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2.2.1-抛物线及其标准方程-课件-(北师大选修1-1)zx


复习回顾 椭圆是如何定义的?
我们把平面内到两个定 点F1 , F2的距 离之和等于常数 (大于 F1 F2 )的点的 集合叫作椭圆 .

椭圆的标准方程是什么?
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)(焦点在x轴) 2 a b
y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)(焦点在y轴) 2 a b

r /> 我们在初中学过的二次函数y = ax + bx + c(a ? 0) 的图像是什么?

2

是抛物线,如右图

a?0

我们来看一些生活中的图形:

从上图我们可以看出灯的截面,烟花的形状, 桥拱,彩虹等都是抛物线在实际生活中的体现. 由此可知,抛物线在生活中无处不在.

在平面内,作点到一定点和定直线的距离相等 的点的轨迹. 演示
l F M

定义
平面内与一个定点 F和一条直线l (l不过F )的距离 相等的点的集合叫作抛 物线.

这个定点F叫作抛物线的焦点 , 这条定直线 l叫 做作抛物线的准线 .

分析推导 依抛物线定义,建立如右图 平面直角坐标系
由图知: 准线l与x轴垂直, 垂足为点K , 焦点F在x轴上, KF的中点为坐标系的 原点O.

l

y M

K

O

F

x

? p ? 设 KF ? p ( p ? 0), 则焦点F的坐标为 ? ,0 ? ?2 ? p 准线l的方程为x ? ? . 2

设点M ( x, y )是抛物线上任意一点, 点M 到l的距离为d . 由抛物线定义, 则抛物线上的点M 满足 : MF = d . p 2 p 2 故 : MF = ( x - ) + y , d = x + , 2 2 p 2 p 2 所以 : ( x - ) + y = x + . 2 2 将上式两边平方并化简, 得 : y 2 = 2 px ( p > 0)
K O F x l y M

抛物线标准方程
N

l

y

把方程 y2 = 2px(p>0) 叫做抛物线的标准方程

O

K

.F

x

p p 其中 F( 2 ,0), l :x = 2

而p 的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离|FK|

一条抛物线,由于它在坐标平面内的 位置不同,方程也不同,所以抛物线 的标准方程还有其它形式.

抛物线的标准方程还有 几种不同的形式?它们是 如何建系的?

四种抛物线及其它们的标准方程
y
y

y
y l O F


O F

x

x

F

O

x

F O l


l
l

x

x 轴的 焦点位置 正半轴上

x轴的 负半轴上 y2=-2px
p F(- ,0) 2 p x= 2

y轴的 正半轴上 x2=2py
p F (0, ) 2 p y =2

y轴的 负半轴上 x2=-2py
p F (0, - ) 2 p y= 2

标准方程
焦点坐标 准线方程

y2=2px
p F ( ,0) 2 p x =2

例题讲解
例1根据下列条件求抛物线 的标准方程: (1)已知抛物线的焦点坐标 是F (2,0); 3 (2)已知抛物线的准线方程 是x ? ? . 2
解(1)设抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0). p ?p ? 其焦点坐标为 ? ,0 ?.根据题意有 ? 2, 即p ? 4, 2 ?2 ? 故标准方程为 y 2 ? 8 x.

(2)设抛物线的标准方程为 : y ? 2 px( p ? 0),
2

3 其准线方程为 x?? . 2 p 3 由题意有? ? ? , 故p ? 3. 2 2 2 因此, 标准方程为 y ? 6 x.

学生练习 根据下面条件写出抛物线的标准方程: 抛物线过点A(-3,2) 解:
当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时, 把A(-3,2)代入x2 =2py, 得 p= 当焦点在x轴的负半轴上时, 把A(-3,2)代入y2 = -2px, 得 p= ∴抛物线的标准方程为 x2 = y或y2 = x
43 92 94 23

y A(-3,2)

o

x

小 结 :
1、抛物线是如何定义的? 2、会运用抛物线的定义、标准方程求它 的焦点、准线、方程;

3、注重数形结合的思想。


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