当前位置:首页 >> 数学 >> 2014届高考数学一轮复习4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质教学案

2014届高考数学一轮复习4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质教学案


4.4

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象与性质

考纲要求 1.了解函数 y=Asin(ω x+φ )的物理意义;能画出函数 y=Asin(ω x+φ )的图象,了 解参数 A,ω ,φ 对函数图象变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实 际问题.

1.y=A

sin(ω x+φ )的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相 y=Asin(ω x+ 1 ω x+ φ )(A>0,ω > A T=____ φ f= =______ T φ 0), ∈[0, x +∞) 2.用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示. x ____ ____ ____ ____ ____ π 3π ω x+φ 0 π 2π 2 2 y= 0 A 0 -A 0 Asin(ω x+φ ) 3.函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象的步骤

1 1.把 y=sin x 的图象上点的横坐标变为原来的 2 倍得到 y=sin ω x 的图象,则 ω 的 2 值为( ). 1 A.1 B.4 C. D.2 4 π 2. 已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ )(其中 ω >0, |< )的最小正周期是 π , f(0) |φ 且 2 = 3,则( ). 1 π A.ω = ,φ = 2 6 1 π B.ω = ,φ = 2 3

1

(

π π C.ω =2,φ = D.ω =2,φ = 6 3 3.(2012 安徽高考)要得到函数 y=cos(2x+1)的图象,只要将函数 y=cos 2x 的图象 ). A.向左平移 1 个单位 B.向右平移 1 个单位 1 C.向左平移 个单位 2 1 D.向右平移 个单位 2 3π ? ? ?7π ? 4.已知函数 f(x)=2sin?ω x- ?的图象如图所示,则 f? ?=__________. 4 ? ? ? 12 ?

π 5.(2012 湖南高考)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(x∈R,ω >0,0<φ < )的部分 2 图象如图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式; ? π? ? π? (2)求函 数 g(x)=f?x- ?-f?x+ ?的单调递增区间. ? 12? ? 12?

一、三角函数 y=Asin(ω x+φ )的图象 【例 1】设函数 f(x)=sin ω x+ 3cos ω x(ω >0)的周期为 π . (1)求它的振幅、初相; (2)用五点法作出它在一个周期上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 方法提炼 1.用“五点法”作图应抓住四条:①将原函数化为 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0) 2π 或 y=Acos(ω x+φ )(A>0,ω >0)的形式;②求出周期 T= ;③求出振幅 A;④列出一 ω 个周期内的五个特殊点,当画出某指定区间上的图象时,应列出该区间内的特殊点. 2.图象变换法 (1)平移变换 ①沿 x 轴平移,按“左加右减”法则; ②沿 y 轴平移,按“上加下减”法则. (2)伸缩变换
2

1 ①沿 x 轴伸缩时,横坐标 x 伸长(0<ω <1)或缩短(ω >1)为原来的 倍(纵坐标 y 不 ω 变); ②沿 y 轴伸缩时, 纵坐标 y 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的 A 倍(横坐标 x 不变). 请做演练巩固提升 2,3 二、求函数 y=Asin(ω x+φ )+b 的解析式 π 【例 2-1】 已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )+b(ω >0, |< )的图象的一部分如图 |φ 2 所示:

(1)求 f(x)的表达式; (2)试写出 f(x)的对称轴方程. 【例 2-2】已知函数 f(x)= 3sin(ω x+φ )-cos(ω x+φ )(0<φ <π ,ω >0)为偶 π 函数,且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 . 2 ?π ? (1)求 f? ?的值; ?8? π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的 6 单调递减区间. 方法提炼 确定 y=Asin(ω x+φ )+b(A>0,ω >0)的解析式的步骤: 1.求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m, M-m M+m 则 A= ,b= . 2 2 2π 2.求 ω ,确定函数的周期 T,则 ω = .

T

3.求 φ ,常用方法有: (1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时 A,ω ,b 已知)或代入图象与直线 y=b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上). (2)五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下: “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ω x+φ =0;“第二点”(即图象的“峰点”) π 为 ω x+φ = ; “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ω x+φ =π ; “第四点”(即 2 3π 图象的“谷点”)为 ω x+φ = ;“第五点”为 ω x+φ =2π . 2 请做演练巩固提升 4 三、三角函数模型的应用 【例 3】已知某海湾内海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记 作 y=f(t).下表是某日各时刻记录的浪高数据: t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测, y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acos ω t+b.
3

(1)根据以上数据,求函数 y=Acos ω t+b 的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一 天内从 8:00 至 20:00 之间,有多少时间可供冲浪者进行运动? 方法提炼 三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面, 一是已知函数模型, 利用三角函数的有 关性质解决问题, 其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则, 二是把 实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数 模型,再利用三角函数的有关知识解决问题, 其关键是建模. 请做演练巩固提升 5 不理解相位变换而致误 π 【典例】(2012 天津高考)将函数 f(x)=sin ω x(其中 ω >0)的图象向右平移 个单位 4 ?3π ? 长度,所得图象经过点? ,0?,则 ω 的最小值是( ). ? 4 ? 1 5 A. B.1 C. D.2 3 3 π ? ? π ?? 解析:f(x)=sin ω x 的图象向右平移 个单位长度得:y=sin?ω ?x- ??. 4 ?? 4 ? ? ?3π ,0?, 又所得图象过点? ? ? 4 ? 3π π ?? ωπ ? ? ∴sin?ω ? - ??=0.∴sin =0. 4 4 ?? 2 ? ? ωπ ∴ =kπ (k∈Z).∴ω =2k(k∈Z). 2 ∵ω >0,∴ω 的最小值为 2. 答案:D 答题指导: 要熟练掌握“先平移再伸缩”和“先伸缩再平移”这两种变换方案. 即前者 φ? ? 平移|φ |个单位,后者平移? ?个单位,原因在于相 位变换和周期变换都是针对变量 x 而 ?ω ? 言的, 因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序, 否则会出现错误.

π π? 2 ? 1. 设函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?A≠0,ω >0,- <φ < ?的图象关于直线 x= π 2 2? 3 ? 对称,它的周期是 π ,则下列结论一定正确的是( ). A.f(x)的最大值为 A ?5 ? B.f(x)的一个对称中心是点? π ,0? 12 ? ? 1? ? C.f(x)的图象过点?0, ? ? 2? 2 ? ?5 D.f(x)在? π , π ?上是减函数 12 3 ? ? ? π? 2. 将函数 y=sin x 的图象向左平移 φ (0≤φ <2π )个单位后, 得到函数 y=sin?x- ? 6? ? 的图象,则 φ 等于( ). π 5π A. B. 6 6

4

7π 11π C. D. 6 6 3. (2012 浙江高考)把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是( ).

4.(2012 重庆高考)设函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0,-π <φ ≤π ) π π 在 x= 处取得最大值 2,其图象与 x 轴的相邻两个交点的距离为 . 6 2 (1)求 f(x)的解析式; 4 2 6cos x-sin x-1 (2)求函数 g(x)= 的值域. ? π? f?x+ ? 6? ? 5.如图,某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为 曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ω x(A>0,ω >0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高 点为 S(3,2 3);赛道的后一部分为折线段 MNP.为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP= 120°.

(1)求 A,ω 的值和 M,P 两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长?

5

参考答案 基础梳理自测 知识梳理 2π ω 1. ω 2π φ π φ π φ 3π φ 2π φ 2.- - - - - ω 2ω ω ω ω 2ω ω ω ω 1 1 φ 3.|φ | | | A A ω ω ω 基础自测 1 横坐标变为原来的2倍 1?1 ? 1 1 1.C 解析:y=sin x ― -----------→ y=sin ? x?=sin x,∴ω = . ― 2 2?2 ? 4 4 2π 2.D 解析:由题意得 ω = =2,

T

∴f(x)=2sin(2x+φ ), 又 f(0)= 3,即 2sin φ = 3, 3 π ∴sin φ = ,∵|φ |< , 2 2 π ∴φ = ,故选 D. 3

? ? 1?? 3.C 解析:∵y=cos(2x+1)=cos?2?x+ ??, ? ? 2?? 1 ∴只须将 y=cos 2x 的图象向左平移 个单位即可得到 y=cos(2x+1)的图象. 2 3 4.0 解析:由图象知 T=π , 2 2π 所以 T= .所以 ω =3. 3 3π ? ? 所以 f(x)=2s in?3x- ?. 4 ? ? ?7π ? ?7π -3π ?=0. 故 f? ?=2sin? ? 12 ? 4 ? ? ? 4 ?11π -5π ?=π , 5.解:(1)由题设图象知,周期 T=2? 12 ? ? 12 ? 2π 所以 ω = =2,
T

?5π ,0?在函数图象上, ? ? 12 ? 5π ? ? 所以 Asin?2× +φ ?=0, 12 ? ? 5π ? ? 即 sin ? +φ ?=0. ? 6 ?
因为点? π 5π 5π 4π 又因为 0<φ < ,所以 < +φ < , 2 6 6 3 5π π 从而 +φ =π ,即 φ = . 6 6 又点(0,1)在函数图象上, π 所以 Asin =1,得 A=2. 6
6

故函数 f(x)的解析式为 π? ? f(x)=2sin?2x+ ?. 6? ? ? ? π? π? ? ? π? π? (2)g(x)=2sin?2?x- ?+ ?-2sin?2?x+ ?+ ? ? ? 12? 6 ? ? ? 12? 6 ? π? ? =2sin 2x-2sin?2x+ ? 3? ? 3 ?1 ? =2sin 2x-2? sin 2x+ cos 2x? 2 ?2 ? π? ? =sin 2x- 3cos 2x=2sin?2x- ?. 3? ? π π π 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + , 2 3 2 π 5π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z, 12 12 π 5π ? ? 所以函数 g(x)的单调递增区间是?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 12 12 ? ? 考点探究突破 3 ?1 ? 【 例 1 】 解 : (1)f(x) = sin ω x + 3 cos ω x = 2 ? sin ω x+ cos ω x? = 2 ?2 ? π? ? 2sin?ω x+ ?. 3? ? 2π 又∵T=π ,∴ =π ,即 ω =2. ω π? ? ∴f(x)=2sin?2x+ ?. 3? ? π ∴函数 f(x)=sin ω x+ 3cos ω x 的振幅为 2,初相为 . 3 (2)列出下表,并描点画出图象如图. π π 3π 0 π 2π 2x+ 3 2 2 π π π 7π 5π x - 6 12 3 12 6 y=2sin 0 2 0 -2 0 ?2x+π ? ? ? 3? ?

π ? π? (3)把 y=sin x 图象上所有的点向左平移 个单位,得到 y=sin?x+ ?的图象,再把 3? 3 ?

7

y=sin?x+ ?的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变), 得到 y=sin?2x+ ? 3 3

? ?

π?

?

1 2

? ?

π?

?

π? ? 的图象,然后把 y=sin?2x+ ?的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变), 3? ? π? ? 即可得到 y=2sin?2x+ ?的图象. 3? ? 【例 2-1】解:(1)由图象可知,函数的最大值 M=3,最小值 m=-1, 3-(-1) 3-1 则 A= =2,b= =1. 2 2 π? ?2 又 T=2? π - ?=π , 3 6? ? 2π 2π ∴ω = = =2, T π ∴f(x)=2sin(2x+φ )+1. π 将 x= ,y=3 代入上式, 6 ?π ? 得 sin? +φ ?=1, ?3 ? π π ∴ +φ = +2kπ ,k∈Z, 3 2 π 即 φ = +2kπ ,k∈Z, 6 π π 又∵|φ |< ,∴φ = , 2 6 π? ? ∴f(x)=2sin?2x+ ?+1. 6? ? π π π 1 (2)由 2x+ = +kπ (k∈Z),得 x= + kπ ,k∈Z, 6 2 6 2 π? π 1 ? ∴f(x)=2sin?2x+ ?+1 的对称轴方程为:x= + kπ ,k∈Z. 6? 6 2 ? 【例 2-2】解:(1)f(x)= 3sin(ω x+φ )-cos(ω x+φ ) 1 ? 3 ? =2? sin(ω x+φ )- cos(ω x+φ )? 2 ?2 ? π? ? =2sin?ω x+φ - ?. 6? ? 因为 f(x)为偶函数 , 所以对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立, π? π? π? ? ? ? 因 此 sin ?-ω x+φ - ? = sin ?ω x+φ - ? , 即 - sin ω xcos ?φ - ? + cos 6? 6? 6? ? ? ? π? π? π? ? ? ? ω xsin?φ - ?=sin ω xcos?φ - ?+cos ω xsin?φ - ?, 6? 6? 6? ? ? ? π? ? 整理得 sin ω xcos?φ - ?=0. 6? ? 因为 ω >0,且 x∈R, π? ? 所以 cos?φ - ?=0. 6? ? π π 又因为 0<φ <π ,故 φ - = . 6 2

8

π? ? 所以 f(x)=2sin?ω x+ ?=2cos ω x. 2? ? 2π π 由题意得 =2· ,所以 ω =2. ω 2 故 f(x)=2cos 2x. π ?π ? 因此 f? ?=2cos = 2. 4 ?8? π ? π? (2)将 f(x)的图象向右平移 个单位后,得到 f?x- ?的图象. 6? 6 ? ? π? 所以 g(x)=f?x- ? 6? ? π? ? ? π ?? ? =2cos?2?x- ??=2cos?2x- ?. 6 ?? 3? ? ? ? π 当 2kπ ≤2x- ≤2kπ +π (k∈Z), 3 π 2π 即 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z)时,g(x)单调递减. 6 3 π 2π ? ? 因此 g(x)的单调递减区间为?kπ + ,kπ + ?(k∈Z). 6 3 ? ? 【例 3】解:(1)由表中数据,知周期 T=12, 2π 2π π ∴ω = = = . T 12 6 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5; 由 t=3,y=1.0,得 b=1.0, 1 ∴A=0.5,b=1,∴振幅为 , 2 1 π ∴y= cos t+1. 2 6 (2)由题知,当 y>1 时才可对 冲浪者开放, 1 π π ∴ cos t+1>1,∴cos t>0, 2 6 6 π π π ∴2kπ - < t<2kπ + ,k∈Z, 2 6 2 即 12k-3<t<1 2k+3,k∈Z.① ∵0≤t≤24,故可令①中的 k 分别为 0,1,2, 得 0≤t<3,或 9<t<15,或 21<t≤24. ∴在规定时间 8:00 至 20:00 之间,有 6 个小时的时间可供冲浪者运动,即 9:00 至 15:00. 演练巩固提升 1.B 11 ? ? π? ? ? 11π ?, 2.D 解析:∵y=sin?x- ?=sin?x-2π + π ?=sin?x+ ? 6? 6 ? 6 ? ? ? ? 11π ∴φ = . 6 3.A 解析:y=cos 2x+1 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得 y1=cos x+1, 再向左平移 1 个单位长度得 y2=cos(x+1)+1, 再向下平移 1 个单位长度得 y3=cos(x+1), 故相应图象为 A. 2π 4.解:(1)由题设条件知 f(x)的周期 T=π ,即 =π ,解得 ω =2. ω

9

π 因 f(x)在 x= 处取得最大值 2, 6 所以 A=2. ? π ? 从而 sin?2× +φ ?=1, 6 ? ? π π 所 以 +φ = +2kπ ,k∈Z. 3 2 π 又由-π <φ ≤π 得 φ = . 6 故 f(x)的解析式为 π? ? f(x)=2sin?2x+ ?. 6? ? 4 2 6cos x-sin x-1 (2)g(x)= π? ? 2sin?2x+ ? 2? ? 4 2 6cos x+cos x-2 = 2cos 2x 2 2 (2cos x-1)(3cos x+2) = 2 2(2cos x-1) 3 2 ? 2 1? = cos x+1?cos x≠ ?. 2? 2 ? 1 ? 7? ?7 5? 2 2 因 cos x∈[0,1],且 cos x≠ ,故 g(x)的值域为?1, ?∪? , ?. 2 ? 4? ?4 2? T 2π π 5.解:解法一:(1)连接 MP.依题意,有 A=2 3, =3,又 T= ,∴ω = , 4 ω 6 π ∴y=2 3sin x, 6 2π 当 x=4 时,y=2 3sin =3, 3 ∴M(4,3),又 P(8,0), 2 2 ∴MP= (-4) +3 =5. (2)在△MNP 中,∠MNP=120°,MP=5.

设∠PMN=θ , 则 0°<θ <60°. 由正弦定理得 = = . sin 120° sin θ sin(60°-θ ) 10 3 ∴NP= sin θ , 3

MP

NP

MN

MN=

10 3 sin(60°-θ ). 3 3 ?1 3 ? 10 3 ? sin θ + cos θ ? = 3 2 ?2 ?

10 3 10 3 10 sin θ + sin(60°-θ )= 3 3 3 sin(θ +60°). ∴NP + MN =

10

∵0°<θ <60°,∴60°<θ +60°<120°, ∴当 θ =30°时,折线段赛道 MNP 最长. 亦即,将∠PMN 设计为 30°时,折线段赛道 MNP 最长. 解法二:(1)同解法一. (2)在△MNP 中,∠MNP=120°,MP=5, 2 2 2 由余弦定理得 MN +NP -2MN·NP·cos∠MNP=MP , 2 2 即 MN +NP +MN·NP=25. ?MN+NP?2, 2 故(MN+NP) -25=MN·NP≤? ? ? 2 ? 3 2 从而 (MN+NP) ≤25, 4 10 3 即 MN+NP≤ , 3 当且仅当 MN=NP 时等号成立. 亦即,设计为 MN=NP 时,折线段赛道 MNP 最长.

11


更多相关文档:

2014届高考数学一轮复习教学案函数y=sin(ωx+φ)的图象

2014届高考数学一轮复习教学案函数y=sin(ωx+φ)的图象_高考_高中教育_教育专区...函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用 典题导入 π [例 3] 已知...

2014届高三数学一轮复习《函数y=Asin(ωx+φ)的图象及...

2014届高三数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用...1.[2013·天津质检] 给定性质: a:最小正周期为π ;b:图象关于直线 x= ...

...(Word版题库含解析)4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及...

2014届高考数学大一轮复习(Word版题库含解析)4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用_数学_高中教育_教育专区。4.4 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及应用一、选...

...情分析学案:4.4《正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及...

2014届高考数学一轮必备考情分析学案:4.4《正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及...y=Asin(ωx+φ)的性质及简单应用. 3.考查 y=sin x 到 y=A sin(ωx+...

...情分析学案:4.4《正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及...

2015届高考数学一轮必备考情分析学案:4.4《正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用》(含解析)_数学_高中教育_教育专区。2015届高考数学一轮必备考情分析学案4.4...

...(理)一轮复习学案:4.4+函数y=Asin(ωx+φ)的图象及...

2016届高考数学(理)一轮复习学案:4.4+函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(苏...(ω x+φ )的性质 ππ例 3 (2014?重庆改编)已知函数 f(x)= 3sin(ω...

2015届高考数学一轮复习y=Asinωx+φ的图象和性质学案 理

2015 届高考数学一轮复习 y%3dAsinω x+φ 的图象和性质学案 理 知识梳理: (阅读教材必修 4 第 49 页—第 60 页) 1、 在物理中,函数 y=Asin( )(A...

...高考数学第一轮复习04 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及...

2014《步步高》高考数学一轮复习04 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用_数学_高中教育_教育专区。§ 4.4 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 1.考查函数 y=...

4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质

4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质_高三数学_数学_高中教育_教育专区。4.4 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;...

...高考数学大一轮复习 4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及...

【步步高】2016高考数学大一轮复习 4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用试题 ...第4讲 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象与 性质 一、填空题 2 ?π ? 1....
更多相关标签:
相关文档

网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com