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山东省淄博市淄川第一中学2016届高三上学期期末考试 数学(理)


淄川一中高三 2015-2016 学年度第一学期期末检测

理科数学试卷
一、选择题: (本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)
1.设集合 A ? ?a, a 2 , ?2? , B ? ?2, 4? , A ? B ? ?4? , 则a ? ( A.2 B. ?2 C.4 D.
2

)

r />
2
)

2.在复平面内,复数 z ? ?1 ? 2i ? 对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限 a ? 3.若点 (a,9) 在函数 y ? 3x 的图象上,则 tan 的值为( ) 6 A. 0 B.
3 3

C. 1 )

D.

3

4.不等式 x ? 5 ? x ? 3 ≥ 10 的解集是( A. [?5, 7]
(??, ?4] ? [6, ??)

B. [4, 6]

C. (??, ?5] ? [7, ??)

D.

r r r r r 5、已知向量 a ? ? 2,1? , b ? ? ?1, k ? ,若 a // 2a ? b ,则 k 等于(

?

?

)

A. ?12

B. 12

C. ?

1 2

D.

1 2

? x ? y ?1 ? 0 ? 6.已知 p ? x, y ? 是不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0 的表示的平面区域内的一点, A ?1, 2 ? ,O ? x?0 ?
uur uuu r 为坐标原点,则 OA ? OP 的最大值(
A.2 B.3 C.5 D.6 )

7.为了得到函数 y ? sin 3 x ? cos 3 x 的图像,可以将函数 y ? 2 cos 3 x 的图像( A.向右平移 C.向左平移

)

?
12

个单位 个单位

B. 向右平移 D.向左平移

?
4

个单位

?

?
4

12

个单位

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8.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x (万 元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

? 为 9.4, ? ?a ? ? bx ? 中的 b 根据上表可得回归方程 y 据此模型预报广告费用为 6 万元,
则销售额约为( A.6 3 .6 万元 ) B. 65.5 万元 C. 67.7 万元 D. 72.0 万元

x2 y 2 9、已知双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线过点 2, 3 a b
一个焦点在抛物线 y 2 ? 4 7 x 的准线上,则双曲线的方程为( A.

?

?

,且双曲线的 )

x2 y 2 ? ?1 21 28

B.

x2 y 2 ? ?1 28 21

C.

x2 y 2 ? ?1 3 4

D.

x2 y 2 ? ?1 4 3

10. 函 数 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 满 足 f ? x ? 2 ? ? f ? x ?, 当

x ? ? 0,1? , f ? x ? ? 2 x ,若在区间 ? ?2,3? 上方程 ax ? 2a ? f ? x ? ? 0 恰有四个不相等的
实数根,则实数 a 的取值范围是(
? 2? A. ? 0, ? ? 5? ?2 2? B. ? , ? ?5 3?

)
?2 ? D. ? ,1? ?3 ?

?2 2? C. ? , ? ?5 3?

二、填空题: (本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)
1? ? 11.在 ? x 2 ? ? 的展开式中,x 的系数为__________. x? ?
5

12、曲线 y ? x 2 与直线 y ? x 所围成的封闭图形的面积为 13、一空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 . 14.执行右边的程序框图,输入的 T=
2 2



开始

.
S=0,T=0,n=0 T>S 否 S=S+5 是

15.已知圆的方程为 X +Y -6X-8Y=0.设该圆过点(3,5)的最 长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为

三、解答题(本题满分 75 分)
16.(本题满分 12 分)
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输出 T 结束

n=n+2 T=T+n

已知函数 f ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos 2 x (1)求函数的单调递增区间 uu u r (2)在 ?ABC中,f ? A ? ? 1, AB ? AC ? 4 ,求三角形的面积 S ?ABC

17、 (本小题满分 12 分)如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,
AD ? CD , AB // CD, AB ? AD ?

1 CD ? 2, 点 M 是线段 EC 的中点. 2
F D

(1)求证: BM // 平面 ADEF ; (2)求证:平面 BDE ⊥平面 BEC ; (3)求平面 BDM 与平面 ABF 所成的角(锐角)的余弦值.

E M C B

18. (本小题满分 12 分)

A

一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个函数:
f1 ( x) ? x 3 , f 2 ( x) ? 5
x

, f3 ( x) ? 2 , f 4 ( x) ?

2x ?1 ? , f5 ( x) ? sin( ? x) , x 2 ?1 2

f 6 ( x) ? x cos x .
(Ⅰ)从中任意拿取 2 张卡片,若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。 在此条件下,求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的 概率; (Ⅱ)现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张写有 偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数 ? 的分布列和 数学期望. 19、 (本小题满分 12 分)
1 1 在等差数列 {an } 中,首项 a1 ? ?1 ,数列 {bn } 满足 bn ? ( ) an ,且b1b2b3 ? . 2 64

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? (?1) n
6n ? 5 ,求数列 ?c n ?的前 n 项的和 Tn . an an ?1

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20、 (本小题满分 13 分)已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点为 A(2,0) , a2 b2

离心率为

2 .过点 G (1,0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M , N . 2
4 2 时,求直线 l 的方程. 5

(1)求椭圆 C 的方程; (2)当 ?AMN 的面积为

21、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 1n ( x ? 1) ? ax 2 ? x ( a ? R ).

1 时,求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值; 4 (2)若对任意实数 b ? (1, 2) ,当 x ? (?1, b] 时,函数 f ( x) 的最大值为 f (b) ,求实 数 a 的取值范围.
(1)当 a ?

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理科数学答案
1-5:CBDDC 11、-10 6-10:DABDB 12、

1 6

13、 2? ?

2 3 3

14、30 15、20 6

16.解: f ? x ? ?

3 3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2

?? 1 ? ? sin ? 2 x ? ? ? ------------------------------------------------------------4 6? 2 ?


? 2 k? ?

? ? ? ? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? ? k? ? ? x ? k? ? , k ? Z 2 6 2 3 6
? ? , k? ? ], k ? Z ------------------------6 分 3 6
?? 1 ?? 1 ? ? ? ? 1? sin ? 2 A ? ? ? 6? 2 6? 2 ?

单调增区间为 [k? ?

(2) f ? A ? ? sin ? 2 A ?

? ?

2A ?

? 5? ? ? ? A ? -------------------------------------------9 分 6 6 3

??? ? ???? 1 AB ? AC ?| AB || AC | cos A ? | AB || AC |? 4 2

AB ? AC ? 8
S ?ABC ? 1 1 3 | AB || AC | sin A ? ? 8 ? ? 2 3 ------------------------12 分 2 2 2
1 2
a

19、解: (Ⅰ)设等差数列 {a n } 的公差为 d , ? a1 ? ?1, bn ? ( ) n ,

1 ? 3? 3 d 1 1 1 1 1 ,解得 d ? 3 . ? ? b1 ? ( ) ?1 , b2 ? ( ) ?1? d , b3 ? ( ) ?1? 2 d . 由 b1b2 b3 ? 得 ( ) 2 64 2 2 2 64

? a n ? ?1 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 4. ………………6 分 6n ? 5 1 1 (Ⅱ) Q cn ? (?1) n ? (?1) n ( ? ) an an ?1 3n ? 4 3n ? 1 1 1 ?1 1? ?1 1? 1 1 ? n? Tn ? ?( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ?1? ? ? ? ?1 2 ? 2 5 ? ? 5 8 ? ? 3n ? 4 3n ? 1 ? 1 (分 n 为奇偶数讨论也可) ………………12 分 ? 1 ? (?1) n 3n ? 1
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17、证明: (1)取 DE 的中点 N ,连结 MN , AN .
1 在 ?EDC 中, M , N 分别为 EC , ED 的中点,则 MN // CD 且 MN ? CD . 2 1 由已知 AB // CD , AB ? CD ,得 MN // AB ,且 MN ? AB ,四边形 ABMN 为平行四边形. 2
BM // AN .因为 AN ? 平面 ADEF ,且 BM ? 平面 ADEF ? BM // 平面 ADEF .………4 分

(2)在正方形 ADEF 中, ED ? AD .又平面 ADEF ? 平面 ABCD , 平面 ADEF I 平面 ABCD ? AD ,? ED ? 平面 ABCD . ? ED ? BC . 在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD ? 2 , CD ? 4 ,得 BC ? 2 2 .在 ?BCD 中, BD ? BC ? 2 2 ,
CD ? 4 ,可得 BC ? BD .又 ED I BD ? D ,故 BC ? 平面 BDE .

又 BC ? 平面 BEC ,所以平面 BDE ⊥平面 BEC .………………8 分 (3)如图,建立空间直角坐标系,则 A(2, 0, 0), B(2, 2, 0), C (0, 4, 0), D(0, 0, 0), E (0, 0, 2) . z 因为点 M 是线段 EC 的中点,则 M ? 0, 2,1? , E

uuuu r uuu r DM ? ? 0, 2,1? ,又 DB ? ? 2, 2, 0 ? .
r 设 n ? ? x1 , y1 , z1 ? 是平面 BDM 的法向量,

F

N D

M C Y

uuu r r uuuu r r 则 DB ? n ? 2 x1 ? 2 y1 ? 0 , DM ? n ? 2 y1 ? z1 ? 0 .

A B x r 取 x1 ? 1 ,得 y1 ? ?1, z1 ? 2 ,即得平面 BDM 的一个法向量为 n ? ?1, ?1, 2 ? . 由题可知, DA ? ? 2, 0, 0 ? 是平面 ABF 的一个法向量. 设平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角为 ? , uuu r r DA ? n 2 6 因此, cos ? ? uuu .………………12 分 ? r r ? 6 2? 1?1? 4 DA ? n 18.解: (Ⅰ) f1 ? x ? ? x 为奇函数; f 2 ? x ? ? 5 为偶函数; f 3 ? x ? ? 2 为偶函数;
3
x

uuu r

f4 ? x ? ?

2x ?1 ? 为奇函数; f 5 ? x ? ? sin( ? x) 为偶函数; f 6 ? x ? ? x cos x 为奇函数. x 2 ?1 2

所有的基本事件包括两类:一类为两张卡片上写的函数均为奇函数; 另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数, 1 1 一个为偶函数;故基本事件总数为 C3 C3 ? C32 . 满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数, 故满足条件的基本事件个数为

C32
故所求概率为 P ?

C32 1 ? , 1 1 2 C3C3 ? C3 4
1 1 1 C3 C3 C3 1 3 ? , P ( ? ? 2 ) ? ? ? , 1 1 1 C6 2 C 6 C 5 10

(Ⅱ) ? 可取 1,2,3,4. P (? ? 1) ?

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P(? ? 3) ?
故 ? 的分布列为

1 1 1 1 1 1 1 C3 C3 C3 C3 C2 C2 C1 3 1 ; ? ? ? , P ( ? ? 4 ) ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 C 6 C 5 C 4 20 C 6 C 5 C 4 C 3 20

?
P

1

2

3

4

1 2

3 10

3 20

1 20

1 3 3 1 7 7 ? 2 ? ? 3? ? 4? ? . ? ? 的数学期望为 . 2 10 20 20 4 4 c 2 20、解: (1) a ? 2, ? ,? c ? 2 ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 a 2 x2 y 2 所以所求的椭圆方程是 ………………3 分 ? ?1 4 2 (2)①直线 l 的斜率不存在时,直线方程为 x ? 1 ,弦长 MN ? 6 , E? ? 1 ?
S ?AMN ? 6 ,不满足条件; 2
………………4 分

②直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,代入 C 的方程得:

(2k 2 ? 1) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 4 ? 0 ? ? 16k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(2k 2 ? 4) ? 8(3k 2 ? 2) ? 0
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 4 , x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

………………6 分

y1 ? k ( x1 ? 1), y2 ? k ( x2 ? 1),? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 )
? MN ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

? (1 ? k 2 )[

16k 4 8(k 2 ? 2) 2 ? ]? 2 2(k 2 ? 1)(3k 2 ? 2) ………………9 分 2 2 2 (2k ? 1) 2k ? 1 2k ? 1
k k 2 ?1
……………… 10 分

点 A 到直线 l 的距离为 d ?

所以 S ?MNA

k 2(k 2 ? 1)(3k 2 ? 2) 1 4 2 ? MN d ? ? ? , 2 2 2 2k ? 1 5 k ?1
4 2 2 2

化简得 11k ? 14k ? 16 ? 0, ( k ? 2)(11k ? 8) ? 0 ? k 2 ? 2,? k ? ? 2 所以所求的直线 l 的方程为 y ? ? 2( x ? 1) 或解 S ?MNA ?

……12 分

………………13 分

1 1 1 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? k 2 2 2

( x1 ? x2 ) 2 (下同)

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1 1 2 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? x , 4 4 1 1 x( x ? 1) 则 f ?( x) ? ? x ?1 ? ( x ? ?1) , x ?1 2 2( x ? 1) 令 f ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? 0 或 x ? 1 ; 令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 , ∴函数 f ( x) 的单调递增区间为 (?1, 0) 和 (1, ??) ,单调递减区间为 (0,1) ; 3 极大值 0,极小值 ln 2 ? ………………5 分 4 x[2ax ? (1 ? 2a)] (Ⅱ)由题意 f ?( x) ? ( x ? ?1) , ( x ? 1) (1)当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (?1, 0) 上单调递增,在 (0, ??) 上单调递减, 此时,不存在实数 b ? (1, 2) ,使得当 x ? (?1, b] 时,函数 f ( x) 的最大值为 f (b) ……7 分 1 ?1 , (2)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,有 x1 ? 0 , x2 ? 2a 1 ①当 a ? 时,函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上单调递增,显然符合题意. ………………8 分 2 1 1 1 ? 1 ? 0 即 0 ? a ? 时,函数 f ( x) 在 (?1, 0) 和 ( ? 1, ??) 上单调递增, ②当 2a 2 2a 1 ? 1) 上单调递减, f ( x) 在 x ? 0 处取得极大值,且 f (0) ? 0 , 在 (0, 2a 要使对任意实数 b ? (1, 2) ,当 x ? (?1, b] 时,函数 f ( x) 的最大值为 f (b) , 1 只需 f (1) ? 0 ,解得 a ? 1 ? ln 2 ,又 0 ? a ? , 2 1 所以此时实数 a 的取值范围是 1 ? ln 2 ? a ? ………………11 分 2 1 1 1 ? 1 ? 0 即 a ? 时,函数 f ( x) 在 (?1, ? 1) 和 (0, ??) 上单调递增, ③当 2a 2 2a 1 ? 1, 0) 上单调递减,要存在实数 b ? (1, 2) ,使得当 x ? (?1, b] 时, 在( 2a 1 ? 1) ? f (1) , 函数 f ( x) 的最大值为 f (b) ,需 f ( 2a 1 ? ln 2 ? 1 ? 0 , 代入化简得 ln 2a ? 4a 1 1 1 1 ? ln 2 ? 1 ( a ? ) ,因为 g ?(a) ? (1 ? ) ? 0 恒成立, 令 g (a ) ? ln 2a ? 4a 2 a 4a 1 1 1 1 ? ln 2 ? 1 ? 0 式恒成立; 故恒有 g (a ) ? g ( ) ? ln 2 ? ? 0 ,所以 a ? 时, ln 2a ? 2 2 2 4a ? 实数 a 的取值范围是 [1 ? ln 2, ??) . ………………14 分.
21、解: (Ⅰ)当 a ?

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