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第2单元第5讲 函数的性质(一)——单调性


理解函数的单调性及其几何意义,掌握判
断函数单调性的基本方法,并能利用函数的单 调性解题.

1.(2010 ? 惠州模拟)给出下列四个函数:   1 ①f ? x ? ? x+1;②f ? x ? ? ; x 2 ③f ? x ? ? x ;④f ? x ? ? sin x. 其中在(0,+?)上是增函数的有 ? A. 0个 B. 1个 C.

个 2

A ?

D. 3个

2. a ? 1是函数f ? x ? ?| x ? a | 在区间 “ [1,+?)上为增函数”的 ? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

?

解析: 函数f ? x ? ?| x ? a | 的图象 如图所示,其单调增区间为[a,+?). 当a ? 1时,函数f ? x ? ?| x ? a | 在区间[1,+?)上为增函数, 反之若f ? x ? ?| x ? a | 在区间 [1,+?)上为增函数,则a ? 1. 于是可得“ a ? 1 是 函数f ? x ? ? x ? a 在 区间[1,+?)上为增函数 的充分不必要条件, 故选A. 

?log a x ? x ? 1? ?  f ( x) ? ? 3. 是(??,+?)上的 ?? 3a ? 1? x+4a ? x ? 1? ? 减函数,那么a的取值范围是 ? ? A. ? ? 0,1 1 B. ) (0, 3 1 1 C. , ) [ 7 3 1 D. ,1) [ 7

解析: 因为f ? x ? 是减函数, 所以y ? (3a ? 1) x+4a和y ? log a x都是减函数, 1 所以3a ? 1 ? 0,且0 ? a ? 1,即0 ? a ? . 3 所以由f ? x ? 是减函数,得(3a ? 1) ?1+4a ? log a 1, 1 即7a ? 1 ? 0,所以a ? . 7 1 1 综上,a的取值范围是[ ,),选C. 7 3

易错点: 忽视x ? 1与x ? 1之间的递减关系, 及(3a ? 1) ?1+4a ? log a 1的条件.

1 4.若二次函数f ? x ? ? x ? (a ? 1) x+5在区间( ,上 1) 2 是增函数,则a的取值范围是   .
2

1 解析: 依题意, ,是f ? x ? 增区间的一个子集区间, ( 1) 2 ? a ? 1? 1 则? ,即a ? 2,故a的取值范围为(??,. 2] 2 2

  1?函数f ? x ? ? 2 x 2 ? 3x+ 的单调递增区间是 5.? 1

; ; .

? 2?函数f ? x ? ?| 2 x2 ? 3x+1| 的单调递增区间是
(3) f ( x) ? 2 x 2 ? 3x+ 的单调递增区间是 1

解析:

3 (1)显然递增区间为[ ,+?). 4

解析:

2 ?函数f ? x ? ?| 2 x 2 ? 3x+1| 的图象如图, ?

1 3 递增区间是[ , ]和[1,+?). 2 4 3? 对于f ? x ? ? 2 x 2-3x+1, ? 1 定义域是[1,+?) ? (??, ]. 2 利用复合函数的单调性知, 递增区间是[1,+?).

1.函数的单调性及其几何意义 一般的,设函数f ? x ?的定义域为I:如果对于定义域 当x1 ? x2时, ? 若都有f ? x1 ? ① ______ f ? x2 ?,则称f ? x ? ?1 在区间D上是增函数; ? 若都有f ? x1 ? ② ______ f ? x2 ?, ?2 则称f ? x ? 在区间D上是减函数.它的等价形式,即若 x1、x2 ? [a,b],那么 I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ? f ? x ? 在区间[a,b]上是③ ____ ; ?1? x1 ? x2 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ? f ? x ? 在区间[a,b]上是④ ______. x1 ? x2 其几何意义:⑤ ____________________________.

? 2 ? ( x1 ? x2 )[ f ? x1 ? ? f ? x2 ?] ? 0 ? f ? x ? 在区间[a,b]上是 增函数; 1 ? x2 )[ f ? x1 ? ? f ? x2 ?] ? 0 ? f ? x ? 在区间[a,b] (x
上是减函数.

2.单调函数及单调区间 如果函数y ? f ? x ? 在区间D上是增函数(或减函数),我 们就说f ? x ? 在这个区间上具有严格的单调性,区间D 叫做f ? x ?的增区间(或减区间),统称为单调区间. 3.复合函数的单调性复合函数 y ? f ? g ? x ? ?由内、外两层(分别是u ? g ? x ? 和y ? f ? u ?)函 ? ? 数构成,其单调性可按⑥ __________ 的原则进行判 断,即内、外两层函数在公共定义域上,若同是增函 数或同是减函数,则f ? g ? x ? ? 为增函数;若是一增一 ? ? 减,则f ? g ? x ? ? 为减函数. ? ?

【要点指南】 ① ? ;② ? ;③增函数;④减函数; ⑤增(或减)函数图象上任意两点的连线 斜率都大于(或小于)零;⑥同增异减

题型一 判断函数的单调性,求函数的单调区间

例1.?1? 下列函数中,在区间? 0,1? 上 单调递减的是 __________ . 1 ①f ? x ? ? sin x; ②f ? x ? ? x+ ; x ③f ? x ? ? log 1 ( x+3); ④f ? x ? ?| x+1 | .
2

2 ? 求证:函数f ? x ? ? x3+x在(??,+?) ? 上是增函数.

解析: ?1? 结合基本函数性质及图象 分析可知:①、④不满足题意. 1 对于②,f ? ? x ? ? 1 ? 2 ,当x ? ? 0,1?时,f ? ? x ? ? 0, x 则f ? x ? 在 ? 0,1? 上递减; 对于③,令u ? x+3,在 ? 0,1? 上递增, 而y ? log u为减函数,由复合函数单调性知, f ? x ? ? log 1 ( x+3)在 ? 0,1? 上单调递减. 综上可知,②③在 ? 0,1? 上为减函数.
2

? 2 ? 证法1:任取x1 ? x2,则x1 ? x2 ? 0, 所以f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ( x+x1 ) ? ( x+x2 )
解析: ? ( x ? x)+( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )( x+x1 x2+x+1) ? ( x1 ? x2 )[( x1+x2 ) 2 +x+1] ? 0,即f ? x1 ? ? f ? x2 ?, 所以f ? x ? ? x +x在(??,+?)上是增函数.
3

证法2:因为f ? ? x ? ? 3 x 2+1 ? 0在(??,+?)上 恒成立,故f ? x ? 在R上为增函数.

评析:(1)①求函数的单调区间或判断函数的单调 性,一般有如下方法:图象法、定义法、导数法. ②复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则,要 特别注意的是内、外层函数所在区间的对应关系. (2)用定义法证明函数的单调性一般步骤为: 区间内取值(设数)→作差→变形→定号→下结论 要注意的是:作差是判断大小常用方法,根据题设 特点亦可采用其他方法比较.变形是解题关键, 目标是为了定号明确,故常用手段与方法是配方、因 式分解等.

?1 ? x ? 0? ? 变式1: ? 设函数f ? x ? ? ?0 ? x ? 0? ,g ? x ? ? x 2 f ( x ? 1), ?1 ?1 ? x ? 0 ? ? 则函数g ? x ?的递减区间是 ? ? A. , (?? 0] B. ? ?0,1 C.,+?) [1 D. 1,0] [?

? 2 ? 证明:函数f ( x) ?

x 2+1 ? x在定义域上是减函数.

? x 2 ( x ? 0) ? 解析: ?1? g ? x ? ? ?0 ( x ? 0) ,其图象如图所示. ?? x 2 ( x ? 0) ? 其递减区间为? 0,1?,故选B.

解析: 2 ?函数f ? x ?的定义域为R. ? 设x1,x2 ? R,且x1 ? x2,
2 则f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x12+1 ? x1 ? x2+1+x2 2 x12 ? x2 2 x12+1+ x2+1

?

? ( x1 ? x2 ) ? 1).

? ( x1 ? x2 ) ? (

x1+x2
2 x12+1+ x2+1

解析: 2 ?因为x1 ? x2,所以x1 ? x2 ? 0. ?
2 又x1 ? x12+1,x2 ? x2+1, 2 所以x1+x2 ? x12+1+ x2+1,

所以

x1+x2
2 x12+1+ x2+1

? 1,

所以f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0,即f ? x1 ? ? f ? x2 ?, 所以f ? x ? =-x在R上是减函数.

题型二

含参数函数的单调性

a 例2.讨论函数f ? x ? ? x+ ? a ? 0 ?的单调性. x
分析:注意到该函数解析式的结构特点是 “增函数+减函数”的形式,不能直接确定 增减性,需一边分析、讨论,一边论证, 所以可考虑使用函数单调性的定义或求导 数的办法来判断.

解析: 方法1:定义法.

由于函数的定义域为

{x | x ? R且x ? 0},且f ( ? x) ? - f ? x ?, 所以函数f ? x ? 为奇函数,因此可先讨论 f ? x ? 在(0,+?)上的单调性. 设0 ? x1 ? x2, a a a 则f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1+ ? x2 ? ? ( x1 ? x2 )(1 ? ). x1 x2 x1 x2 当0 ? x1 ? x2 ? a时,恒有 a ? 1, x1 x2

此时f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0,即f ? x1 ? ? f ? x2 ?. 所以f ? x ? 在(0,a ]上是减函数.

a 解析: 当 a ? x1 ? x2时,恒有0 ? ? 1, x1 x2 此时f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0,即f ? x1 ? ? f ? x2 ?, 所以f ? x ? 在[ a,+?)上是增函数. 因为f ? x ? 为奇函数, 所以f ? x ? 在(??,a ]和[ a,+?)上是增函数, 在[ a, 和(0,a ]上是减函数. 0)

解析: 方法2:导数法.

由于函数的定义域为

{x | x ? R且x ? 0},且f (? x) ? - f ? x ?,所以函数f ? x ? 为奇函数,因此可先讨论f ? x ? 在(0,+?)上的单调性. 对函数求导数,得f ? ? x ? ? 1 ? a x2

a 令f ? ? x ? ? 0,即1- 2 ? 0,解得x ? a, x 所以f ? x ? 在[ a,+?)上是增函数.令f ? ? x ? ? 0, 可得0 ? x ? a,所以f ? x ? 在(0,a ]上是减函数. 因为f ? x ? 为奇函数, 所以f ? x ? 在(-?,- a ]和[ a,+?)上是增函数, 在[-, 和(0, 0) ]上是减函数.

评析:利用定义证明单调性是高考考查的重点 知识,随着教材的改革,证明单调性也可用导 数法.

3 ? ax 变式2.已知函数f ? x ? ? (a ? 1). a ?1 ; ?1? 若a ? 0,则f ? x ?的定义域为

? 2 ? 若f ? x ? 在 ? 0,1? 上是减函数,则实数a的
取值范围是   .

3 解析: ?1?由3 ? ax ? 0且a ? 0,得x ? . a ? 2 ? 方法1:f ? x ? 在 ? 0,1? 上有意义,故3 ? ax在 ? 0,1?上恒 大于或等于0,只需3 ? a ? 0,所以a ? 3. (影响f ? x ? 单调性的两大要素为:①a ? 1的符号,即a与 1的大小;②a与0的大小.故需分类讨论) 当a ? 0时,f ? x ? 在 ? 0,1? 上为减函数; 当a ? 0时,f ? x ? 在 ? 0,1? 上无单调性; 当0 ? a ? 1时,f ? x ? 在 ? 0,1? 上为增函数; 当1 ? a ? 3时,f ? x ? 在 ? 0,1? 上为减函数. 综上可知,a ? (??, ? ?1,3?. 0)

解析:

方法2:导数法.

由方法1知,a ? 3. 1 ?a ?a 1 由f ? ? x ? ? ? = ? ? 0, a ? 1 2 3 ? ax 2? a ? 1? 3 ? ax 得a (a ? 1) ? 0,所以a ? 0或a ? 1. 故a的取值范围为{a | a ? 0或1 ? a ? 3}.

题型三

抽象函数的单调性及其应用

例3.已知函数f ? x ?的定义域为(0,+?),当x>1时, f ? x ?>0,且f ? x ? y ? ? f ? x ?+f ? y ?.

?1? 求f ?1?的值; ? 2 ? 证明:f ? x ? 在定义域上是增函数; ? 3? 解不等式f (1+x 2 )<f ( x 2 ? 2 x+3).

解析: ?1? 令x ? y ? 1,得f ?1? ? 2 f ?1?,所以f ?1? ? 0. 1 1 ? 2 ? 证明:令y ? ,知f ?1? ? f ? x ?+f ( ) ? 0, x x 1 所以f ( ) ? - f ? x ?. x 任取x1,x2 ? (0,+?),且x1<x2 x2 1 则f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?+f ( ) ? f ( ). x1 x1 x2 x2 又 >1,则f ( )>0,所以f ? x2 ?>f ? x1 ?, x1 x1 所以f ? x ? 在(0,+?)上为增函数.

解析:
2

? 3?因为1+x 2 ? 1,
2 2 2

x ? 2 x+3 ? ( x ? 1) +2 ? 2, 由于f (1+x )<f ( x ? 2 x+3), 且f ? x ? 为增函数, 所以1+x 2<x 2 ? 2 x+3,所以x<1. 故不等式的解集为(??,. 1)

评析:赋值法是解决有关抽象函数问题的重要
手段,利用单调性去掉“ f ” ,化归成熟悉的

不等式类型进而求解是解抽象不等式的重要思
想.

变式3.函数f ? x ? 对于任意的a,b ? R,都有 f (a+b) ? f ? a ?+f ? b ? ? 1,并且当x ? 0时,f ? x ? ? 1, 求证:f ? x ? 是R上的增函数.

证明:设x1,x2 ? R,且x1 ? x2,则x2 ? x1 ? 0, 所以f ( x2 ? x1 ) ? 1, f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f [( x2 ? x1 )+x1 ] ? f ? x1 ?

? f ( x2 ? x1 )+f ? x1 ? ? 1 ? f ? x1 ? ? f ( x2 ? x1 )-1 ? 0, 所以f ? x2 ? ? f ? x1 ?,所以f ? x ? 在R上为增函数.

备选例题.已知函数f ? x ? ? x ? 2ax+5(a>1).
2

?1? 若f ? x ?的定义域、值域均是[1,a],
求实数a的值; 2] ? 2 ? 若f ? x ? 在区间(??, 上为减函数,且对任意 x1,x2 ? [1,a+1],总有 | f ? x1 ? ? f ? x2 ? |? 4, 求实数a的取值范围.

解析: ?因为f ? x ? ? ( x ? a) 2+5 ? a 2 (a>1), ?1 所以f ? x ? 在[1,a]上为减函数, ? f ?1? ? a ?1 ? 2a+5 ? a 所以 ? ,即? 2 , 2 ? f ?a? ? 1 ?a ? 2a +5 ? 1 所以a ? 2.

解析: ?因为f ? x ? 在(??, 上为减函数,所以a ? 2. 2] ?2 又(a+1) ? a ? a ? 1,所以在区间[1,a+1]上, f ? x ?max ? f ?1? ? 6 ? 2a,f ? x ?min ? f ? a ? ? 5 ? a 2 . 因为对任意x1,x2 ? [1,a+1], 总有 | f ? x1 ? ? f ? x2 ? |? 4成立 解得-1 ? a ? 3. 又a ? 2,所以a的取值范围为? 2, 3?. 所以f ? x ?max ? f ? x ?min ? 4,即(6 ? 2a) ? (5 ? a 2 ) ? 4,

1.在研究函数的单调性时,要掌握并熟记 一次函数、反比例函数、二次函数、指数 函数、对数函数的单调性,要注意单调区 间是定义域的子集.

2.函数的单调性的证明方法:①定义证明 法;②导数证明法. 3.判断函数的单调性的方法:①观察法; ②图象法;③定义法;④复合函数法;⑤ 导数法.

求函数y ? log 1 ( x2+x ? 6)的单调区间.
2

错解: 因为y ? log 1 ( x 2+x ? 6)可看成由y ? log 1 u和
2 2

u ? x 2+x ? 6复合而成,而y ? log 1 u单调递减,故只需
2

1 2 25 研究u ? x +x ? 6的单调性.而u ? x +x ? 6=( x+ ) ? , 2 4 1 1 所以u在(??,- ]上递减,在[? ,+?)上递增, 2 2 1 2 所以函数y ? log 1 ( x +x ? 6)在(??,- ]上单调递增, 2 2
2 2

1 在[? ,+?)上单调递减. 2

错解分析: 复合函数的单调性要考察 内外函数的公共定义域,错解在于没有 先确定函数f ? x ?的定义域,函数性质的 确定必须优先考虑定义域.

正解: 由x 2+x ? 6 ? 0,得x ? ?3或x ? 2, 故函数f ? x ?的定义域为(??,-3) ? (2,+?). 而y ? log 1 ( x 2+x ? 6)由y ? log 1 u和u ? x 2+x ? 6复合而成,
2 2 2

1 2 25 又u ? x +x ? 6 ? ( x+ ) ? , 2 4 所以u在(??,-3)上是减函数, 在(2,+?)上是增函数, 所以y ? log 1 ( x 2+x ? 6)在(??,-3)上是增函数,
2

在(2,+?)上是减函数.


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