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选修1-1课件2.2.2-双曲线的简单几何性质zx


2.3.2 双曲线的简单几何性质

焦点在x轴上的双曲线的方程

x y ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 2 2 a b

2

2

y

o -a a

x

性质1—范围

x y

x : y2 ? 2 ? 1可知 由曲线标准方程 双曲线 2 ? a 2 ? b 1在两 a b 2 x 2 2 ? 1 ? x ? a ? x ? a 或 x ? ? a . 2 直线 x ? ? a , x ? a的外侧. a

2

2 2

2

y (x,y)

(-x,y)

o -a a

x

(-x,-y)

(x,-y)

性质2—对称性

y
2 2

x y 双曲线 2 ? 2 ? 1关于x轴、y轴 a b 成轴对称; 关于原点成中心对称 . O
F1 F2 x

双曲线的对称中心叫做 双曲线的 中心.

性质3—顶点

y

双曲线的对称轴与双曲线的交点, 顶点 叫做双曲线的顶点 ?? a ,0? ?a ,0? A1 A2 ? ? F1 O F2 x

性质3—顶点

y

实轴

实轴长 ? 2 a , B ?0 , b ?
?
2
1 2

A A a叫做实半轴长 ? ? F1 O ? F2

虚轴

虚轴长 ? ,? ?0b B2 ,?b
1

x

b叫做虚半轴长

等轴双曲线
2

y
2

x y 在方程 2 ? 2 ? 1中, 如果a ? b , a b 2 2 2 那么方程化为 x ? y ? a , 此时 实轴和虚轴等长的双曲 线 实轴和虚轴的长都等于 2a . O 四条直线x ? ? a , y ? ? a围成正 方形, 渐近线方程为 y ? ?x.

叫做等轴双曲线 .

x

双曲线虚轴的变化对双曲线的影响:

性质4—渐近线

y B2

N ? x ,Y ? Q ? M(x,y)

?

b
?

A1

?

o a A2
?

x

b y? x a

B1

b y?? x a

在Rt?MNQ 中,? MQ ? MN ?当x ? ?时 , MN ? 0 , 进而 MQ ? 0 说明双曲线在第一象限 内的部分, 从

射线ON的下方逐渐接近于射线 ON .

在其他象限内均有类似 的情况. b 于是我们把两条直线 y?? x a 叫做双曲线的渐近线 .

双曲线与它的渐近线 无限接近,但永不相交.

思考:渐近线对双曲线的开口有 影响,有了渐近线就能更精确的

绘制双曲线的图形,应该如何绘
制呢?

注意:
一、如何求双曲线的渐 进线?
(1)利用特征三 角形:
c
α a

y
c

b y? x a
b

O a
b
K=tanα

x
b y?? x a

(2)把标准方程
二、等轴双曲线

x ? y ? m(m ? 0)

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 中的1换成0. 2 a b 2 2 的渐进线方程是

y ? ?x

性质5—离心率

双曲线的焦距与实轴的 比e ? 2c c ? ,叫做双曲线的离心率 . 2a a

性质5—离心率

显然, e ? 1.由b ? c ? a 得,
2 2 2

c ?a c 2 ? ? 1 ? e ? 1. 2 a a b 因此, e ? 大, ? 大, 则渐近线 a b y ? ? x的斜率的绝对值? 大, a 双曲线的形状? 开阔. b ? a
2 2 2

双曲线的离心率是描述双曲线

“张口”大小
的一个重要数据.

(1) x 2 ? 8 y 2 ? 32 的实轴长_____, 4 8 2 虚轴长为____. 顶点坐标为
3 2

练习:

?? 4

?? 6,0? 2 ,0 ,焦点坐标为________,

?

离心率为_____. 4

(2)

x2 ? y 2 ? ?4的实轴长 4

虚轴长

4

顶点坐标

(0,±2) 焦点坐标为 0,?2 2 为_________,

?

?

离心率为______. 2

x2 ? y 2 ? 1 的渐近线方程为: (3) 4

x y?? 2

x x2 2 ? y ? ?1 的渐近线方程为: y ? ? 2 4

例题

例1 求双曲线 9 y 2 ? 16 x 2 ? 144 的半实 轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、

渐近线方程.

解 : 把方程化为标准式: y x ? ? 1 . 2 2 4 3 由此可知, 实半轴长a ? 4, 虚半轴长b ? 3. c ? a ? b ? 4 ? 3 ? 5.
2 2 2 2 2 2

?0, ?5?, ?0,5 ?. 焦点的坐标是
c 5 离心率e ? ? . a 4 渐近线方程为 3 4 x ? ? y, 即 y ? ? x . 4 3

小结
性质1—范围 性质2—对称性

性质3—顶点

性质4—渐近线

性质5—离心率

B2

. .
B2
A2
2 2 2 2

图形

. .
F1(-c,0)
2 2

y

y
F2 B1

F1

A1 A2
O

F2(0,c)
x F1(0,-c)

B1 F2(c,0)

F2

x

A1 O F1

方程 顶点

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) a b
2 2

y x ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a b
A1(0,-a),A2(0,a)

A1(- a,0),A2(a,0)

范围
对称性 离心率 渐进线

x ? a 或 x ? ?a,y ? R

y ? a 或 y ? ?a,x ? R

关于x轴、y轴、原点对称

关于x轴、y轴、原点对称

c e? a

(e ? 1)

b y?? x a

c e? a

(e ? 1)

a y?? x b


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