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求数列通项公式及前n项和常见方法


数列求通项及前 n 项和常见方法
求 an

一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法, 这种方法适应于已知数列类型 的题目. 例 1.等差数列 {a n } 是递增数列,前 n 项和为 Sn ,且 数列 {a n } 的通项公式
2 a 1 , a 3 , a 9 成等比数列,S5 ? a 5 .求

注意:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出 通项。

二、累加法
求形如 an-an-1=f(n)(f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列)的数列通项,可用累加 法,即令 n=2,3,…n—1 得到 n—1 个式子累加求得通项。 例 2.已知数列{an}中,a1=1,对任意自然数 n 都有

an ? an ?1 ?

1 n(n ? 1) ,求 an .

注意:累加法是反复利用递推关系得到 n—1 个式子累加求出通项,这种方法最终转化为求 {f(n)}的前 n—1 项的和,要注意求和的技巧

三、迭代法 a ? qan ? d (其中 q , d 为常数) 的数列通项,可反复利用递推关系迭代求出。 求形如 n?1
例 3.已知数列{an}满足 a1=1,且 an+1 = 3an +1,求

an

注意:因为运用迭代法解题时,一般数据繁多,迭代时要小心计算,应避免计算错误,导致 走进死胡同

四、公式法

若 已 知 数 列 的 前 n 项 和 S n 与 an 的 关 系 , 求 数 列 ?an ? 的 通 项 an 可 用 公 式

?S n ???? n ? 1 an ? ? ?S n ? S n?1 ? n ? 2 求解。

例 4.已知数列

?a n ?的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? (?1)n , n ? 1.求数列 ?a n ?的通项公式;

?S n ???? n ? 1 an ? ? ?S n ? S n?1 ? n ? 2 求解时,要注意对 n 分类讨论,但若能合写时一 注意:利用公式
定要合并.

五、累乘法 an ?1 ? f ( n) 对形如 an 的数列的通项,可用累乘法,即令 n=2,3,…n—1 得到 n—1 个式子累
乘求得通项。

a1 ? 3 ,前 n 项和 S n 与 an 的关系是 S n ? n(2n ? 1)an ,求通项公式 an . 例 5. 已知数列 ?an ? 中,

1

注意:累乘法是反复利用递推关系得到 n—1 个式子累乘求出通项,这种方法最终转化为求 {f(n)}的前 n—1 项的积,要注意求积的技巧

六、分 n 奇偶讨论法
在有些数列问题中,有时要对 n 的奇偶性进行分类讨论以方便问题的处理。

1 ( )n 例 6.已知数列{an}中,a1=1 且 anan+1=2 4 ,求通项公式.

对 n 的奇偶性进行分类讨论的另一种情形是题目中含有 (?1) 时,分 n 为奇偶即可自然引出 讨论.分类讨论相当于增加条件,变不定为确定.注意最后能合写时一定要合并
n

七、化归法
想方设法将非常规问题化为我们熟悉的数列问题来求通项公式的方法即为化归法. 同时, 这 也是我们在解决任何数学问题所必须具备的一种思想。

an?1 2an?1 ? 1 1 ? . a1 ? , 且当n ? 1, n ? N *时, 有 an 1 ? 2an 求 an 5 例 7.已知数列 {an } 满足

1 { } 注意:本题借助 an 为等差数列得到了 ?an ? 的通项公式,是典型的化归法.常用的化归还
有取对数化归,待定系数化归等,一般化归为等比数列或等差数列的问题,是高考中的常见 方法.

八、待定系数法(构造法) 求递推式如 an?1 ? pan ? q (p、q 为常数)的数列通项,可用待定系数法转化为我们熟知的
数列求解,相当如换元法。 例 9.已知数列{an}满足 a1=1,且 an+1 = 3an +2,求

an .

注意:求递推式形如 an?1 ? pan ? q (p、q 为常数)的数列通项,可用迭代法或待定系数法

q q 构造新数列 an+1+ p ? 1 =p(an+ p ? 1 )来求得,

求 Sn
(一)错位相减法求数列前 n 项和 其实, 教材中的求和问题只是一类数列的求和问题的特例, 我们可以推广到更为一般性的求 和问题,一个非零等差数列与一个公比不是 1 的等比数列的对应之积构成的新数列的求和。 我们称这类数列为差比数列,下面我们先来推广这类问题的求和。 已知: 数列 {an },{bn } 分别为等差和等比数列, 其首项分别为 a,b, 公差为 d, 公比为 q (q ? 1) ,

cn ? anbn ,则数列 {cn } 即为差比数列,记前 n 项和为 Sn ,则
· · · · 【例】求和: x ? 2 x 2 ? 3x3 ? ... ? nxn ( x ? 1, x ? 0)

【练习】 1、已知数列 1,3a,5a 2 ,..,(2n ?1)a n?1 (a ? 1, a ? 0) ,求前 n 项和

2、求和 S n ?

1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2

(二)裂项相消法求和 所谓裂项,就是把数列的各项分裂成两项之差,相邻的项彼此相消,就可以化简求和。 一些常用的裂项公式:

【例】求数列 【练习】 1、求数列 1,

1 1 1 1 的前 n 项和 , , ,..., 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)

1 1 1 1 , , ,..., (n ? N * ) 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n

2、求和:

1 1 1 1 ? ? ? ... ? 1? 4 4 ? 7 7 ?10 (3n ? 2)(3n ? 1)

3、在数列 {an } 中,已知 an ?

1 n ? n ?1

,且 Sn ? 9 ,求 n 的值

4、在等差数列 {an } 中, a5 ? 5, S3 ? 6 (1)求 an (2)若 Tn 为数列 {

1 } 的前 n 项和,求 Tn an an ?1

(3)若 an?1 ? ?Tn 对任意正整数 n 都成立,求实数 ? 的最大值

练:


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