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2016年北京市高三数学模拟考试——东城理


北京市东城区 2015-2016 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学 (理科)

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试 时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试

卷上作答无效。考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题
要求的一项。

共 40 分)

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

(1)已知复数 i ? (1+a i ) 为纯虚数,那么实数 a 的值为 (A) ?1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

2 (2)集合 A ? {x | x ? a}, B ? {x | x ? 5x ? 0} ,若 A I B ? B ,则 a 的取值范围是

(A) a ? 5

(B)

a?4

(C)

a?5
开始

(D) a ? 4

(3)某单位共有职工 150 名,其中高级职称 45 人, 中级职称 90 人,初级职称 15 人.现采用分层 抽样方法从中抽取容量为 30 的样本,则各职称 人数分别为 (A) 9,18,3 (C) 10,17,3 (B) 10,15,5 (D) 9,16,5

k=0,s=0 k=k+1 k<4 是

s ? 2k ? s

(4)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 (A)


输出 s

1 2
2

(B) 1

(C)

(D) 4

结束

(5)在极坐标系中,直线 ? sin ? ? ? cos? ? 1 被曲线 ? ? 1 截得的线段长为

(A)

1 2

(B) 1

(C)

2 2

(D) 2

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(6)一个几何体的三视图如图所示,那么该几 何体的最长棱长为 (A) 2 (C) 3 (B) 2 2 (D) 10 2 正(主)视图 2 1 1 侧(左)视图

(7)已知三点 P(5,2) 、 F1 (-6,0) 、
F2 (6,0)那么以 F1 、 F2 为焦点且过点

俯视图

P 的椭圆的短轴长为 (A) 3

(B) 6

(C) 9

(D)12

(8)已知 e1 ,e2 为平面上的单位向量, e1 与 e2 的起点均为坐标原点 O , e1 与 e2 夹角为

? . 3

?? ? ? ? 1, uu u v ? 平面区域 D 由所有满足 OP ? ?e1 ? ?e2 的点 P 组成, 其中 ? 0 ? ? , , 那么平面区域 D ? 0?? ?
的面积为 (A)

1 2

(B) 3

(C)

3 2

(D)

3 4

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)在 ( 2 x ?

1 5 ) 的展开式中, x 3 的系数值为__.(用数字作答) 4x

A

(10)已知等比数列 ?an ? 中, a2 ? 2 , a3 ga4 ? 32 ,那么 a8 的值为 . (11)如图,圆 O 的半径为 1,A,B,C 是圆周上的三点,过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P,若 CP ? AC , 则 ?COA ? __; AP ? (12)若 sin( . B O C P

?

3 ? ? ? ) ? , 且 ? ? (0, ) ,则 sin 2? 的值为 . 4 5 4

(13)某货运员拟运送甲、乙两种货物,每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如 下表: 货物 甲 乙 运输限制 体积(升/件) 20 10 110 重量(公斤/件) 10 20 100 利润(元/件) 8 10

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在最合理的安排下,获得的最大利润的值为__. (14)已知函数 f ( x) ? ln x ,关于 x 的不等式 f ( x) ? f ( x0 ) ? c( x ? x0 ) 的解集为 (0, ??) , 其中 x0 ? (0, ??) , c 为常数. 当 x0 ? 1 时, c 的取值范围是___;当 x0 ?

1 时, c 的值是___; 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 在△ ABC 中, BC ? 2 2 , AC ? 2 ,且 cos ? A ? B ? ? ? (Ⅰ)求 AB 的长度; (Ⅱ)若 f ( x) ? sin(2 x ? C) ,求 y ? f ( x) 与直线 y ?

2 . 2

3 相邻交点间的最小距离. 2

(16) (本小题共 14 分) 已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1A ? 底面 ABC ,

?BAC ? 90? ,A1A ? 1 , AB ? 3 , AC ? 2 , E 、F 分
别为棱 C1C 、 BC 的中点. (Ⅰ)求证 AC ? A1B ; (Ⅱ)求直线 EF 与 A1 B 所成的角; (Ⅲ)若 G 为线段 A1 A 的中点, A1 在平面 EFG 内的射影为 H ,求 ?HA 1A .

(17) (本小题共 13 分) 现有两个班级,每班各出 4 名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打(混双)比 赛(注:每名选手打只打一场比赛).根据以往的比赛经验,各项目平均完成比赛所需时间 如图表所示,现只有一块比赛场地,各场比赛的出场顺序等可能. 比赛项目 平均比赛时间 男单 25 分钟 女单 20 分钟 混双 35 分钟

(I)求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率; (II)求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行; (III)若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少,应该怎样安排比赛顺序(写出结论即

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可).

(18) (本小题共 14 分) 设函数 f ( x) ? aex ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)求证:当 x ? (0,??) 时, ln

ex ?1 x ? . x 2

(19) (本小题共 13 分) 已知抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0) ,焦点 F , O 为坐标原点,直线 AB (不垂直 x 轴)
2

过点 F 且与抛物线 C 交于 A, B 两点,直线 OA 与 OB 的斜率之积为 ? p . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若 M 为线段 AB 的中点,射线 OM 交抛物线 C 于点 D ,求证:

OD OM

?2.

(20) (本小题共 13 分) 数列 {an } 中 ,给定正整数 m ( m ? 1) , V (m) ?

?a
i ?1

m -1

i ?1

? a i . 定义 : 数 列 {an } 满足

,称数列 {an } 的前 m 项单调不增. ai ?1 ? ai (i ? 1, 2, LL m , ? 1) (Ⅰ)若数列 {an } 通项公式为: an ? (?1)n, (n ? N * ) ,求 V (5) .
* (Ⅱ)若数列 {an } 满足: a1 ? a, am ? b, (m ? 1, m ? N , a ? b) ,求证 V (m) ? a ? b 的

充分必要条件是数列 {an } 的前 m 项单调不增. (Ⅲ) 给定正整数 m ( m ? 1) , 若数列 {an } 满足:an ? 0, (n ? 1, 2,L L , m) , 且数列 {an } 的前 m 项和 m ,求 V ( m) 的最大值与最小值.(写出答案即可)
2

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北京市东城区 2015-2016 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学参考答案及评分标准 (理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1) B (2) A (3) A (4) C (5) D (6) C (7) B (8) D 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 20 (14) (10) 128 (11)

? , 3 3

(12)

7 (13) 62 25

??1, 0 ? , ?2 .

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ) Q

cos C ? cos ? ?? ? ? A ? B ? ? ? ? ? cos ? A ? B ? ?

2 2
……3 分

? C ? 450

Q BC ? 2 2 , AC ? 2 ,
? AB2 ? AC2 ? BC2 ? 2 AC ? BC cos C ? (2 2)2 ? 22 ? 8 2 cos450 ? 4
? AB ? 2
(Ⅱ)由 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 解得 2 x ? ……7 分

? 4

3 , 2

? ? ? 2? ? 2 k ? ? 或 2 x ? ? 2k ? ? ,k ?Z , 4 3 4 3 ? 5? 或 x2 ? k2 ? ? , k1 , k2 ? Z . 24 24

解得 x1 ? k1? ?

因为 x1 ? x2 ? (k1 ? k2 )? ? 所以 当 f ( x) ? 分 (16) (共 14 分)

? ? ≥ ,当 k1 ? k2 时取等号, 6 6
…………………13

? 3 时,相邻两交点间最小的距离为 . 6 2

(Ⅰ)证明 因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , AA1 ? 底面 ABC

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所以 AC ? AA1 .
z

因为 ?BAC ? 90? , 所以 AC ? AB . 因为 A1 A I AB ? A , 所以 AC ? 平面A 1 ABB1 .
B B1

A1 G

C1

E A

C F

y

因为 A 1B ? 平面A 1 ABB1 , 所以 AC ? A1B . (Ⅱ)解 如图建立空间直角坐标系 A — xyz , 则 A1 ?0,0,1? , B 3, 0,0 ,

x

……4分

?

?

? 3 ? 1? ? ?. , 1 , 0 E ? 0, 2, ? , F? ? 2 ? 2? ? ? ?
所以 A1 B ?

? 3 1? . ? ? ? 3,0, ? 1?, EF ? ? ? 2 ,?1, 2? ? ?

所以 cos A1 B, EF ?
0

A1 B ? EF A1 B ? EF
0

?

2 . 2

因为 0 ? A1 B, EF ? 90 , 所以 直线 EF 与 A1 B 所成的角为 45°. (Ⅲ)解 设 G? 0, 0, ? ……9分

uuu r uuu r

? ?

1? 2?

则 GE ? ?0, 2, 0? ,

? 3 1? ?. GF ? ? , 1 , ? ? 2 ? 2 ? ?

AH 所在直线的向量与平面 GEF 的法向量平行. v 设平面 GEF 的法向量为, n ? ( x, y, z ) ,
因为 ?

? ?n ? GE ? ?n ? GF



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?2 y ? 0, ? 所以 ? 3 1 x ? y ? z ? 0. ? 2 ? 2
令z ?

3 ,则 n ? 1,0, 3 .
?1 3? ?. , 0 , ?2 ? 2 ? ?

?

?

所以 AH 所在直线的单位向量为 e ? ?

因为 AA1 ? (0,0,1) , 所以 cos AA 1, e ?

uuu v

3 . 2

因为 0 ? AA1 , e ? ? , 所以 ?HA1 A ?

uuu r r

?
6

.

.…14分

(17) (本小题共 13 分)
3 解: (I)三场比赛共有 A3 ? 6 种方式,其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有 1

种,所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为

1 . 6

…3分

(II)令 A 表示女单比赛、B 表示男单比赛、C 表示混双比赛. 按 ABC 顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是: . t1 ? 20 ? 25 ? 45 (分钟) 按 ACB 顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是: . t2 ? 20 ? 35 ? 55 (分钟) 按 BAC 顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是: . t3 ? 20 ? 25 ? 45 (分钟) 按 BCA 顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是: . t4 ? 35 ? 25 ? 60 (分钟) 按 CAB 顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是: . t5 ? 35 ? 20 ? 55 (分钟) 按 CBA 顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是: . t6 ? 35 ? 25 ? 60 (分钟)

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且上述六个事件是等可能事件,每个事件发生概率为 .

1 ,所以平均等待时间为 6 45 ? 45 ? 55 ? 55 ? 60 ? 60 160 …11 分 ? 6 3

(III)按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛,可使等待的总时间最少 ---------------------------------------------------------13 分 (18) (共 14 分)
x 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,则 f ( x) ? e ? x ? 1 ,

x
f '( x)
f ( x)

? ??,0?
- ↘

0
0 0

?0, ???
+ ↗

则 f '( x) ? e x ? 1 . 令 f '( x ) ? 0, 得 x ? 0.

所以 当 x ? 0 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 在 ? ??,0? 上单调递减; 当 x ? 0 时, f '( x) ? 0 , h( x) 在 (0, ??) 上单调递增; 当 x ? 0 时, f ( x)min ? f (0) ? 0 . (Ⅱ)因为 e ? 0 ,
x

……4 分

x 所以 f ( x) ? ae ? x ?1 ? 0 恒成立,等价于 a ?

x ?1 恒成立. ex

设 g ( x) ? 得 g ' ( x) ?

x ?1 , x ? [0,??) , ex

e x ? ( x ? 1)e x ? x ? x , e2 x e

当 x ? [0,??) 时, g ' ( x) ? 0 , 所以 所以

g ( x) 在 [0,??) 上单调递减,

x ? (0,??) 时, g ( x) ? g (0) ? 1 .
x ?1 恒成立, ex
……11 分
x

因为 a ?

所以 a ? [1,??) .

ex ?1 x ? ,等价于 e x ? xe 2 ? 1 ? 0 . (Ⅲ)当 x ? (0,??) 时, ln x 2
设 h( x) ? e ? xe 2 ? 1 , x ? [0,??) .
x x

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求导,得 h' ( x) ? e ? e 2 ?
x

x

x 2 x e ? e 2 (e 2 ? ? 1) . 2 2
x

x

x

x

由(Ⅰ)可知, x ? (0,??) 时, e ? x ? 1 ? 0 恒成立. 所以 x ? (0,??) 时, 所以 h ( x ) ? 0 .
'
x x x ? (0, ??) ,有 e 2 ? ? 1 ? 0 . 2 2

所以 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增,当 x ? (0,??) 时, h( x) ? h(0) ? 0 . 因此当 x ? (0,??) 时, ln

ex ?1 x ? . x 2

……14 分

(19) (共 13 分) 解: (Ⅰ) 因为直线 AB 过点 F 且与抛物线 C 交于 A, B 两点, F (

P , 0) , 2
p ) (k ? 0) . 2

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,直线 AB (不垂直 x 轴)的方程可设为 y ? k ( x ? 所以 y12 ? 2 px1 ( p ? 0) , y22 ? 2 px2 . 因为直线 OA 与 OB 的斜率之积为 ? p , 所以

y1 y2 ? ?p . x1 x2 y1 y2 2 ) ? p 2 ,得 x1 x2 ? 4 . x1 x2
消 y 得 k 2 x 2 ? (k 2 p ? 2 p ) x ? ……4 分

所以 (

p ? ? y ? k ( x ? ), 由? 2 2 ? ? y ? 2 px,

k 2 p2 ?0 4

其中 V? (k 2 p ? 2 p)2 ? k 2 p2k 2 ? 0 所以 x1 x2 ?

k 2 P ? 2P p2 , x1 ? x2 ? . k2 4
2

所以 p ? 4 ,抛物线 C : y ? 8x . (Ⅱ)设 M ( x0 , y0 ), P( x3 , y3 ) ,因为 M 为线段 AB 的中点,

……8 分

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所以 x0 ?

4 1 k 2 P ? 2 P 2(k 2 ? 2) ( x1 ? x2 ) ? ? , y0 ? k ( x0 ? 2) ? . 2 2 k 2 2k k

所以直线 OD 的斜率为 kop ? 直线 OD 的方程为 y ? kop x ?

y0 2k ? 2 . x0 k ? 2
2k x 代入抛物线 C : y 2 ? 8x 的方程, k ?2
2

2(k 2 ? 2)2 得 x3 ? . k2
所以

x3 ? (k 2 ? 2) . x0
2

因为 k ? 0 , 所以

OD OM

?

x3 ? (k 2 ? 2) ? 2 . x0

……13 分

(20) (共 13 分) 解(Ⅰ) V (5)=8 . ……2 分

(Ⅱ)充分性:若数列 {an } 的前 m 项单调不增,即 am ? L L ? a2 ? a1 此时有:

V (m) ? ? ai ?1 ? a i ? (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? L L ? (am?1 ? am )
i ?1

m-1

? a1 ? am ? a ? b .
必要性: 反证法, 若数列 {an } 的前 m 项不是单调不增, 则存在 i(1 ? i ? m ? 1) 使 得 ai ?1 ? a i ,那么:

V (m) ? ? ai ?1 ? a i
i ?1 i -1

m-1

? ? ai ?1 ? a i ? ai ?1 ? ai ?
t ?1

t ?i ?1

?a

m

i ?1

? ai

? ai ? a1 ? (ai ?1 ? ai ) ? am ? ai ?1 ? am ? a1 ? ai ? ai ?1 ? (ai ?1 ? ai ) ? a ? b ? ai ?1 ? ai ? (ai ?1 ? ai ) .
由于 ai ?1 ? ai , a ? b,.

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? a ? b ? ai?1 ? ai ? (ai?1 ? ai ) ? a? b .
与已知矛盾. (III)最小值为 0.此时 {an } 为常数列. 最大值为 ? ……9 分 ……10 分

?4 2 ? 2m

m ? 2, m ? 2.
……11 分

当 m ? 2 时的最大值:此时 a1 ? a 2 ? 4, (a1 , a 2 ? 0) ,

a1 ? a 2 ? 4 ? 0 ? 4 .
当 m ? 2 时的最大值:此时 a1 ? a 2 ?L L ? m2 , (a1 , a 2 ,L L , an ? 0) . 由 x ? y ? x ? y 易证, {an } 的值的只有是大小交替出现时,才能让 V ( m) 取最大 值. 不妨设: ai ?1 ? a i , i 为奇数, ai ?1 ? a i , i 为偶数. 当 m 为奇数时有:

V (m) ? ? ai ?1 ? a i
i ?1

m -1

? a1 ? a 2 ? a3 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? a 4 ? L L ? am ? a m?1 ? 2? a i ?
i ?1 m m ( m ?1)/2

?
i ?1

a 2i

? 2? a i ? 2 m 2 .
i ?1

当 m 为偶数时同理可证.

……13 分

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