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第十讲函数的奇偶性


第十讲函数的奇偶性 (一)知识要点: 1.定义: 设 y=f(x),x∈A,如果对于任意∈A,都有,则称 y=f(x)为偶函数。 设 y=f(x),x∈A,如果对于任意∈A,都有,则称 y=f(x)为奇函数。 如果函数是奇函数或偶函数,则称函数 y=具有奇偶性。 2.性质: ①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称, ②y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于轴对称,

y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称, ③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反, 奇函数在定义域内关于原点对 称的两个区间上单调性相同, ④偶函数无反函数,奇函数的反函数还是奇函数, ⑤若函数 f(x)的定义域关于原点对称,则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和 ⑥奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域 D1 , D2,D1∩D2 要关于原点对称] ⑦对于 F(x)=f[g(x)]:若 g(x)是偶函数,则 F(x)是偶函数 若 g(x)是奇函数且 f(x)是奇函数,则 F(x)是奇函数 若 g(x)是奇函数且 f(x)是偶函数,则 F(x)是偶函数 3.奇偶性的判断 ①看定义域是否关于原点对称 ②看 f(x)与 f(-x)的关系 (二)主要方法: 1.判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理,但必须注 意使定义域不受影响; 2.牢记奇偶函数的图象特征,有助于判断函数的奇偶性; 3.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: , . 4.设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶 偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇. 5.注意数形结合思想的应用. (三)例题分析: 例 1.判断下列函数的奇偶性、 ① 非奇非偶函数 ② 偶函数 ③ 奇函数 ④ 既是奇函数又是偶函数 ⑤ a=0 时偶函数,a≠0 时非奇非偶函数 ⑥ 例 2.定义在实数集上的函数 f(x),对任意 x,y∈R,有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且 f(0)≠0 ①求证:f(0)=1 ②求证:y=f(x)是偶函数 证:①令 x=y=0,则 f(0)+f(0)=2f2(0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 ②令 x=0,则 f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y) ∴f(-y)=f(y) ∴y=f(x)是偶函数 变式:定义在 R 上的函数 y=f(x),对任意 x1,x2 都有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),判断函数 y=f(x) 的奇偶性并证明。

解:令 x1=x2=0 则 f(0)=f(0)+f(0) ∴f(0)=0 令 x1=x x2= -x 则 f(0)=f(x)+f(-x) ∴f(-x)= - f(x) ∴y=f(x)是奇函数 例 3.已知函数 f(x),当 x<0 时,f(x)=x2+2x-1 ①若 f(x)为 R 上的奇函数,能否确定其解析式?请说明理由。 ②若 f(x)为 R 上的偶函数,能否确定其解析式?请说明理由。 答案:①可确定, ②不可确定,∵x>0 时,虽可确定 f(x)=x2-2x-1,但 x=0 时,f(0)取任意实数都可以。 变式:已知函数是定义在实数集上的奇函数,求函数的解析式。 分析:用 f(-x)=-f(x) (x∈R)较繁,用 f(0)=0 可较方便地求得 a=1, 例 4.已知 g(x)是奇函数, ,求 f(3) 简解: 相加得: 例 5.已知 f(x)是定义在R上的偶函数,且在上为减函数,若,求实数 a 的取值范围。 简解:f(x)是R上的偶函数且在上为减函数,∴由有: 解得 a≤-1 或 a≥2. 例 6.设为实数,函数, . (1)讨论的奇偶性; (2)求 的最小值. 解: (1)当时, ,此时为偶函数; 当时, , ,∴ 此时函数既不是奇函数也不是偶函数. (2)①当时,函数, 若,则函数在上单调递减,∴函数在上的最小值为; 若,函数在上的最小值为,且. ②当时,函数, 若,则函数在上的最小值为,且; 若,则函数在上单调递增,∴函数在上的最小值. 综上,当时,函数的最小值是,当时,函数的最小值是, 当,函数的最小值是. (四)巩固练习: 1、以下五个函数: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ,其中奇函数是______,偶函数是______,非奇非偶函数是 _________ 变题:已知函数对一切实数都有,则的奇偶性如何? 2、函数是偶函数的充要条件是___________ 3、已知,其中为常数,若,则_______ 4、若函数是定义在 R 上的奇函数,则函数的图象关于( ) (A)轴对称 (B)轴对称 (C)原点对称 (D)以上均不对 5、函数是偶函数,且不恒等于零,则( ) (A)是奇函数 (B)是偶函数 (C)可能是奇函数也可能是偶函数 (D)不是奇函数也不是偶函数 答案:1、 (1) (5) ; (2) ; (3) (4) 变题:奇函数 2、 3、17 4、B 5、A 小结: 1.定义域关于原点对称是函数是奇(偶)函数的必要不充分条件; 2.y=f(x)是奇(偶)函数 y=f(x)的图象关于原点(轴)对称 3.F(x)=f[g(x)]的奇偶性 4.若函数 f(x)的定义域关于原点对称,则

5.函数奇偶性的判断与应用。


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