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2014高三文科第一轮复习各专题检测及答案


复习检测卷(一)
(基本初等函数(Ⅰ)及其应用)
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.

1.设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={1,2,3,5},B={2,4,6},则图 1-1 中的阴影部 分表示的集合为( )

图 1-1

A.{2} B.{4,6} C.{1,3,5} D.{4,6,7,8} 2.设 f(x)=3x-x2,则在下列区间中,使函数 f(x)有零点的区间是( A.[0,1] B.[1,2] C.[-2,-1] D.[-1,0] 3.“x<-1”是“x2-1>0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知 f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+3 是偶函数,则 f(x)的最大值是( A.1 B.3 C.0 D.-3 5.函数 y= log 1 (3 x ? 2) 的定义域是(
2

)

)

)

2 ? A.[1,+∞) B.? ?3,+∞? 2 ? ?2 ? C.? ?3,1? D.?3,1? 6.下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数为( ) 1 3 A.y=ln B.y=x |x| |x| C.y=2 D.y=cosx π π? 7.已知函数 f(x)=x-sinx,若 x1,x2∈? ?-2,2?且 f(x1)+f(x2)>0,则下列不等式中正确 的是( ) A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1+x2>0 D. x1+x2<0

8.已知函数 f(x)=ln(x+ x2+1),若实数 a,b 满足 f(a)+f(b-2)=0,则 a+b=( ) A.-2 B.-1 C.0 D.2 1 1?b ?1?a 9.设 <? < <1,那么( ) 2 ?2? ?2? A.aa<ab<ba B.aa<ba<ab b a a C.a <a <b D.ab<ba<aa 10.若函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x),且 x∈(-1,1]时 f(x)=1-x2,函数 g(x)= ? ?lg|x|?x≠0?, ? 则函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数为( ) ?1 ?x=0?. ? A.13 B.14 C.15 D.16 二、填空题:本大题共 4 小题每小题 5 分,满分 20 分. 11.y=f(x)为奇函数,当 x<0 时,f(x)=x2+ax,且 f(2)=6;则当 x≥0,f(x)的解析式为 ________. 12.若关于 x 的方程 x2-4|x|+5=m 有四个不相等的实根,则实数 m 的取值范围为 __________. 13.命题 p:?x∈R,x2+x>2,则命题 p 的否定为________________________. 14.已知 f(3x)=2xlog23,则 f(21 006)的值等于___________________________. 三、 解答题: 本大题共 6 小题, 满分 80 分. 解答须写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15. (12 分)已知集合 A={x|x2-3x-10≤0}, B={x|m+1≤x≤2m-1}, 若 A?B 且 B≠?, 求实数 m 的取值范围. 16.(13 分)函数 f(x)=(x-3)2 和 g(x)= x的图象示意图如图 1-2 所示,设两函数交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1<x2. (1)请指出示意图中曲线 C1,C2 分别对应哪一个函数? (2)若 x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且 a,b∈{0,1,2,3,4,5,6},指出 a、b 的值,并说明 理由.

图 1-2
?x2-x-6≤0, ? 17. (13 分)设 p: 实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0, 其中 a>0, 命题 q: 实数 x 满足? 2 ?x +2x-8>0. ? (1)若 a=1 且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围;

(2)若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,求实数 x 的取值范围. 18.(14 分)某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产 100 台, 需要加可变成本(即另增加投入)0.25 万元.市场对此产品的年需求量为 500 台,销售的收入 x2 函数为 R(x)=5x- (万元)(0≤x≤5),其中 x 是产品售出的数量(单位:百台). 2 (1)写出利润 L(x)表示为年产量的函数关系式; (2)当年产量是多少时,工厂所得利润最大? (3)当年产量是多少时,工厂才不亏本? x2+2x+a 19.(14 分)已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x 1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

20.(14 分)设函数 f(x)=?

x-1? ? x ?.

(1)求函数的定义域,并求 f(x)的单调区间; a b? (2)是否存在正实数 a,b(a<b),使函数 f(x)的定义域为[a,b]时值域为? ?8,8??若存在, 求 a、b 的值;若不存在,请说明理由.

答题卡 题号 答案 11.__________ 15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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复习检测卷(二)
(导数及其应用)
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1.已知函数 y=f(x)=x2+1,则在 x=2,Δx=0.1 时,Δy 的值为( ) A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 2.函数 y=4x-x4,在[-1,2]上的最大、最小值分别为( ) A.f(1),f(-1) B.f(1),f(2) C.f(-1),f(2) D.f(2),f(-1) 3.曲线 y=x3-2x+1 在点(1,0)处的切线方程为( ) A.y=x-1 B.y=-x+1 C.y=2x-2 D.y=-2x+2 4. 已知函数 y=xf′(x)的图象如图 2-1 所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数). 下面四个 图象中,y=f(x)的图象大致是( )

图 2-1

5.函数 f(x)=x3+ax2-3x-9,已知 f(x)的两个极值点为 x1,x2,则 x1· x2=( A.9 B.-9 C.1 D.-1

)

6.已知点 P 在曲线 y= ( ) π 0, ? A.? ? 4?

4 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是 ex+1

π π? B.? ?4,2? π 3π? ?3π ? C.? ?2, 4 ? D.? 4 ,π? 7.函数 y=x3-2ax+a 在(0,1)内有极小值,则实数 a 的取值范围为( ) A.(0,3) B.(-∞,3) 3? C.(0,+∞) D.? ?0,2? π π? 8. 已知函数 f(x)=xsinx, 若 x1, x2∈? 则下列不等式中正确的是( ) ?-2,2?且 f(x1)<f(x2), A.x1>x2 B.x1<x2 2 C.x1+x2<0 D.x1 <x2 2 9.已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时,f′(x)>0,g′(x)>0, 则 x<0 时( ) A.f′(x)>0,g′(x)>0 B.f′(x)>0,g′(x)<0 C.f′(x)<0,g′(x)>0 D.f′(x)<0,g′(x)<0 10.抛物线 y=x2 到直线 x-y-2=0 的最短距离为( ) 7 2 A. 2 B. 8 C.2 2 D.以上答案都不对 二、填空题:本大题共 4 小题每小题 5 分,满分 20 分. 11.设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R 有大于零的极值点,则 a 的取值范围为________. 4x 12.若函数 f(x)= 2 在区间(m,2m+1)上是单调递增函数,则实数 m 的取值范围是 x +1 ________. 13. 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x), 且满足 f(x)=3x2+2xf′(2), 则 f′(5)=____________. 14.做一个容积为 256 升的底面为正方形的长方体无盖水箱,则它的高为________分米 时,材料最省. 三、 解答题: 本大题共 6 小题, 满分 80 分. 解答须写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.(12 分)设 x=1 和 x=2 是函数 f(x)=x5+ax3+bx+1 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)求 f(x)的单调区间. 1 1 16.(13 分)设 f(x)=- x3+ x2+2ax. 3 2 2 ? (1)若 f(x)在? ?3,+∞?上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 16 (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为- ,求 f(x)在该区间上的最大值. 3 ex 17.(13 分)设函数 f(x)= . x (1)求函数 f(x)的单调区间; (1)若 k>0,求不等式 f′(x)+k(1-x)f(x)>0 的解集. 18.(14 分)某企业拟建造如图 2-2 所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的 80π 中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为 立方米,且 l≥2r.假设 3 该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形

部分每平方米建造费用为 c(c>3).设该容器的建造费用为 y 千元.

图 2-2

(1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r. 19.(14 分)设 a 为实数,函数 f(x)=x3-x2-x+a. (1)求 f(x)的极值; (2)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点. 1 π 20.(14 分)已知函数 f(x)=4x3-3x2cosθ+ ,其中 x∈R,θ 为参数,且 0≤θ≤ . 32 2 (1)当 cosθ=0 时,判断函数 f(x)是否有极值; (2)要使函数 f(x)的极小值大于零,求参数 θ 的取值范围; (3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 θ,函数 f(x)在区间(2a-1,a)内都是增函数, 求实数 a 的取值范围.

答题卡 题号 答案 11.__________ 15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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复习检测卷(三)
(不等式)
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.

1.已知 a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是( ) A.若 a>b,则 ac2>bc2 a b B.若 > ,则 a>b c c 1 1 C.若 a3>b3 且 ab<0,则 > a b 1 1 2 2 D.若 a >b 且 ab>0,则 < a b 2.不等式(x-3)(2-x)>0 的解集是( ) A.{x|x<2 或 x>3} B.{x|2<x<3} C.{x|x≠2 且 x≠3} D.{x|x≠2 或 x≠3} 3.函数 f(x)是 R 上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)|<1 的 解集是( ) A.(1,4) B(-1,2) C.(-∞,1) ∪[4,+∞) D.(-∞,-1) ∪[2,+∞) 4.若 2m+2n<4,则点(m,n)必在( ) A.直线 x+y-2=0 的左下方 B.直线 x+y-2=0 的右上方 C.直线 x+2y-2=0 的右上方 D.直线 x+2y-2=0 的左下方 1 5.当 x>1 时,不等式 x-2+ ≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) x-1 A.(-∞,0] B.[0,+∞) C.[1,+∞) D.(-∞,1] 6.下列结论正确的是( ) 1 A.当 x>0 且 x≠1 时,lgx+ ≥2 lgx 1 B.当 x>0 时, x+ ≥2 x 1 C.当 x≥2 时,x+ 的最小值为 2 x 1 D.当 0<x≤2 时,x- 无最大值 x

7.已知 f(x)(x≠0,x∈R)是奇函数,当 x<0 时,f′(x)>0,且 f(-2)=0,则不等式 f(x)>0 的解集是( ) A.(-2,0) B.(2,+∞) C.(-2,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 8. 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a, 得 2 分的概率为 b, 不得分的概率为 c[a, 2 1 b,c∈(0,1)],已知他投篮一次得分的期望是 2,则 + 的最小值为( ) a 3b 32 28 14 16 A. B. C. D. 3 3 3 3 y≤x, ? ? 9.已知 x,y 满足约束条件?x+y≤1, ? ?y≥-1. 3 A.-3 B.- 2 3 C. D.3 2 ) 则 z=2x+y 的最大值为( )

1 10.已知函数 f(x)=x3+2ax2+ x(a>0),则 f(2)的最小值为( a 3 A.12 2

B.16 2 1 C.8+8a+ D.12+8a+ a a 二、填空题:本大题共 4 小题每小题 5 分,满分 20 分. 11 .若 a>0 , b>0 , a + b = 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的是 ____________(写出所有正确命题的编号). 1 1 ①ab≤1;② a+ b≤ 2;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤ + ≥2. a b x-y+1≥0, ? ? 12 .已知点 P (x,y) 的坐标满足 ?x+y-3≥0, ? ?x≤2. ________. 1 1 13.设 x,y 为正实数,且 log3x+log3y=2,则 + 的最小值是__________. x y 2 1 14.若直线 2ax+by-2=0(a,b∈R+)平分圆 x2+y2-2x-4y-6=0,则 + 的最小值是 a b ________. 三、 解答题: 本大题共 6 小题, 满分 80 分. 解答须写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.(12 分)设 f(x)=(m+1)x2-mx+m-1. (1)当 m=1 时,求不等式 f(x)>0 的解集; 3 ? (2)若不等式 f(x)+1>0 的解集为? ?2,3?,求 m 的值. 16.(13 分)某集团准备兴办一所中学,投资 1 200 万元用于硬件建设,为了考虑社会效 益和经济效益,对该地区的教育市场进行调查,得出一组数据列表(以班为单位)如下: 班级学生数 配备教师数 硬件建设(万元) 教师年薪(万/人) 60 2.0 28 1.2 初中 40 2.5 58 1.6 高中 根据有关规定,除书本费、办公费外,初中生每年收取学费 600 元,高中生每年收取学 费 1 500 元,因生源和环境等条件限制,办学规模以 20 至 30 个班为宜,请你合理规划办学 规模使年利润最大,最大利润为多少万元(利润=学费收入—年薪支出)? 17.(13 分)围建一个面积为 360 m2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的 旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口,如 图 3-1 所示.已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长度为 O 为坐标原点,则 |PO| 的最小值为

x(单位:m),修建此矩形场地围墙总费用为 y(单位:元).

图 3-1 (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 18.(14 分)如图 3-2 所示是某水产养殖场的养殖大网箱的平面图,四周的实线为网衣, 为避免混养,用筛网(图中虚线)把大网箱隔成大小一样的小网箱. (1)若大网箱的面积为 108 平方米,每个小网箱的长 x,宽 y 设计为多少米时,才能使围 成的网箱中筛网总长度最小; (2)若大网箱的面积为 160 平方米,网衣的造价为 112 元/米,筛网的造价为 96 元/米,且 大网箱的长与宽都不超过 15 米,则小网箱的长、宽为多少米时,可使总造价最低? 图 3-2 a+x a 19.(14 分)(1)已知:a,b,x 均是正数,且 a>b,求证:1< < ; b+x b a (2)当 a,b,x 均是正数,且 a<b,对真分数 ,给出类似上小题的结论,并予以证明; b sinA sinB sinC (3)证明:△ABC 中, + + <2(可直接应用第(1)、(2)小题 sinB+sinC sinC+sinA sinA+sinB 结论); (4)自己设计一道可直接应用第(1)、(2)小题结论的不等式证明题. 20.(14 分)某企业投入 81 万元经销某产品,经销时间共 60 个月,市场调研表明,该企 1 [1≤x≤20,?x∈N*], ? ? 业在经销这个产品期间第 x 个月的利润 f(x)=? 1 (单位: 万元). 为 * ?10x [21≤x≤60,?x∈N ]. ? 了获得更多的利润,企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中.记第 x 个月的利润率为 第x个月的利润 f?3? g(x)= ,例如 g(3)= . 第x个月前的资金总和 81+f?1?+f?2? (1)求 g(10); (2)求第 x 个月的当月利润率; (3)求该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求出该月的当月利润率.

答题卡 题号 答案 11.__________ 15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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复习检测卷(四)
(三角函数、平面向量、解三角形)
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.

1.sin480° 的值为( ) 1 3 1 3 A.- B.- C. D. 2 2 2 2 2.与向量 a=(3,4)同方向的单位向量为 b,又向量 c=(-5,5),则 b· c=( ) A.(-3,4) B.(3,-4) C.1 D.-1 3.(2011 年四川)在△ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则 A 的取值范围是( π π 0, ? B.? ,π? A.? 6 ? ? ?6 ? π? ?π ? C.? ?0,3? D.?3,π? 4.已知 tanθ=4,则 sinθcosθ-2cos2θ=( ) 1 7 1 2 A.- B. C.- D. 4 4 5 17 π? ? π ? 5. 将函数 y=3sin? ?2x+3?的图象按向量 a=?-6,-1?平移后所得图象的解析式是( 2π? A.y=3sin? ?2x+ 3 ?-1 2π? B.y=3sin? ?2x+ 3 ?+1 C.y=3sin2x+1 π? D.y=3sin? ?2x+2?-1 6. 已知向量 a=(cosθ, sinθ), 向量 b=( 3, -1)则|2a-b|的最大值, 最小值分别是( A.4 2,0 B.4,4 2 C.16,0 D.4,0 7.在△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 → → 8.在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则AB· BC的值为( ) A.79 B.69 C.5 D.-5 π? ? π ? 9.函数 y=sin? ) ?2x-3?在区间?-2,π?的简图是(

)

)

)

? ?sinx 当sinx≥cosx时, 10.对于函数 f(x)=? 下列命题正确的是( ) ?cosx 当sinx<cosx时, ? A.该函数的值域是[-1,1] π B.当且仅当 x=2kπ+ (k∈Z)时,函数取得最大值 1 2 C.该函数是以 π 为周期的周期函数 3π D.当且仅当 2kπ+π<x<2kπ+ (k∈Z)时,f(x)<0 2 二、填空题:本大题共 4 小题每小题 5 分,满分 20 分. → → → → 11. 已知OA=(-1,2), OB=(3, m), 若OA⊥AB, 则 m=______________________________. π 1 12.(2011 年北京)在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,sinA= ,则 a=__________. 4 3 13.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,若 A=60° ,b,c 分别是方 2 程 x -7x+11=0 的两个根,则 a 等于________. 14.在△ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. sin2x-cos2x+1 15.(12 分)已知函数 f(x)= . 2sinx (1)求 f(x)的定义域; 4 (2)设 α 是锐角,且 tanα= ,求 f(α)的值. 3 π ? 16.(13 分)已知函数 f(x)=-2sin(-x)sin? ?2+x?. (1)求 f(x)的最小正周期; π π? (2)求 f(x)在区间? ?-6,2?上的最大值和最小值. 17.(13 分)如图 4-1,已知△ABC 中,∠ACB=90° ,AC=BC,D 为 AC 的中点,E 为 1 AB 上一点,且 AE= EB,试证:BD⊥CE. 2

图 4-1 18.(14 分)已知函数 f(x)=sin2x+ 3sinxcosx+2cos2x,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?

19. (14 分)半圆 O 的直径为 2, A 为直径延长线上的一点, OA=2, B 为半圆上任意一点, 以 AB 为一边作等边三角形 ABC(如图 4-2).问:点 B 在什么位置时,四边形 OACB 的面积 最大?

图 4-2

20.(14 分)已知向量 m=( 3sinx,cosx),n=(cosx,cosx),p=(2 3,1). (1)若 m∥p,求 sinx· cosx 的值; (2)设△ABC 的三边 a, b, c 满足 b2=ac, 且边 b 所对的角 θ 的取值集合为 M.当 x∈M 时, 求函数 f(x)=m· n 的值域.

答题卡 题号 答案 11.__________ 15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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复习检测卷(五)
(数列)
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.

1.已知数列 1,-1,1,-1,?.则下列各式中,不能作为它的通项公式的是( ) ? 2 n - 1 ? π - A.an=(-1)n 1 B.an=sin 2 n C.an=-cosnπ D.an=(-1) 2.在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则 a10=( ) A.12 B.14 C.16 D.18 3. 等比数列{an}的首项与公比分别是复数 i+2 (i 是虚数单位)的实部与虚部, 则数列{an} 的前 10 项的和为( ) A 20 B.210-1 C.-20 D.-2i 4.(2010 年河南开封联考)在数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an+2-an=1+(-1)n,n∈N*, 则 S100=( ) A.2 100 B.2 600 C.2 800 D.3100 5.在等比数列{an}中,a5a7=6,a2+a10=5,则 q=( ) 2 3 2 3 2 3 A.- 或- B. C. D. 或 3 2 3 2 3 2 6.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a8+a11=30,那么 S13 值的是( ) A.130 B.65 C.70 D.以上都不对 7.已知{an}是递增数列,对任意的 n∈N*,都有 an=n2+λn 恒成立,则 λ 的取值范围是 ( ) 7 ? A.? ?-2,+∞? B.(0,+∞) C.(-2,+∞) D.(-3,+∞) 2 2 8.在等比数列{an}中,若对 n∈N*,都有 a1+a2+?+an=2n-1,则 a2 1+a2+?+an等 于( ) 1 A.(2n-1)2 B. (2n-1)2 3 1 n n C.4 -1 D. (4 -1) 3 9.如图 5-1,在杨辉三角形中,斜线 l 的上方从 1 按箭头方向可以构成一个“锯齿形” 的数列{an}:1,3,3,4,6,5,10,?,记其前 n 项和为 Sn,则 S19 的值为( )

图 5-1

A.129 B.172 C.228 D.283 10. 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项的和, 已知 S6=36, Sn=324, Sn-6=144, 则 n 等于( ) A.16 B.17 C.18 D.19 二、填空题:本大题共 4 小题每小题 5 分,满分 20 分. 11.已知等比数列{an}中,a3=3,a6=24,则该数列的通项 an=________. 12.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列.类 T16 比以上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,______,______, 成等比数列. T12 13.从 2006 年 1 月 2 日起,每年 1 月 2 日到银行存入一万元定期储蓄,若年利率为 p, 且保持不变, 并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款, 到 2012 年 1 月 1 日将所有 存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数为________万元. 14.已知在等差数列{an}中,前 n 项的和为 Sn,S6<S7,S7>S8,则:①数列的公差 d<0; ②a7 最大;③S9<S6;④S7 是 Sn 中的最大值.其中正确的是______________. 三、 解答题: 本大题共 6 小题, 满分 80 分. 解答须写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.(12 分)已知数列{an}为等差数列,且 a3=7,a7=15. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 an=log3bn,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 16.(13 分)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2,5,13 后成为等 比数列{bn}中的 b3,b4,b5. (1)求数列{bn}的通项公式; 5? ? (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ? 17.(13 分)某企业 2011 年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将 逐年下降.若不能进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元,今年初该 企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造, 预测在未扣除技术改造资金的情况下, 第 n 年(今 1 ? 年为第一年)的利润为 500? ?1+2n?万元(n 为正整数). (1)设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元,进行技术 改造后的累计纯利润为 Bn 万元(须扣除技术改造资金),求 An,Bn 的表达式; (2)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不 进行技术改造的累计纯利润?
2 18.(14 分)设 Sn 是正项数列{an}的前 n 项和,4Sn=an +2an-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)已知 bn=2n,求 Tn=a1b1+a2b2+?anbn 的值.

19.(14 分)(2012 年广东惠州一模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an-1,等差数 列{bn}满足 b1=a1,b4=S3. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; 1 1 001 (2)设 cn= ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,问 Tn> 的最小正整数 n 是多少? 2 012 bnbn+1

an+2-an+1 20.(14 分)在数列{an}中,如果对任意 n∈N*都有 =p(p 为非零常数),则称数 an+1-an 列{an}为“等差比”数列,p 叫数列{an}的“公差比”. (1)已知数列{an}满足 an=-3· 2n+5(n∈N*),判断该数列是否为等差比数列? (2)已知数列{bn}(n∈N*)是等差比数列,且 b1=2,b2=4,公差比 p=2,求数列{bn}的通 项公式 bn; (3)记 Sn 为(2)中数列{bn}的前 n 项的和, 证明数列{Sn}(n∈N*)也是等差比数列, 并求出公 差比 p 的值.

答题卡 题号 答案 11.__________ 15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14.__________

12.__________ __________

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复习检测卷(六)
(圆锥曲线)
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. x2 y2 1. 设 P 是椭圆 + =1 上的点. 若 F1, F2 是椭圆的两个焦点, 则|PF1|+|PF2|等于( ) 25 16 A.4 B.5 C.8 D.10 2.“m>n>0”是“方程 mx2+ny2=1”表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.把直线 λx-y+2=0 按向量 a=(2,0)平移后恰与 x2+y2-4y+2x+2=0 相切,则实数 λ 的值为( ) 14 A. 或 14 B.- 14或 14 14 14 14 2 C. 或- D.- 或 2 14 14 2 x2 y2 4.双曲线 - =1 的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则 r=( ) 6 3 A. 3 B.2 C.3 D.6 x2 y2 3 x2 y2 5.若椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,则双曲线 2- 2=1 的离心率是( ) a b 2 a b 5 5 3 5 A. B. C. D. 4 2 2 4 1 6.已知椭圆的中心在原点,离心率 e= ,且它的一个焦点与抛物线 y2=-4x 的焦点重 2 合,则此椭圆方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 4 3 8 6 x2 2 x2 2 C. +y =1 D. +y =1 2 4 x2 y2 7.已知 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形 a b MF1F2,若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( ) A.4+2 3 B. 3-1 3+1 C. D. 3+1 2 ? ?x=2+cosθ, 8.若直线 y=x-b 与曲线? (θ∈[0,2π))有两个不同的公共点,则实数 b 的 ?y=sinθ ?

取值范围为( ) A.(2- 2,1) B.[2- 2,2+ 2] C.(-∞,2- 2)∪(2+ 2,+∞) D.(2- 2,2+ 2) x2 y2 9.已知双曲线 C: - =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为 C 的右支上一点,且|PF2| 9 16 =|F1F2|,则△PF1F2 的面积等于( ) A.24 B.36 C.48 D.96 → → x2 y2 PF1· PF2 1 10.已知 P 是椭圆 + =1 上的点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,若 = , 4 3 → → 2 |PF1|· |PF2| 则△F1PF2 的面积为( ) 3 A. B. 3 C.2 3 D.3 3 3 二、填空题:本大题共 4 小题每小题 5 分,满分 20 分. ?x=1+t, ? 11.设直线 l1 的参数方程为? (t 为参数),直线 l2 的方程为 y=3x+4,则 l1 与 ? ?y=1+3t l2 的距离为________. x2 y2 1 12.椭圆 + =1 的离心率为 ,则 a=______________. a 9 2 → → 13.设动点 P 是抛物线 y=2x2+1 上任意一点,点 A(0,1),若点 M 满足PM=2MA,则点 M 的轨迹方程为_____________________________________. x2 y2 14.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与抛物线 y2=8x 有一个公共的焦点 F,且两曲线的 a b 一个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的方程为______________________. 三、 解答题: 本大题共 6 小题, 满分 80 分. 解答须写出文字说明、 证明过程或演算步骤. x2 y2 15.(12 分)已知双曲线 C 与双曲线 - =1 有公共焦点,且过点(3 2,2).求双曲线 16 4 C 的方程. x2 y2 3 16.(13 分)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为 . a b 5 (1)求 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5 17.(13 分)为了加快县域经济的发展,某县选择两乡镇作为龙头带动周边乡镇的发展, 决定在这两个镇的周边修建环形高速公路,假设一个单位距离为 10 km,两镇的中心 A,B 相距 8 个单位距离,环形高速公路所在的曲线为 E,且 E 上的点到 A,B 的距离之和为 10 个 单位距离,在曲线 E 上建一个加油站 M 与一个收费站 N,使 M,N,B 三点在一条直线上, 并且|AM|+|AN|=12 个单位距离(如图 6-1). (1)求曲线 E 的方程 M,N 及之间的距离有多少个单位距离; (2)A,B 之间有一条笔直公路 Z 与 X 轴正方向成 45° ,且与曲线 E 交于 P,Q 两点,该县 招商部门引进外资在四边形 PAQB 区域开发旅游业, 试问最大的开发区域是多少(平方单位距 离)?

图 6-1

18.(14 分)椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

6 ,并与直线 y=x+2 相切. 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图 6-2,过圆 D:x2+y2=4 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线 m,n.求证:m⊥n.

图 6-2

19.(14 分)已知动点 P 到定点 F( 2,0)的距离与点 P 到定直线 l:x=2 2的距离之比 2 为 . 2 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; → → (2)设 M、N 是直线 l 上的两个点,点 E 与点 F 关于原点 O 对称,若EM· FN=0,求|MN| 的最小值. 20.(14 分)已知一动圆 P(圆心为 P)经过定点 Q( 2,0),并且与定圆 C:(x+ 2)2+y2= 16(圆心为 C)相切. (1)求动圆圆心 P 的轨迹方程; (2)若斜率为 k 的直线 l 经过圆 x2+y2-2x-2y=0 的圆心 M,交动圆圆心 P 的轨迹于 A, → → → B 两点.是否存在常数 k,使得CA+CB=2CM?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明 理由.

答题卡 题号 答案 11.__________ 15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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复习检测卷(七)
(立体几何)
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.

1.下列命题正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两条相交直线确定一个平面 1 2.如图 7-1,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 .则该几何 2 体的俯视图可以是( )

图 7-1

3. 正方体 ABCD-A′B′C′D′中, AB 的中点为 M, DD′的中点为 N, 异面直线 B′M 与 CN 所成的角是( ) A.0° B.45° C.60° D.90° 4.如图 7-2,在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,则在下列命题中,错误的为 ( )

图 7-2 A.AC⊥BD B.AC∥截面 PQMN C.AC=BD D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45°

5.下列命题中,错误的是( ) A.平行于同一条直线的两个平面平行 B.平行于同一个平面的两个平面平行 C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行 D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交 6.a,b 是异面直线,下面四个命题: ①过 a 至少有一个平面平行于 b; ②过 a 至少有一个平面垂直于 b; ③至多有一条直线与 a,b 都垂直;④至少有一个平面分别与 a,b 都平行. 其中正确的命题个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.正四棱锥的侧棱长为 2 3,侧棱与底面所成的角为 60° ,则该棱锥的体积为( ) A.3 B.6 C.9 D.18 8.直线 a∥平面 α,P∈α,那么过点 P 且平行于 a 的直线( ) A.只有一条,不在平面 α 内 B.有无数条,不一定在 α 内 C.只有一条,且在平面 α 内 D.有无数条,一定在 α 内 9.如图 7-3,四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不正 确的是( )

图 7-3 A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 10.如图 7-4.某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是 矩形,则该几何体的体积为( )

图 7-4

A.6 3 B.9 3 C.12 3 D.18 3 二、填空题:本大题共 4 小题每小题 5 分,满分 20 分. 11. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上, 且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3, 则此球的表面积为____________________________. 12.若一个圆锥的主视图 (如图 7-5)是边长为 3,3,2 的三角形,则该圆锥的侧面积是 __________ .

图 7-5 13.设 x,y,z 是空间中不同的直线或不同的平面,且直线不在平面内,则下列结论中 能保证“若 x⊥z,且 y⊥z,则 x//y”为真命题的是____________(把你认为正确的结论的代号 都填上). ①x 为直线,y,z 为平面; ②x,y,z 为平面; ③x,y 为直线,z 为平面; ④x,y 为平面,z 为直线; ⑤x,y,z 为直线. 14.如图 7-6,半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表 面积与该圆柱的侧面积之差是________.

图 7-6 三、 解答题: 本大题共 6 小题, 满分 80 分. 解答须写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.(12 分)如图 7-7,已知 PA⊥⊙O 所在平面,AB 为⊙O 直径,C 是圆周上任一点, 过 A 作 AE⊥PC 于 E,求证:AE⊥平面 PBC.

图 7-7 16.(13 分)如图 7-8,已知 PA⊥平面 ABCD,ABCD 为矩形,PA=AD,M,N 分别是 AB,PC 的中点. 求证:(1)MN∥平面 PAD; (2)平面 PMC⊥平面 PDC.

图 7-8

17. (13 分)如图 7-9, 正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 a, 点 M 在边 BC 上, △AMC1 是以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形. (1)求证:点 M 为边 BC 的中点; (2)求点 C 到平面 AMC1 的距离.

图 7-9

18.(14 分)如图 7-10,在圆锥 PO 中,已知 PO= 2,⊙O 的直径 AB=2,点 C 在 AB 上,且∠CAB=30° ,D 为 AC 的中点. (1)证明:AC⊥平面 POD; (2)求直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值.

图 7-10

19.(14 分)如图 7-11,平行四边形 ABCD 中,∠DAB=60° ,AB=2,AD=4,将△CBD 沿 BD 折起到△EBD 的位置,使平面 EDB⊥平面 ABD. (1)求证:AB⊥DE; (2)求三棱锥 E-ABD 的侧面积.

图 7-11

20.(14 分)如图 7-12,在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA= AD=1,AB= 3,点 F 是 PD 的中点,点 E 在 CD 上移动. (1)求三棱锥 E-PAB 的体积; (2)当点 E 为 CD 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的关系,并说明理由; (3)求证:PE⊥AF.

图 7-12

答题卡 1 2 3 4 题号 答案 11.__________ 12.__________ 15. 5 6 7 8 9 10

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复习检测卷(八)
(复数、概率与统计)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分).

1+2i 1.设 a、b 为实数,若复数 =1+i,则( ) a+bi 3 1 A.a= ,b= B.a=3,b=1 2 2 1 3 C.a= ,b= D.a=1,b=3 2 2 2.在 100 个零件中,有一级品 20 个、二级品 30 个、三级品 50 个,从中抽取 20 个作为 样本. ①采用随机抽样法:抽签取出 20 个作为样本. ②采用系统抽样法:将零件编号为 00,01,?,99,然后平均分组抽取 20 个样本; ③采用分层抽样法:从一级品、二级品、三级品中抽取 20 个样本. 下列说法中正确的是( ) A.无论采用哪种方法,这 100 个零件中每一个被抽到的概率都相等 B.①②两种抽样方法,这 100 个零件中每一个被抽到的概率都相等,③并非如此 C.①③两种抽样方法,这 100 个零件中每一个被抽到的概率都相等,②并非如此 D.采用不同的抽样方法,这 100 个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的 3.在图 8-1 中,每个图的两个变量具有相关关系的图是( )

图 8-1

A.①② B.①③ C.②④ D.②③ 4.随机抽取某中学甲乙两班各 6 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的 茎叶图如图 8-2.则甲班样本数据的众数和乙班样本数据的中位数分别是( )

图 8-2

A.170,170 C.171,170

B.171,171 D.170,172

5.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下: 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( ) A.92,2 B.92,2.8 C.93,2 D.93,2.8 6.(2011 年山东)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 4 2 3 5 广告费用 x(万元) 49 26 39 54 销售额 y(万元) ^ ^ ^ ^ 根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额 为( ) A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元 7. 某工厂对一批产品进行了抽样检测. 图 8-3 是根据抽样检测后的产品净重(单位: 克) 数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是 [96,106] ,样本数据分组为 [96,98) , [98,100),[100,102),[102,104),[104,106].已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则 样本中净重不小于 100 克并且小于 104 克的产品的个数是( )

图 8-3 A.90 B.75 C.66 D.45

8.用系统抽样法(按等距离的规则)要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名 学生从 1~160 编号.按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,?153~160 号),若第 16 组应抽出的号码为 125,则第一组中按此抽签方法确定的号码是( ) A.7 B.5 C.4 D.3 ) 5 9.从区间[0,1]内任取两个数,则这两个数的和不大于 的概率是( 6 3 4 16 25 A. B. C. D. 5 5 25 72 10.已知平面区域 Ω=??x,y???

? ?

??y≥0, ? ? ??y≤ 4-x2?

,直线 y=x+2 和曲线 y= 4-x2围成 )

的平面区域为 M,向区域 Ω 上随机投一点 A,则点 A 落在区域 M 内的概率 P(M)为( π-2 π+2 π+2 π-2 A. B. C. D. 4π 4π 2π 2π 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

11.某校共有学生 2 000 名,各年级男、女学生人数如下表示,已知在全校学生中随机 抽取 1 名,抽到高二级女生的概率是 0.19,现用分层抽样的方法(按年级分层)在全校学生中 抽取 64 人,则应在高三级中抽取的学生人数为___________. 高一级 385 高二级 a 高三级 b

女生

375 360 c 男生 12.在 5 个数字 1,2,3,4,5 中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是 _______(结果用数值表示) 13.将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数 据的频率之比为 2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数据的频数之和等于 27,则 n 等于____. 14.随机抽取某中学甲、乙两个班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm)获得身高数 据的茎叶图如图 8-4(1), 在样本的 20 人中, 记身高在[150,160)、 [160,170)、 [170,180)、 [180,190) 的人数依次为 A1、A2、A3、A4.图 8-4(2)是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法流程 图,由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是______班;图(2)输出的______(用数字作答).

图 8-4 三、 解答题: 本大题共 6 小题, 满分 80 分. 解答须写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.(12 分)集合 A={x|1≤x≤5},集合 B={y|2≤y≤6}. (1)若 x∈A,y∈B,且均为整数,求 x=y 的概率; (2)若 x∈A,y∈B,且均为整数,求 x>y 的概率; (3)若 x∈A,y∈B,且均为实数,求 x>y 的概率. 16.(13 分)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和 品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机 选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙. (1)假设 n=2,求第一大块地都种植品种甲的概率; (2)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8.试验结束后得到品种甲和品种乙在这个小块地 上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表: 403 397 390 404 388 400 412 406 品种甲 419 403 412 418 408 423 400 413 品种乙 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为 应该种植哪一品种? 1 - - - 附:样本数据 x1、x2、?、xn 的样本方差 s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2],其 n - 中 x 为样本平均数. 17.(13 分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进 行分析研究,他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗 种子中的发芽数,得到如下资料: 日期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 10 11 13 12 8 温差 x(℃) 23 25 30 26 16 发芽数 y(颗) 该农科组所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取 2 组,用剩下的 3 组数据求线性 回归方程,再对被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率;

(2)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的 2 组数据, 请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据, 求出 y 关于 x 的线性回归方程 y=bx+a; (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则认为 得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠? 18.(14 分)某校在 2011 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩, 被抽 取学生的成绩均不低于 160 分, 且低于 185 分, 图 8-5 是按成绩分组得到的频率分布直方图 的一部分(每一组均包括左端点数据而不包括右端点数据),且第 3 组、第 4 组、第 5 组的频 数之比依次为 3∶2∶1. (1)请完成频率分布直方图;

图 8-5 (2)为了能选拔出最优秀的学生,该高校决定在笔试成绩较高的第 3 组、第 4 组、第 5 组 中用分层抽样的方法抽取 6 名学生进入第二轮面试, 求第 3,4,5 组每组各抽取多少名学生进入 第二轮面试; (3)在(2)的前提下, 学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生由考官 A 面试, 求第 4 组至 少有一名学生被考官 A 面试的概率. 19.(14 分)(2011 年广东广州调研)某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和 接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数分布)如下表: 学历 35 岁以下 35~50 岁 50 岁以上 80 30 20 本科 x 20 y 研究生 (1)用分层抽样的方法在 35~50 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 5 的样本, 将该样本看成一个总体,从中任取 2 人,求至少有 1 人的学历为研究生的概率; (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 N 个人,其中 35 岁 以下 48 人,50 岁以上 10 人,再从这 N 个人中随机抽取出 1 人,此人的年龄为 50 岁以上的 5 概率为 ,求 x,y 的值. 39 20. (14 分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关, 对本班 50 人进行了问卷调查得 到了如下的列联表: 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 5 男生 10 女生 50 合计 3 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . 5 (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由; (3)已知喜爱打篮球的 10 位女生中,A1,A2,A3,A4,A5 还喜欢打羽毛球,B1,B2,B3 还喜欢打乒乓球,C1、C2 还喜欢踢足球.现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球

的女生中各选出 1 名进行其他方面的调查,求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 下面的临界值表供参考: 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 P(K2≥k) k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 2 n?ad-bc? ?参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d? ? ?. ?a+b??c+d??a+c??b+d? ? ?

0.001 10.828

答题卡 题号 答案 11.__________ 15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12.__________

13.__________

14.__________ __________

17.

19.

复习检测参考答案

复习检测卷(一)
1.B 2.D 3.A 4.B 5.D 6.A 7.C 8.D 9.C 10.B 11.-x2+5x 12.m∈(1,5) 13.?x∈R,x2+x≤2 14.2 012 15.解:A={x| x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}. m+1≤-2, ? ? 若 A B 且 B≠?,则?2m-1≥5, ? ?m+1≤2m-1, 解得 2≤m≤3.

∴实数 m 的取值范围是 m∈[2,3]. 16.解: (1)C1 对应的函数为 f(x)=(x-3)2, C2 对应的函数为 g(x)= x. (2)a=1,b=4. 理由如下:令 φ(x)=f(x)-g(x)=(x-3)2- x, 则 x1,x2 为函数 φ(x)的零点, 由于 φ(0)=9>0,φ(1)=3>0. φ(2)=1- 2<0,φ(3)=- 3<0, φ(4)=-1<0,φ(5)=4- 5>0. 则方程 φ(x)=f(x)-g(x)的两个零点 x1∈(1,2),x2∈(4,5).因此整数 a=1,b=4. 17.解:由 x2-4ax+3a2<0 得(x-3a)(x-a)<0, 又 a>0,所以 a<x<3a. 当 a=1 时,1<x<3. 即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3. ?x2-x-6≤0, ? 由? 2 得 2<x≤3. ?x +2x-8>0, ? 即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3. 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真. 所以实数 x 的取值范围是 2<x<3. (2)綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,即綈 p?綈 q,且綈 q 设 A={x|綈 p},B={x|綈 q},则 A B. 又 A={x|綈 p}={x|x≤a 或 x≥3a}, B={x|綈 q}={x≤2 或 x>3}, 则 0<a≤2,且 3a>3. 所以实数 a 的取值范围是 1<a≤2. 18.解:(1)当 x≤5 时,产品能售出 x 百台,当 x>5 时,只能售出 500 台. 故利润函数为:L(x)=R(x)-C(x) x2 ?5x- ?-?0.5+0.25x? ?0≤x≤5?, 2 = 52 ?5×5- ?-?0.5+0.25x? ?x>5? 2 綈 p.

? ? ?

x ? ?4.75x- 2 -0.5 ?0≤x≤5?, =? ?12-0.25x ? ?x>5?.

2

x2 (2)当 0≤x≤5 时,L(x)=4.75x- -0.5. 2 当 x=4.75 时,L(x)max=10.781 25 万元. 当 x>5 时,L(x)=12-0.25x 为减函数, 此时 L(x)<10.75 万元. ∴生产 475 台时利润最大. 0≤x≤5, ? ?x>5, ? ? (3)由? 或? x2 ? ?12-0.25x≥0. ? ?4.75x- 2 -0.5≥0, 得 x≥4.75- 21.562 5=0.1(百台)或 x<48(百台). ∴产品年产量在 10 台至 4 800 台时,工厂不亏本. 1 1 19.(1)解:当 a= 时,f(x)=x+ +2. 2 2x 令 1≤x1<x2, 1 1 x1+ +2?-?x2+ +2? 则 f(x1)-f(x2)=? 2x1 ? ? 2x2 ? ? x2-x1 2x1x2-1 =(x1-x2)+ =(x1-x2)· . 2x1x2 2x1x2 ∵1≤x1<x2<+∞,∴x1-x2<0,2x1x2>1. ∴f(x1)-f(x2)<0.即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[1,+∞)上为增函数. 7 ∴f(x)在[1,+∞)上的最小值为 f(1)= . 2 (2)解法一:f(x)>0 对 x∈[1,+∞)恒成立, 即 x2+2x+a>0 对 x∈[1,+∞)恒成立. 设 y=x2+2x+a,x∈[1,+∞), 则 y=(x+1)2+a-1 在[1,+∞)上是增函数,从而 ymin=3+a. 于是当且仅当 ymin=3+a>0,即 a>-3 时,f(x)>0 对 x∈[1,+∞)恒成立,故实数 a 的 取值范围是(-3,+∞). 解法二:f(x)>0 对 x∈[1,+∞)恒成立, 即 x2+2x+a>0 对 x≥1 恒成立. 即 a>-x2-2x 对 x≥1 恒成立. 由于 μ=-x2-2x=-(x+1)2+1 在[1,+∞)上是减函数, 则当 x=1 时,μmax=-3.因此 a>-3. 故实数 a 的取值范围是(-3,+∞). 20.解:(1)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). 1 -1,x∈?0,1], x f(x)= 1 1- ,x∈?1,+∞?∪?-∞,0?. x 1 当 x∈(0,1]时 f′(x)=- 2<0, x 1 当 x∈(1,+∞)∪(-∞,0)时 f′(x)= 2>0. x ∴f(x)的递减区间为(0,1],f(x)的递增区间为(1,+∞)和(-∞,0). (2)假设存在符合题设的正实数 a,b,那么有如下三种情况: 1 b f?a?= -1= , ? a 8 ?8-8a=ab, 若 0<a<b≤1 时, 即? 1 a ?8-8b=ab, ? f?b?= -1= , b 8

? ? ?

? ? ?

解得 a=b 与 a<b 矛盾. a b? 若 0<a<1<b 时,f(1)=0∈? ?8,8?, 那么 a≤0<b 与 a>0 矛盾. 1 a f?a?=1- = , a 8 若 1<a<b 时, 1 b f?b?=1- = , b 8

? ? ?

即 a,b 是方程 x2-8x+8=0 的两个根,a=4-2 2,b=4+2 综上,存在 a=4-2 2,b=4+2 2满足题意.

2.

复习检测卷(二)
1.B 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D 7.D 8.D 9.B 10.B 11.a<-1 12.(-1,0] 13.6 14.4 15.解:(1)因为 f′(x)=5x4+3ax2+b, 25 由题意知:f′(1)=5+3a+b=0,f′(2)=80+12a+b=0,解得 a=- ,b=20. 3 4 2 2 4 (2)由(1)知 f′(x)=5x +3ax +b=5(x -1)(x -4) =5(x+1)(x+2)(x-1)(x-2), 当 x∈(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞)时,f′(x)>0, 当 x∈(-2,-1)∪(1,2)时,f′(x)<0,因此 f(x)的单调增区间是(-∞,-2),(-1,1),(2, +∞), f(x)的单调减区间是(-2,-1),(1,2). 1?2 1 16.解:(1)f′(x)=-x2+x+2a=-? ?x-2? +4+2a. 2 ? ?2? 2 当 x∈? ?3,+∞?时,f′(x)的最大值为 f′?3?=9+2a, 2 1 令 +2a>0,得 a>- . 9 9 2 1 ? 所以,当 a>- 时,f(x)在? ?3,+∞?上存在单调递增区间. 9 1- 1+8a 1+ 1+8a ,x2= . 2 2 所以 f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增. 当 0<a<2 时,有 x1<1<x2<4,所以 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(x2). 27 又 f(4)-f(1)=- +6a<0,即 f(4)<f(1). 2 40 16 所以 f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8a- =- . 3 3 10 解得 a=1,x2=2.从而 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(2)= . 3 1 x 1 x x-1 x 17.解:(1)f′(x)=- 2e + e = 2 e ,令 f′(x)=0,得 x=1. x x x 因为当 x<0 时,f′(x)<0;当 0<x<1 时,f′(x)<0;当 x>1 时,f′(x)>0, 所以 f(x)的单调增区间是:[1,+∞),单调减区间是:(-∞,0),(0,1]. ?x-1??-kx+1? x (2)由 f′(x)+k(1-x)f(x)= e >0, x2 得:(x-1)(kx-1)<0. (2)令 f′(x)=0,得两根 x1=

1? ? 故当 0<k<1 时,解集是:?x|1<x<k?;
? ?

当 k=1 时,解集是:?; ? 1 ? 当 k>1 时,解集是:?x|k <x<1?. ? ? 18.解:(1)设容器的容积为 V, 4 80π 由题意知 V=πr2l+ πr3,又 V= , 3 3 4 3 V- πr 3 80 4 4 20 ? 2 -r . 故 l= = 2- r= ? ? πr2 3r 3 3? r 由于 l≥2r,则 0<r≤2. 所以建造费用为: 4 20 ? 2 2 -r ×3+4πr c. y=2πrl×3+4πr2c=2πr× ? ? 3? r 160π 因此 y=4π(c-2)r2+ ,0<r≤2. r 160π 8π?c-2?? 3 20 ? r- (2)由(1)得 y′=8π(c-2)r- 2 = c-2?,0<r<2. r r2 ? 由于 c>3,所以 c-2>0. 3 20 3 20 20 当 r3- =0 时,r= .令 =m,则 m>0. c-2 c-2 c-2 8π?c-2? 所以 y′= (r-m)(r2+rm+m2). r2 9 ①当 0<m<2 即 c> 时, 2 当 r=m 时,y′=0; 当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2)时,y′>0. 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. 9 ②当 m≥2 即 3<c≤ 时, 2 当 r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 9 综上所述,当 3<c≤ 时,建造费用最小时 r=2. 2 3 20 9 当 c> 时,建造费用最小时 r= . 2 c-2 1 19.解:(1)令 f′(x)=3x2-2x-1=0 得:x1=- ,x2=1. 3 1 ? 又∵当 x∈? ?-∞,-3?时,f′(x)>0; 1 ? 当 x∈? ?-3,1?时,f′(x)<0; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0. 1 ∴x1=- 与 x2=1 分别为 f(x)的极大值与极小值点. 3 1? 5 ∴f(x)极大值=f? ?-3?=a+27,f(x)极小值=f(1)=a-1. 1? (2)∵f(x)在? ?-∞,-3?上单调递增,∴当 x→-∞时,f(x)→-∞. 又 f(x)在(1,+∞)单调递增,当 x→+∞时,f(x)→+∞.

∴当 f(x)极大值<0 或 f(x)极小值>0 时,曲线 f(x)与 x 轴仅有一个交点. 5? 5 即 a+ <0 或 a-1>0,∴a∈? ?-∞,-27?∪(1,+∞). 27 1 20.解:(1)当 cosθ=0 时,f(x)=4x3+ , 32 则 f(x)在(-∞,+∞)内是增函数,故无极值. cosθ (2)f′(x)=12x2-6xcosθ,令 f′(x)=0,得 x1=0,x2= . 2 π 由 0≤θ≤ 及(1),只需考虑 cosθ>0 的情况. 2 当 x 变化时,f′(x)的符号及 f(x)的变化情况如下表: cosθ ?0,cosθ? x 0 (-∞,0) 2 ? 2 ? 0 0 f′(x) + - f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 cos θ cosθ ? 因此,函数 f(x)在 x= 处取得极小值 f? ? 2 ?, 2 cosθ? 1 3 1 且 f? =- cos θ + . 2 ? ? 4 32 cosθ? 1 3 1 要使 f? ? 2 ?>0,必有-4cos θ+32>0, 1 π π 解得 0<cosθ< .所以 <θ< . 2 3 2 cosθ ? (3)由(2)知,函数 f(x)在区间(-∞,0)与? ? 2 ,+∞?内都是增函数. 由题设,函数 f(x)在(2a-1,a)内是增函数, 则 a 须满足不等式组, 2a-1<a, ? ?2a-1<a, ? ? ? 或? 1 ? ?a≤0 ? ?2a-1≥2cosθ. π π? 1 由(2)知,参数 θ∈? ?3,2?时,0<cosθ<2. 1 1 要使不等式 2a-1≥ cosθ 关于参数 θ 恒成立,必有 2a-1≥ . 2 4 5 综上,解得 a≤0 或 ≤a<1. 8 5 ? 所以 a 的取值范围是(-∞,0]∪? ?8,1?.

?cosθ,+∞? ? 2 ?
+ ↗

复习检测卷(三)
1.C 2.B 3.B 4.A 5.D 6.B 7.C 8.D 9.D 10.B 3 2 2 11.①③⑤ 12. 13. 14.3+2 2 2 3 15.解:(1)当 m=1 时 f(x)>0,即 2x2-x>0 1 ?x(2x-1)>0?x<0 或 x> . 2 1 ? 此时不等式的解集为:(-∞,0)∪? ?2,+∞?. (2)由 f(x)+1>0 得:(m+1)x2-mx+m>0.

3 ? 因为不等式的解集为? ?2,3?, 3 所以 和 3 是方程(m+1)x2-mx+m=0 的两根且 m+1<0. 2

? m ∴?3 ×3= , 2 m+1 ?m+1<0.

3 m +3= , 2 m+1

9 解得:m=- . 7

?20≤x+y≤30, ① ? 16.解:设初中 x 个班,高中 y 个班,则? ?28x+58y≤1 200. ② ? 设年利润为 s,则 s=60×0.06x+40×0.15y-2×1.2x-2.5×1.6y =1.2x+2y, 作出①,②表示的平面区域,如图 1,易知当直线 1.2x+2y=s 过点 A 时,s 有最大值,

图1

?x+y=30, ? 由? 解得 A(18,12). ? ?28x+58y=1200, ∴smax=1.2×18+2×12=45.6(万元). 即学校可规划初中 18 个班,高中 12 个班,可获得最大例如 45.6 万元. 17.解: (1)如图 2,设矩形的另一边长为 a m,

图2 则 y=45x+180(x-2)+180· 2a=225x+360a-360. 360 由已知 xa=360,得 a= , x 3602 所以 y=225x+ -360(x>0). x 3602 (2)因为 x>0,∴225x+ ≥2 225×3602=10 800. x 3602 所以 y=225x+ -360≥10 440. x 3602 当且仅当 225x= 时,等号成立.即当 x=24 m 时,修建围墙的总费用最小,最小总 x 费用是 10 440 元. 18.(1)设小网箱的长、宽分别为 x、y 米,筛网总长度为 L, 27 依题意 4x· 2y=108,即 xy= ,L=4x+6y. 2

因为 4x+6y=2(2x+3y)≥4 6xy=36,所以 L≥36. 当且仅当 2x=3y 时,等号成立, 2x=3y, ? ? ? ?x=4.5, 解方程组? 得? 27 ?y=3. ? ?xy= 2 , ? 即每个小网箱的长与宽分别为与 4.5 米与 3 米时,网箱中筛网的总长度最小. (2)设总造价为 W 元,则由 4x· 2y=160,得 xy=20. 15 15 因为 4x≤15,2y≤15,所以 x≤ ,y≤ . 4 2 20 15 又因为 y= ≤ . x 2 8 15 所以 ≤x≤ . 3 4 20 ?4x+6×20?· ?x+16?. 8x+4× ?· W=(8x+4y)· 112+(4x+6y)· 96=? 112 + 96 = 1 280 x? x? x? ? ? ? 8 15 ? 求导,可得 W(x)在? ?3, 4 ?上单调递减. 15 15 16 所以当 x= 时,W 最小,此时 x= ,y= . 4 4 3 15 16 即当小网箱的长与宽分别为 米与 米时,可使总造价最低. 4 3 a+x 19.解:(1)证明:∵a+x>b+x>0,∴1< . b+x a+x a x?b-a? a+x a 又 - = <0,∴1< < . b+x b b?b+x? b+x b a a a+x (2)当 a,b,x 均是正数,且 a<b,对真分数 ,有 < <1. b b b+x a+x 证明:∵0<a+x<b+x,∴ <1. b+x a+x a x?b-a? a a+x 又 - = >0,∴ < <1. b b b+x b+x b?b+x? a b c (3)由正弦定理,原题?△ABC 中,求证: + + <2. b+c c+a a+b a b c 证明:由(2)的结论得,a,b,c>0,且 , , 均小于 1, b+c c+a a+b a 2a b 2b c 2c ∴ < , < , < , b+c a+b+c c+a a+b+c a+b a+b+c a b c 2a 2b 2c + + < + + =2. b+c c+a a+b a+b+c a+b+c a+b+c (4)答案不唯一,如: a b c d 四边形 ABCD 中,求证: + + + <2. b+c+d c+d+a a+b+d a+b+c 如:凸 n 边形 A1A2A3┅An 中,边长依次为 a1,a2,?,an,求证: a1 a2 an + +?+ <2. a2+a3+?+an a1+a3+?+an a1+a2+?+an-1 如:{an}为各项为正数的等差数列,(d≠0), a2n-1 a2 a4 a1 a2 a2n 求证: + +?+ < + +?+ . a2 a3 a2n a3 a5 a2n+1 20.解:(1)因为 f(1)=f(2)=f(3)=?=f(9)=f(10)=1. f?10? 1 所以 g(10)= = . 81+f?1?+f?2?+?+f?9? 90

1 (2)当 x=1 时,g(1)= . 81 当 1<x≤20 时,f(1)=f(2)=?=f(x-1)=f(x)=1. f?x? 1 则 g(x)= = . 81+f?1?+f?2?+?+f?x-1? x+80 1 x=1 也符合上式.故当 1≤x≤20 时,g(x)= . x+80 当 21≤x≤60 时, f?x? g(x)= 81+f?1?+f?2?+?+f?20?+f?21?+?+f?x-1? 1 1 x x 10 10 = = 81+20+f?21?+?+f?x-1? ?x-21??x+20? 101+ 20 2x = 2 . x -x+1 600 所以第 x 个月的当月利润率为 1 ?1≤x≤20?, x+80 g(x)= 2x ?21≤x≤60?. 2 x -x+1600

? ? ?

1 1 (3)当 1≤x≤20 时,g(x)= 是减函数,此时 g(x)的最大值为 g(1)= . 81 x+80 2x 2 2 当 21≤x≤60 时,g(x)= 2 = ≤ . 1600 79 x -x+1600 x+ -1 x 1600 2 当且仅当 x= ,即 x=40 时,g(x)有最大值 . x 79 2 1 2 因为 > ,所以当 x=40 时,g(x)有最大值 . 79 81 79 2 即该企业经销此产品期间,第 40 个月的当月利润率最大,其当月利润率为 . 79

复习检测卷(四)
1.D 2.C 3.C 4.D 5.A 6.D 7.C 8.D 9.A 10.D 5 2 11.4 12. 13.4 14.2 7 3 15.解:(1)由 2sinx≠0,得 x≠kπ(k∈Z). 所以 f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}. 4 4 3 (2)因为 α 是锐角,且 tanα= ,所以 sinα= ,cosα= . 3 5 5 sin2α-cos2α+1 2sinαcosα+2sin2α f(α)= = =sinα+cosα, 2sinα 2sinα 7 所以 f(α)=sinα+cosα= . 5 π ? 16.解:(1)∵f(x)=-2sin(-x)sin? ?2+x?=2sinxcosx=sin2x,∴函数 f(x)的最小正周期为 π. π π π (2)由- ≤x≤ ?- ≤2x≤π. 6 2 3

π π? 3 3 ≤sin2x≤1,∴f(x)在区间? ?-6,2?上的最大值为 1,最小值为- 2 . 2 17. 证明: 如图 3, 以两直角边分别为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系. 设 C(0,0), A(1,0), 1 2 1 ? ? ? B(0,1),则 D 为? ?2,0?,E 为?3,3?. ∴-

图3 1 2 1 → ? → ? ? 则BD=? ?2,-1?,CE=?3,3?. → → ?1 ?2,1?=1×2+(-1)×1=0, ∵BD· CE=?2,-1? ?· ?3 3? 2 3 3 ∴BD⊥CE. 1-cos2x 3 18.解:(1)f(x)= + sin2x+1+cos2x 2 2 3 1 3 π 3 = sin2x+ cos2x+ =sin(2x+ )+ , 2 2 2 6 2 则最小正周期 T=π. π π π π π 由- +2kπ≤2x+ ≤2kπ+ 得 kπ- ≤x≤kπ+ , 2 6 2 3 6 π π? 故 f(x)的增区间为? ?kπ-3,kπ+6?(k∈Z). π? π (2)先把 y=sin2x 的图象向左平移 个单位得到 y=sin? ?2x+6?的图象, 12 π? π? 3 3 ? 再把 y=sin? ?2x+6?的图象向上平移2个单位,即得函数 y=sin?2x+6?+2的图象. 19. 解: 设∠AOB=α.在△AOB 中, 由余弦定理, 得 AB2=12+22-2×1×2cosα=5-4cosα. 于是,四边形 OACB 的面积为: 1 3 S=S△AOB+S△ABC= OA· OBsinα+ AB2 2 4 1 3 = ×2×1×sinα+ (5-4cosα) 2 4 5 =sinα- 3cosα+ 3 4 π 5 α- ?+ =2sin? ? 3? 4 3. π π 5 5 因为 0<α<π,所以当 α- = 时,α= π,即∠AOB= π 时,四边形 OACB 的面积最大. 3 2 6 6 20.解:(1)∵m∥p,∴ 3sinx=2 3cosx.∴tanx=2. sinx· cosx tanx 2 ∴sinx· cosx= 2 = = . sin x+cos2x 1+tan2x 5 (2)f(x)=m· n= 3sinxcosx+cos2x π 3 1 1 2x+ ?. = sin2x+ (1+cos2x)= +sin? 6? ? 2 2 2 a2+c2-b2 a2+c2-ac ac 1 在△ABC 中,cosθ= = ≥ = , 2ac 2ac 2ac 2 π? π ? ∴0<θ≤ .即 M=?θ|0<θ≤3?. 3 ? ? π π 5π ∴ <2x+ ≤ . 6 6 6

π? 1 ∴ ≤sin? ?2x+6?≤1. 2 3? 3 ∴1≤f(x)≤ ,故函数 f(x)的值域为? ?1,2?. 2

复习检测卷(五)
1.D 2.D 3.A 4.B 5.D 6.A 7.D 8.D 9.D 10.C T8 T12 1 - ; 11.3· 2n 3 12. 13. [(1+p)7-(1+p)] T4 T8 p 14.①③④ ?a1+2d=7, ? 15.解:(1)设 an=a1+(n-1)d,则? 解得 a1=3,d=2. ?a1+6d=15. ? 所以{an}的通项公式为 an=3+(n-1)×2=2n+1. (2)依题意得 bn= 3 n =32n 1. + bn+1 32n 3 因为 = =9,所以{bn}是首项为 b1=33=27,公比为 9 的等比数列, bn 32n+1 27×?1-9n? 27 n 所以{bn}的前 n 项和 Tn= = (9 -1). 8 1-9 16.(1)解:设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d. 依题意,得 a-d+a+a+d=15.解得 a=5. 所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d)(18+d)=100, 解得 d=2 或 d=-13(舍去). 故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2. 5 由 b3=b1· 22,即 5=b1· 22,解得 b1= . 4 5 5 n-1 - 所以{bn}是以 为首项,2 为公比的等比数列,其通项公式为 bn= · 2 =5· 2n 3. 4 4 5 ?1-2n? 4 5 5 - - (2)证明:由(1)得数列{bn}的前 n 项和 Sn= =5· 2n 2- ,即 Sn+ =5· 2n 2. 4 4 1-2 5 S++ - 2n 1 5 5 n 1 4 5· 所以 S1+ = , = n-2=2. 4 2 5 5· 2 Sn+ 4 5? ? 5 因此?Sn+4?是以 为首项,公比为 2 的等比数列. 2 ? ? n?n-1? 17.解:(1)依题意知,An=480n+ ×(-20)=490n-10n2, 2 1? ? 1? ? 1? Bn=500? ?1+2?+500?1+22?+?+500?1+2n?-600 1 1 1? =500n+500? ?2+22+?+2n?-600 1?n? 1? 1-? ?2? ? 2? 500 =500n+500× -600=500n- n -100. 1 2 1- 2 500 (2)依题意得,Bn>An,即 500n- n -100>490n-10n2, 2


a

50 可化简得 n <n2+n-10, 2 50 ∴可设 f(n)= n ,g(n)=n2+n-10. 2 50 50 又∵n∈N*,可知 f(n)是减函数,g(n)是增函数,又 f(3)= >g(3)=2,f(4)= <g(4)=10. 8 16 则 n=4 时不等式成立,即 4 年. 1 1 3 18.解:(1)当 n=1 时,a1=S1= a2 + a - ,又 an>0 解得 a1=3. 4 1 2 1 4 2 当 n≥2 时,4an=4(Sn-Sn-1)=4Sn-4Sn-1=(an +2an-3)-(a2 n-1+2an-1-3). 2 ∴4an=an -a2 n-1+2an-2an-1. ∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0. ∵an+an-1>0,∴an-an-1=2(n≥2). ∴数列{an}是以 3 为首项,2 为公差的等差数列. ∴an=3+2(n-1)=2n+1. (2)Tn=3×21+5×22+?+(2n+1)· 2n, ① + 2 n 又∵2Tn=3×2 +?+(2n-1)· 2 +(2n+1)2n 1. ② + ②-①得:Tn=-3×21-2(22+23+?+2n)+(2n+1)2n 1 n+1 n+1 =-6+8-2×2 +(2n+1)· 2 n+1 =(2n-1)2 +2. + ∴Tn=(2n-1)· 2n 1+2. 19.解:(1)当 n=1 时,a1=S1=2a1-1,∴a1=1. an 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1,即 =2. an-1 ∴数列{an}是以 a1=1 为首项,2 为公比的等比数列. - ∴an=2n 1,Sn=2n-1. 设{bn}的公差为 d,b1=a1=1,b4=1+3d=7,∴d=2. ∴bn=1+(n-1)×2=2n-1. 1 1 1 1 1 (2)∵cn= = = ?2n-1-2n+1?, 2 ? bnbn+1 ?2n-1??2n+1? ? 1 1 ? 1? 1 1 1 ∴Tn= 1-3+3-5+?+2n-1-2n+1 2? ? 1 ? 1? n = 1-2n+1 = 2? ? 2n+1. 1 001 n 1 001 由 Tn> ,得 > ,解得 n>100.1. 2 012 2n+1 2 012 1 001 ∴Tn> 的最小正整数 n 是 101. 2 012 20.解:(1)∵数列{an}满足 an=-3· 2n+5(n∈N*), n+2 n+1 an+2-an+1 -3· 2 +3· 2 ∴ = =2(n∈N*). n+1 an+1-an -3· 2 +3· 2n ∴数列{an}是等差比数列,且公差比 p=2. (2)∵数列{bn}是等差比数列,且公差比 p=2, bn+1-bn ∴ =2(n≥2).即数列{bn-bn-1}是以(b2-b1)为首项,公比为 2 的等比数列. bn-bn-1 - - ∴bn-bn-1=(b2-b1)· 2n 2=2n 1(n≥2). n-1 ∴bn-bn-1=2 , - bn-1-bn-2=2n 2, ?? b2-b1=2. - 将上述 n-1 个等式相加,得 bn-b1=2+22+?+2n 1.

∴数列{bn}的通项公式为 bn=2n(n∈N*). + (3)由(2)可知,Sn=b1+b2+b3+?+bn=2+22+?+2n=2n 1-2. + + Sn+2-Sn+1 2n 3-2n 2 * ∵ = n+2 n+1=2(n∈N ). Sn+1-Sn 2 -2 所以,数列{Sn}是等差比数列,且公差比为 p=2.

复习检测卷(六)
1.D 2.C 3.C 4.A 5.B 6.A 7.D 8.D 9.C 10.B 3 10 27 1 y2 11. 12. 或 12 13.y=6x2- 14.x2- =1 5 4 3 3 2 2 x y 15.解:方法一:设双曲线方程为 2- 2=1. a b 由题意易求 c=2 5, ?3 2?2 4 又双曲线过点(3 2,2),∴ - 2=1. a2 b 2 2 2 2 2 又∵a +b =(2 5) ,∴a =12,b =8. x2 y2 故所求双曲线的方程为 - =1. 12 8 x2 y2 方法二:设双曲线方程为 - =1, 16-k 4+k x2 y2 将点(3 2,2)代入得 k=4,所以双曲线方程为 - =1. 12 8 16 16.解:(1)将点(0,4)代入 C 的方程得 2 =1,∴b=4. b 2 2 a -b c 3 9 16 9 又 e= = ,得 2 = ,即 1- 2 = .∴a=5. a 5 a 25 a 25 x2 y2 ∴C 的方程为 + =1. 25 16 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3). 5 5 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1)、B(x2,y2), 4 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程, 5 2 2 x ?x-3? 得 + =1,即 x2-3x-8=0. 25 25 ∴x1+x2=3. x1+x2 3 ∴AB 的中点坐标 x= = , 2 2 y1+y2 2 6 y= = (x1+x2-6)=- . 2 5 5 3 6? 即所截线段的中点坐标为? ?2,-5?. 17.解:(1)如图 4,以 AB 为轴,以 AB 中点 O 为原点,建立平面直角坐标系.

图4

设曲线 E 上的点 P(x,y), ∵|PA|+|PB|=10>|AB|=8. 动点轨迹为椭圆,且 a=5,b=3,c=4. x2 y2 所以曲线的方程为 + =1. 25 9 因为|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20,|AM|+|AN|=12, 所以|MN|=|BM|+|BN|=8. (2)由题意得,公路②所在的直线方程可设为 y=x+t, x2 y2 代入 + =1 得 34y2-18ty+9t2+25×9=0. 25 9 9t2-9×25 9t 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1+y2= ,y1y2= . 17 34 所以|y1-y2|= ?y1+y2?2-4y1y2 1 = 50×9×17-9×25t2. 17 1 S=S△ABP+S△ABQ= AB· |y1-y2| 2 8 = 50×9×17-9×25t2. 34 60 所以当 t=0 时,面积的最大值是 34. 17 此时直线的方程是 l:y=x. 6 x2 y2 18.解:(1)由 e= 知 a2=3b2,椭圆方程可设为 2+ 2=1. 3 3b b 又直线 y=x+2 与椭圆相切, 将其代入整理得,4x2+12x+12-3b2=0. 因为 Δ=122-4×4×(12-3b2)=0.解得 b2=1. x2 故椭圆 C 的方程为 +y2=1. 3 (2)设 P(x0,y0).当 x0=± 3时,有一条切线斜率不存在,此时,y0=± 1,可见,另一条 切线平行于 x 轴,m⊥n 成立. 设 x0≠± 3,则两条切线斜率存在. 设直线 m 的斜率为 k,则其方程为 y-y0=k(x-x0). 即 y=kx+y0-kx0. x2 2 代入 +y =1 并整理得: 3 (1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-3=0. 2 2 2 由 Δ=0 可得:(3-x0 )k +2x0y0k+1-y0 =0, 直线 n 的斜率也满足这个关系, 所以 m,n 的斜率 k1,k2 就是上述方程的两根, 1-y2 0 由韦达定理,k1k2= . 3-x2 0 2 由于点 P 在圆 D:x2+y2=4 上,3-x2 0=-(1-y0), 所以 k1k2=-1.所以 m⊥n. 19.解:(1)设点 P(x,y), ?x- 2?2+y2 2 = . 2 |x-2 2| x2 y2 整理,得 + =1. 4 2 x2 y2 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 + =1. 4 2 (2)∵点 E 与点 F 关于原点 O 对称, 依题意,有

∴点 E 的坐标为(- 2,0). ∵M,N 是直线 l 上的两个点, ∴可设 M(2 2,y1)、N(2 2,y2)(不妨设 y1>y2). → → ∵EM· FN=0,∴(3 2,y1)· ( 2,y2)=0. 6 即 6+y1y2=0.即 y2=- . y1 由于 y1>y2,则 y1>0,y2<0. 6 6 ∴|MN|=y1-y2=y1+ ≥2 y1· =2 6. y1 y1 当且仅当 y1= 6,y2=- 6时,等号成立. 故|MN|的最小值为 2 6. 20.解:(1)设 P(x,y),动圆半径为 r,则|PQ|=r. 因为点 Q 在圆 C 的内部,所以动圆 P 与定圆 C 内切. 所以|PC|=4-r. 所以|PC|+|PQ|=4>|CQ|=2 2. 根据椭圆的定义,动圆圆心 P 的轨迹是以 C,Q 为焦点的椭圆. 因为椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上, x2 y2 故可设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 由 2a=4,2c=2 2,得 a=2,c= 2,b= a2-c2= 2, x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 4 2 x2 y2 所以动圆圆心 P 的轨迹方程为 + =1. 4 2 → → → (2)假设存在常数 k,使得CA+CB=2CM, → → 即AM=MB.所以 M 为 AB 的中点. 圆方程可化为(x-1)2+(y-1)2=2,所以圆心 M 为(1,1). 因为直线 l 经过点 M,则直线 l 的方程为 y-1=k(x-1). y-1=k?x-1?, ? ?2 2 由?x y 消去 y 得(1+2k2)x2+(4k-4k2)x+(2k2-4k-2)=0. + = 1 , ? ?4 2 x2 y2 因为点 M(1,1)在椭圆 + =1 的内部,所以恒有 Δ>0. 4 2 4k2-4k 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= . 1+2k2 x1+x2 因为 M 为 AB 的中点,所以 =1. 2 2 2k -2k 1 即 =1,解得 k=- . 2 1+2k2 1 → → → 所以存在常数 k=- ,使得CA+CB=2CM. 2

复习检测卷(七)
1.D 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.C 9.D 10.B 11.14π 12.3π 13.①③④ 14.32π 15.证明:∵PA⊥⊙O 所在平面,BC?⊙O 所在平面, ∴PA⊥BC.AB 为⊙O 直径,∴AC⊥BC.

又 PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. 又 AE?平面 PAC,∴BC⊥AE. ∴AE⊥PC,PC∩BC=C, ∴AE⊥平面 PBC. 16.证明:(1)取 PD 的中点为 Q,连接 AQ,QN, 1 ∵PN=NC,∴QN 綊 DC. 2 ∵四边形 ABCD 为矩形,∴QN 綊 AM. ∴四边形 AQNM 为平行四边形. ∴MN∥AQ.又∵AQ?平面 PAD, ∴MN∥平面 PAD. (2)∵PA⊥平面 ABCD,∴∠PAD=90° . ∵PA=AD,∴△PAD 为等腰直角三角形. ∵Q 为 PD 中点,∴AQ⊥PD. ∵CD⊥AD,CD⊥PA,∴CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥AQ,∴AQ⊥平面 PDC. 由(1)MN∥AQ,∴MN⊥平面 PDC. 又∵MN?平面 PMC, ∴平面 PMC⊥平面 PDC. 17.(1)证明:∵CC1⊥平面 ABC,AM?平面 ABC, ∴CC1⊥AM. 又∵C1M⊥AM,CC1∩C1M=C1, ∴AM⊥平面 BB1C1C.∴AM⊥BC. ∵△ABC 为正三角形,∴M 为 BC 的中点. ?AM⊥平面BB1C1C, ? (2)解:? ? ?AM?平面AMC1 ?平面 AMC1⊥平面 BB1C1C. 作 CD⊥C1M,垂足为 D,显然 CD⊥平面 AMC1. 则 CD 为点 C 到平面 AMC1 的距离. a 3 2 在 Rt△CMC1 中,CM= ,C1M=AM= a,∴CC1= a. 2 2 2 C1C· CM 6 ∴CD= = . C1M 6 18.(1)证明:因为 OA=OC,D 是 AC 的中点,所以 AC⊥OD. 又 PO⊥底面⊙O,AC?底面⊙O,所以 AC⊥PO. 因为 PO?OD=0,所以 AC⊥平面 POD. (2)解:由(1)知,AC⊥平面 POD,又 AC?平面 PAC, 所以平面 POD⊥平面 PAC.在平面 POD 中,过 O 作 OH⊥PD 于 H,则 OH⊥平面 PAC. 连接 CH,则 CH 是 OC 在平面 PAC 上的射影. 所以∠OCH 是直线 OC 和平面 PAC 所成的角. 1 2× 2 PO· OD 2 在 Rt△POD 中,OH= = . 2 2= 3 1 PO +OD 2+ 4 OH 2 在 Rt△OHC 中,sin∠OCH= = . OC 3 19.(1)证明:在△ABD 中,∵AB=2,AD=4,∠DAB=60° , 2 2 ∴BD= AB +AD -2AB· 2ADcos∠DAB=2 3. ∴AB2+BD2=AD2,∴AB⊥DE. 又∵平面 EBD⊥平面 ABD,

平面 EBD∩平面 ABD=BD,AB?平面 ABD, ∴AB⊥平面 EBD. 又 DE?平面 EBD,∴AB⊥DE. (2)解:由(1)知 AB⊥BD,CD∥AB,∴CD⊥BD,从而 DE⊥DB. 在 Rt△DBE 中,∵DB=2 3,DE=DC=AB=2, 1 ∴S△DBE= DB· DE=2 3. 2 ∵AB⊥平面 EBD,BE?平面 EBD,∴AB⊥BE. 1 ∵BE=BC=AD=4,∴S△ABE= AB· BE=4. 2 ∵DE⊥BD,平面 EBD⊥平面 ABD, 1 而 AD?平面 ABD,∴ED⊥AD.∴S△ADE= AD· DE=4. 2 综上,三棱锥 E-ABD 的侧面积 S=8+2 3. 20.解:(1)∵PA⊥平面 ABCD,∴VE-PAB=VP-ABE 1 1 1 3 = S△ABE· PA= × ×1× 3×1= . 3 3 2 6 (2)解:当点 E 为 BC 的中点时,EF∥平面 PAC. 理由如下:∵点 E,F 分别为 CD,PD 的中点,∴EF∥PC. ∵PC?平面 PAC,EF?平面 PAC,∴EF∥平面 PAC. (3)证明:∵PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD,∴CD⊥PA. ∵ABCD 是矩矩形,∴CD⊥AD. ∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面 PAD. ∵AF?平面 PAD,∴AF⊥DC. ∵PA=AD,点 F 是 PD 的中点,∴AF⊥PD. 又 CD∩PD=D,∴AF⊥平面 PDC ∵PE?平面 PDC∴PE⊥AF.

复习检测卷(八)
2.A 3.D 4.B 5.B 6.B 7.C 8.B 9.D 10.D 3 11.16 12. 13.60 14.乙 10 15.解:基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (1,6), (2,2), (2,3),(2,4), (2,5), (2,6),(3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(4,6), (5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)共 25 个. (1)其中 x=y 且均为整数的基本事件有(2,2), (3,3),(4,4),(5,5)共 4 个,∴x=y 的事件概 4 率为 . 25 (2)其中 x>y 且 x,y 均为整数的基本事件有(3,2),(4,2),(4,3),(5,2),(5,3),(5,4)共 6 个. 6 ∴x>y 的事件概率为 . 25 1≤x≤5, ? ? (3)?2≤y≤6, 所围成的面积为图 5 中阴影部分. ? ?x>y E 的坐标为(2,2),F 的坐标为(5,5),B 的坐标为(2,5), 9 2 9 SBEF ∴x>y 的概率 p= = = . SABCD 16 32 1.A

图5 16. 解: (1)设第一大块地中的两小块地编号为 1,2, 第二大块地中的两小块地编号为 3,4, 令事件 A=“第一大块地都种品种甲”. 从 4 小块地中任选 2 小块地种植品种甲的基本事件共 6 个分别为:(1,2),(1,3),(1,4), (2,3),(2,4),(3,4). 1 而事件 A 包含 1 个基本事件:(1,2).所以 P(A)= . 6 (2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为: 1 x 甲= (403+397+390+404+388+400+412+406)=400, 8 1 2 2 s甲= [3 +(-3)2+(-10)2+42+(-12)2+02+122+62]=57.25. 8 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为: 1 x 乙= (419+403+412+418+408+423+400+413)=412, 8 1 2 2 s乙= [7 +(-9)2+02+62+(-4)2+112+(-12)2+12]=56. 8 由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本 方差差异不大,故应该选择种植品种乙. 17.解:(1)设抽到不相邻 2 组数据为事件 A. 从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况. 因为每种情况都是等可能出现的,其中抽到相邻 2 组数据的情况有 4 种,所以 P(A)=1 4 3 - = . 10 5 - - (2)由数据求得 x =12, y =27. ^ 5 ^ - ^- 由公式求得b= ,a= y -b x =-3. 2 ^ 5 所以 y 关于 x 的线性回归方程为y= x-3. 2 ^ 5 (3)当 x=10 时,y= ×10-3=22,|22-23|<2. 2 ^ 5 同样,当 x=8 时,y= ×8-3=17,|17-16|<2. 2 所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的. 18.解:(1)由题意知第 1,2 组的频数分别为:100×0.01×5=5,100×0.07×5=35. 故第 3,4,5 组的频数之和为:100-5-35=60. 从而可得第 3,4,5 组的频数依次为 30,20,10,频率依次为 0.3,0.2,0.1. 其频率分布直方图如图 6.

图6

(2)第 3,4,5 组共 60 人,用分层抽样抽取 6 人. 30 20 故第 3,4,5 组中应抽取的学生人数依次为:第 3 组: ×6=3(人);第 4 组 ×6=2(人); 60 60 10 第 5 组: ×6=1(人). 60 (3)设第 3 组的 3 位同学为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 位同学为 B1,B2,第 5 组的 1 位同学 为 C. 则从六位同学中抽取两位同学有 15 种可能如下: (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2, C),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C),(B1,B2),(B1,C),(B2,C). 而满足题意的情况有:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1, B2),(B1,C),(B2,C)共 9 种. 9 3 因此所求事件的概率为 = . 15 5 19.解:(1)用分层抽样的方法在 35~50 岁中抽取一个容量为 5 的样本,设抽取学历为 本科的人数为 m, 30 m ∴ = ,解得 m=3. 50 5 ∴ 抽取了学历为研究生 2 人,学历为本科 3 人,分别记作 S1,S2;B1,B2,B3 . 从中任取 2 人的所有基本事件共 10 个:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2, B2),(S2,B3),(S1,S2),(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3). 其中至少有 1 人的学历为研究生的基本事件有 7 个:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2, B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2). 7 ∴从中任取 2 人,至少有 1 人的教育程度为研究生的概率为 . 10 10 5 (2)依题意得: = ,解得 N=78. N 39 ∴35~50 岁中被抽取的人数为 78-48-10=20. 48 20 10 ∴ = = . 80+x 50 20+y 解得 x=40,y=5.∴x=40,y=5.

20.解:(1) 列联表补充如下: 喜爱打篮球 20 男生 10 女生

不喜爱打篮球 5 15

合计 25 25

30 20 50 合计 2 50×?20×15-10×5? (2)∵k= ≈8.333>7.879, 30×20×25×25 ∴有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关. (3)从 10 位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各 1 名,其一切可 能的结果组成的基本事件如下: (A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2), (A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3, B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2),(A4,B1, C1),(A4,B1,C2),(A4,B2,C1),(A4,B2,C2),(A4,B3,C1),(A4,B3,C2),(A5,B1,C1), (A5,B1,C2),(A5,B2,C1),(A5,B2,C2),(A5,B3,C1),(A5,B3,C2).基本事件的总数 为 30. 用 M 表示“B1,C1 不全被选中”这一事件, 则其对立事件 M 表示“B1,C1 全被选中”这一事件, 由于 M 由(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1),(A4,B1,C1),(A5,B1,C1)5 个 基本事件组成, 所以 P( M )= 5 1 = . 30 6

1 5 由对立事件的概率公式得 P(M)=1-P( M )=1- = . 6 6


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