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第2讲 圆的方程


第2讲
一、选择题

圆的方程
).

1.已知点 A(1,-1),B(-1,1),则以线段 AB 为直径的圆的方程是( A.x2+y2=2 C.x2+y2=1 解析 B.x2+y2= 2 D.x2+y2=4

AB 的中点坐标为:(0,0),

2

|AB

|= [1-



-1-

2

=2 2,

∴圆的方程为:x2+y2=2. 答案 A

2.设圆的方程是 x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0,若 0<a<1,则原点与圆的位置关 系是 A.原点在圆上 C.原点在圆内 解析 B.原点在圆外 D.不确定 ( ).

将圆的一般方程化为标准方程(x+a)2+(y+1)2=2a,因为 0<a<1,所以

(0+a)2+(0+1)2-2a=(a-1)2>0,所以原点在圆外. 答案 B

3.已知圆 C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x-y-1=0 对称,则 圆 C2 的方程为( )

A.(x+2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y+2)2=1 C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1 解析 只要求出圆心关于直线的对称点,就是对称圆的圆心,两个圆的半径不

a-1 b+1 ? ? 2 - 2 -1=0, 变.设圆 C 的圆心为(a,b),则依题意,有? b-1 ? ?a+1=-1,
2

?a=2, 解得? ?b=-2, 答案 B

对称圆的半径不变,为 1.

4. 若圆(x-3)2+(y+5)2=r2 上有且只有两个点到直线 4x-3y-2=0 的距离等于 1,则半径 r 的取值范围是( A.(4,6) 解析 B.[4,6) ). C.(4,6] D.[4,6]

因为圆心(3,-5)到直线 4x-3y-2=0 的距离为 5,所以当半径 r=4

时,圆上有 1 个点到直线 4x-3y-2=0 的距离等于 1,当半径 r=6 时,圆上 有 3 个点到直线 4x-3y-2=0 的距离等于 1, 所以圆上有且只有两个点到直线 4x-3y-2=0 的距离等于 1 时,4<r<6. 答案 A

5.已知圆 C:x2+y2+mx-4=0 上存在两点关于直线 x-y+3=0 对称,则实数 m 的值为 A.8 解析 B.-4 C.6 D.无法确定 ( ).

圆上存在关于直线 x-y+3= 0 对称的两点,则 x- y+ 3=0 过圆心

m ? m ? ?- 2 ,0?,即- +3=0,∴m=6. 2 ? ? 答案 C

? 1 ? 6.圆心为 C?-2,3?的圆与直线 l:x+2y-3=0 交于 P,Q 两点,O 为坐标原点, ? ? →· → =0,则圆 C 的方程为 且满足OP OQ 5 ? 1? A.?x-2?2+(y-3)2=2 ? ? 25 ? 1? C.?x+2?2+(y-3)2= 4 ? ? 解析 法一 ? 1 ? ∵圆心为 C?-2,3?, ? ? 5 ? 1? B.?x-2?2+(y+3)2=2 ? ? 25 ? 1? D.?x+2?2+(y+3)2= 4 ? ? ( ).

? 1? ∴设圆的方程为?x+2?2+(y-3)2=r2. ? ? 设 P(x1,y1),Q(x2,y2). 由圆方程与直线 l 的方程联立得:5x2+10x+10-4r2=0,

10-4r2 ∴x1+x2=-2,x1x2= 5 . →· → =0,得 x x +y y =0,即: 由OP OQ 1 2 1 2 5 3 9 10-4r 15 x 1x2- (x1+x2)+ = 4 4 4 4 + 4 =0, 25 解得 r2= 4 ,经检验满足判别式 Δ>0. 25 ? 1? 故圆 C 的方程为?x+2?2+(y-3)2= 4 . ? ? 法二 ? 1 ? ∵圆心为 C?-2,3?, ? ?
2

? 1? ∴设圆的方程为?x+2?2+(y-3)2=r2, ? ? ? 1? 在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的,即 ?x+2?2+(y-3)2 ? ? 25 = 4 ,故选 C. 答案 C

二、填空题 7.过两点 A(0,4),B(4,6),且圆心在直线 x-2y-2=0 上的圆的标准方程是 ________. 解析 设圆心坐标为(a,b),圆半径为 r,则圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

∵圆心在直线 x-2y-2=0 上,∴a-2b-2=0,① 又∵圆过两点 A(0,4),B(4,6),∴(0-a)2+(4-b)2=r2,②且(4-a)2+(6-

b)2=r2,③
由①②③得:a=4,b=1,r=5, ∴圆的方程为(x-4)2+(y-1)2=25. 答案 (x-4)2+(y-1)2=25 8.已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1,点 A(0,-1),B(0,1).P 是圆 C 上的动点, 当|PA|2+|PB|2 取最大值时,点 P 的坐标是________. 解析 +2,
2 2 显然 x2 0+y0的最大值为(5+1) , 2 2 2 2 2 设 P(x0,y0),则|PA|2+|PB|2=x2 0+(y0+1) +x0+(y0-1) =2(x0+y0)

?18 24? → → ∴dmax=74,此时OP=-6PC,结合点 P 在圆上,解得点 P 的坐标为? , ?. 5? ?5 答案 ?18 24? ? , ? 5? ?5

?x≥0, 9.已知平面区域?y≥0, ?x+2y-4≤0
解析

恰好被面积最小的圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2

及其内部所覆盖,则圆 C 的方程为________. 由题意知,此平面区域表示的是以 O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角

形及其内部,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,又△OPQ 为直角三 |PQ| 角形,故其圆心为斜边 PQ 的中点(2,1),半径为 2 = 5,∴圆 C 的方程为(x -2)2+(y-1)2=5. 答案 (x-2)2+(y-1)2=5

10.已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1,点 A(-1,0),B(1,0),点 P 是圆上的动点, 则 d=|PA|2+|PB|2 的最大值为________,最小值为________. 解析
2 2 2 设点 P(x0,y0),则 d=(x0+1)2+y0 +(x0-1)2+y2 0=2(x0+y0)+2,欲求 d

2 的最值, 只需求 u=x2 即求圆 C 上的点到原点的距离平方的最值. 圆 0+y0的最值,

C 上的点到原点的距离的最大值为 6,最小值为 4,故 d 的最大值为 74,最小 值为 34. 答案 74 34

三、解答题 11.已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(-1,0)和 B(3,4),线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D,且|CD|=4 10. (1)求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程. 解 (1)直线 AB 的斜率 k=1,AB 的中点坐标为(1,2),

∴直线 CD 的方程为 y-2=-(x-1),即 x+y-3=0. (2)设圆心 P(a,b),则由 P 在 CD 上得 a+b-3=0. 又直径|CD|=4 10,∴|PA|=2 10, ∴(a+1)2+b2=40, ② ①

?a=-3, ?a=5, 由①②解得? 或? ?b=6 ?b=-2. ∴圆心 P(-3,6)或 P(5,-2), ∴圆 P 的方程为(x+3)2+(y-6)2=40 或(x-5)2+(y+2)2=40. 12.已知圆 M 过两点 C(1,-1),D(-1,1),且圆心 M 在 x+y-2=0 上. (1)求圆 M 的方程; (2)设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA,PB 是圆 M 的两条切线,A,B 为 切点,求四边形 PAMB 面积的最小值. 解 (1)设圆 M 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
2 2 2

?-1-b? =r , ??1-a? + 2 2 2 根据题意得:??-1-a? +?1-b? =r , ?a+b-2=0, 解得 a=b=1,r=2, 故所求圆 M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2)因为四边形 PAMB 的面积 1 1 S=S△PAM+S△PBM=2|AM|· |PA|+2|BM|· |PB|, 又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以 S=2|PA|, 而|PA|= |PM|2-|AM|2= |PM|2-4, 即 S=2 |PM|2-4. 因此要求 S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直线 3x+4y+8=0 上找一点 P,使得|PM|的值最小, 所以|PM|min= |3×1+4×1+8| =3, 32+42

所以四边形 PAMB 面积的最小值为
2 S=2 |PM|2 min-4=2 3 -4=2 5.

13.已知圆 C 过点 P(1,1),且与圆 M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线 x+y+2 =0 对称. (1)求圆 C 的方程;

→ → (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点,求PQ· MQ的最小值. a-2 b-2 ? ? 2 + 2 +2=0, (1)设圆心 C(a,b),则? b+2 ? ?a+2=1, ?a=0, 解得? ?b=0,



则圆 C 的方程为 x2+y2=r2,将点 P 的坐标代入得 r2=2, 故圆 C 的方程为 x2+y2=2. →· → =(x-1,y-1)· (2)设 Q(x,y),则 x2+y2=2,且PQ MQ (x+2,y+2)=x2+y2 +x+y-4=x+y-2, 令 x= 2cos θ,y= 2sin θ, →· → =x+y-2= 2(sin θ+cos θ)-2 ∴PQ MQ ? π? =2sin?θ+4?-2, ? ? →· → 的最小值为-4. 所以PQ MQ 14.已知点 A(-3,0),B(3,0),动点 P 满足|PA|=2|PB|. (1)若点 P 的轨迹为曲线 C,求此曲线的方程; (2)若点 Q 在直线 l1:x+y+3=0 上,直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公 共点 M,求|QM|的最小值. 解 则 (1)设点 P 的坐标为(x,y),

x+

2

+y2=2

x-

2

+y2.

化简可得(x-5)2+y2=16,此即为所求. (2)曲线 C 是以点(5,0)为圆心,4 为半径的圆,如图, 由直线 l2 是此圆的切线,连接 CQ, 则|QM|= |CQ| -|CM| = |CQ| -16, 当 CQ⊥l1 时,|CQ|取最小值, |CQ|= |5+3| =4 2, 2
2 2 2

此时|QM|的最小值为 32-16=4.


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