 ? ?2? ? 2? ? ?? ?x ? 2??

?

?

?b ? ?a?2 ? ? ? ? ? 则? ?d ? ?2a??
AC ? ? ? ? ?

b ? ?? ? ? ? ? a ? 2 ? ?? ??? ? ? d ? 2a ?
2d ? b ? ?b ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? 2 ? ? 16 a ? a ? ?a ?
2 2

?? ? ? ?2 ? 4??

∵?6? 当

b b ? ?3 ,∴当 ? ?6 时, AC max ? 4 3 ; a a

b ? ?3 时, AC min ? 3 a 故 3 ? AC ? 4 3

10.解: (I) b ? 2时, h( x) ? ln x ? 则 h?( x) ?

1 2 ax ? 2 x , 2

1 ax 2 ? 2 x ? 1 ? ax ? 2 ? ? . x x

因为函数 h(x)存在单调递减区间,所以 h?(x) <0 有解. 又因为 x>0 时,则 ax2+2x-1>0 有 x>0 的解. ①当 a>0 时,y=ax2+2x-1 为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解; ②当 a<0 时,y=ax2+2x-1 为开口向下的抛物线,而 ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解; 则△=4+4a>0,且方程 ax2+2x-1=0 至少有一正根.此时,-1<a<0. 综上所述,a 的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞). (II)证法一 设点 P、Q 的坐标分别是(x1, y1)(x2, y2) , ,0<x1<x2. 则点 M、N 的横坐标为 x ?

x1 ? x 2 , 2
1 2 | x1 ? x2 ? , x x? 2 x1 ? x 2

C1 在点 M 处的切线斜率为 k1 ?

C2 在点 N 处的切线斜率为 k 2 ? ax ? b |

x ?x x? 1 2 2

?

a( x1 ? x 2 ) ? b. 2

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1=k2. 即

a( x1 ? x 2 ) 2 ? ? b ,则 x1 ? x 2 2

2( x 2 ? x1 ) a 2 a 2 a ? ( x 2 ? x12 ) ? b( x 2 ? x1 ) ? ( x 2 ? bx2 ) ? ( x12 ? bx1 ) x1 ? x 2 2 2 2
= y 2 ? y1 ? ln x2 ? ln x1 .

x2 ? 1) x2 x1 x 2(t ? 1) ? . 设 t ? 2 , 则 ln t ? 所以 ln , t ? 1. ① x2 x1 x1 1? t 1? x1 2(
令 r (t ) ? ln t ?

1 4 (t ? 1) 2 2(t ? 1) ? . , t ? 1. 则 r ?(t ) ? ? t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2 1? t

因为 t ? 1 时, r ?(t ) ? 0 ,所以 r (t ) 在 [1,?? )上单调递增. 故 r (t ) ? r (1) ? 0. 则 ln t ?

2(t ? 1) . 这与①矛盾,假设不成立. 1? t

故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. 证法二:同证法一得 ( x2 ? x1 )(ln x2 ? ln x1 ) ? 2( x2 ? x1 ). 因为 x1 ? 0 ,所以 (

x2 x x ? 1) ln 2 ? 2( 2 ? 1). x1 x1 x1

令t ?

x2 ,得 (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1), t ? 1. ② x1
1 t

令 r (t ) ? (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1), t ? 1, 则r ?(t ) ? ln t ? ? 1.

1 1 t ?1 1 ? 2 ? 2 ,所以 t ? 1 时, (ln t ? )? ? 0. t t t t 1 1 故 ln t ? 在[1,+ ?) 上单调递增.从而 ln t ? ? 1 ? 0 ,即 r ?(t ) ? 0. t t
因为 (ln t ? )? ?

1 t

于是 r (t ) 在[1,+ ?) 上单调递增. 故 r (t ) ? r (1) ? 0. 即 (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1). 这与②矛盾,假设不成立. 故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.

11. 证明: (I)由于函数定义,对任意整数 k ,有

f ? x ? 2k? ? ? f ? x ? ? ? x ? 2k? ? sin ? x ? 2k? ? ? x sin x ? ? x ? 2k? ? sin x ? x sin x ? 2k? sin x
(II)函数 f ? x ? 在 R 上可导, f ' ? x ? ? x cos x ? sin x 令 f ' ? x ? ? 0 ,得: sin x ? ? x cos x 若 cos x ? 0 ,则 sin x ? ? x cos x ? 0 ,这与 cos2 x ? sin 2 x ? 1 矛盾,所以 cos x ? 0 。 当 cos x ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ? x ? ? tan x ② ①

由于函数 y ? ?x 的图象和函数 y ? tan x 的图象知, f ' ? x ? ? 0 有解。
2 x0 2 sin 2 x0 x 2 tan 2 x0 x4 当 f ' ? x0 ? ? 0 时, ? f ? x0 ? ? ? x0 2 sin 2 x0 ? ? 0 ? 0 2 ? ? sin 2 x0 ? cos 2 x0 1 ? tan 2 x0 1 ? x0

(II)证明:由函数 y ? ?x 的图象和函数 y ? tan x 的图象知,对于任意整数 k ,在开区间 ( k? ?

?
2

, k? ?

?
2

)内方程 ?x ? tan x 只有一个根 x0 ,

当 x ? ( k? ?

?

, x0 ) 时, ?x ? tan x ,当 x ? ( x0 , k? ? ) 时, ?x ? tan x 2 2

?

而 cos x 在区间( k? ? 因此 x ? (k? ?

?
2

, k? ?

?
2

)内,要么恒正,要么恒负

?

, x0 ) 时 f ' ? x0 ? 的符号与 x ? ( x0 , k? ? ) 时 f ' ? x0 ? 的符号相反 2 2

?

综合以上,得: f ' ? x ? ? 0 的每一个根都是 f ? x ? 的极值点 ③ 由 ?x ? tan x 得,当 x ? 0 时, tan x ? 0 ,即对于 x0 ? 0 时, x0 ? (k? ? 综合 ③、④ :对于任意 n ? N ? , n? ? 由: n? ?

?
2

, k? ) ? k ? N? ? ④

?
2

? an ? n?

?
2

? an ? n? 和 ? n ? 1? ?

?
2

? an?1 ? ? n ? 1? ? ,得:

?
2

? an ?1 ? an ?

3? 2



又: tan ? an ?1 ? an ? ? 但 ? ? an ?1 ? an ?

?an ?1 ? ? ?an ? tan an ?1 ? tan an a ? an ? ? ? n ?1 ?0, 1 ? tan an ?1 tan an 1 ? ? ?an ?1 ?? ?an ? 1 ? an ?1an

3? 时, tan ? an ?1 ? an ? ? 0 ⑥ 2

综合 ⑤、⑥ 得:

?
2

? an?1 ? an ? ?


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