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2014年深圳一模理科数学(有答案)


绝密★启用前

试卷类型:A

2014 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {2, 0, 1, 4}

,集合 B ? {x 0 ? x ? 4, x ? R} ,集合 C ? A 表示为 A.{2,0,1, 4} B. {1, 2, 3, 4} C.{1, 2, 4} D. {x 0 ? x ? 4, x ? R}

2014.2

B .则集合 C 可

2.复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 (其中 i 为虚数单位) ,则 z = A.

1 1 ? i 2 2

B.

1 1 ? i 2 2

C. ?

1 1 ? i 2 2

D. ?

1 1 ? i 2 2

3.下列函数中,为奇函数的是 A. y ? 2 x ?

1 2x

B. y ? x, x ??0,1?

C. y ? x ? sin x

?1, x ? 0 ? D. y ? ?0, x ? 0 ? ?1, x ? 0 ?

4. “ ? ? 1 ”是“ 函数 f ( x) ? cos ? x 在区间 ? 0, π ? 上单调递减”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.执行如图 1 所示的程序框图,则输出的 a 的值为 (注: “a ? 2” ,即为“ a ? 2 ”或为“ a :?? 2 ” . ) A. 2 B.
1 3

开始
a ? 2,i ? 1

a?

1? a 1? a

i ? i ?1

i ? 2014



C. ?

1 2

是 输出 a 结束
图1

D. ?3 1 6.( x ? )4 的展开式中常数项为 2x 1 1 A. B. ? 2 2 3 3 C. D. ? 2 2 7.如图 2,在矩形 OABC 内:记抛物线 y ? x 2 ? 1 与直线 y ? x ? 1 围成的区域为 M (图中阴影部分) .随机往矩形 OABC 内投一 点 P ,则点 P 落在区域 M 内的概率是

y 2
1
C

y ? x2 ? 1 y ? x ?1 B

O

1 x A 图2

x

A. C.

1 18 1 6

B.

1 12 1 3

D.

8. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 定 义 两 点 P( x1 , y1 ) 与 Q( x2 , y2 ) 之 间 的 “ 直 角 距 离 ” 为 .给出下列命题: d ( P, Q)? 1 x? 2 x? 1 y? 2 y (1)若 P(1, 2) , Q(sin ? , 2cos ? )(? ? R) ,则 d ( P, Q) 的最大值为 3 ? 5 ; (2)若 P, Q 是圆 x 2 ? y 2 ? 1上的任意两点,则 d ( P, Q) 的最大值为 2 2 ; (3) 若 P(1,3) ,点 Q 为直线 y ? 2 x 上的动点,则 d ( P, Q) 的最小值为 其中为真命题的是 A. (1) (2) (3)

1 . 2

B. (1) (2)

C. (1)(3)

D. (2)(3)

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题分为必 做题和选做题两部分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.函数 f(x)? 2x ? 4 的定义域为 .

10. 某几何体的三视图如图 3 所示, 其正视图是边长为 2 的正方形, 侧视图和俯视图都是等腰直角三角形,则此几何体的体积 是 .
正视图 侧视图

11.已知双曲线 C :

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 有相同的焦点, 与椭圆 a 2 b2 9 4

俯视图

图3

且双曲线 C 的渐近线方程为 y ? ?2 x ,则双曲线 C 的方程为



? x ? y, ? 12. 设实数 x, y 满足 ? y ? 10 ? 2 x, 向量 a ?(2 x ? y, m), b ?(?1, 1).若 a?//?b ,则实数 m 的 ? x ? 1, ?
最大值为 . . 13.在数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 4 , a3 ? 15 ,且数列 ?an ? n? 是等比数列,则 an ?

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的 得分. 14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为

? ? x ? t, 极轴建立极坐标系.若曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C2 的极坐 2 ? ?y ? 1? t .
标方程为 ? sin ? ? ? cos? ? ?1 .则曲线 C1 与曲线 C2 的交点个数为________个. 15. (几何证明选讲选做题)如图 4,已知 AB 是⊙ O 的直径,TA 是⊙ O 的切线,过 A 作弦 AC //BT ,若 AC ? 4 , AT ? 2 3 , 则 AB ? . B O C 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说 明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? π) 的图像经过点 ( (1)求 ? 的值;
图4

T

A

π , 1) . 12

(2)在 ?ABC 中, ? A 、 ? B 、 ?C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 a 2 ? b2 ? c2 ? ab , 且 f(

A π 2 .求 sin B . ? )? 2 12 2

17.(本小题满分 12 分) 某网络营销部门为了统计某市网友 2013 年 11 月 11 日在某淘宝店的网购情况,随机抽 查了该市当天 60 名网友的网购金额情况,得到如下数据统计表(如图 5(1) ) :
网购金额 (单位:千元)
频率 组距

频数

频率

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

(0, 0.5] (0.5,1]
(1,1.5]
(1.5, 2] (2, 2.5] (2.5,3]
合计 (1)

3

0.05
p

x
9

0.15 0.25 0.30
q

15 18
y

60

1.00
图5

金额(千元)

0

0.5

1

1.5

(2)

2

2.5

3

若网购金额超过 2 千元的顾客定义为“网购达人”,网购金额不超过 2 千元的顾客定 义为“非网购达人”,已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为 3 : 2 . (1)试确定 x , y , p , q 的值,并补全频率分布直方图(如图 5(2)).

(2)该营销部门为了进一步了解这 60 名网友的购物体验,从“非网购达人”、“网购 达人”中用分层抽样的方法确定 10 人,若需从这 10 人中随机选取 3 人进行问卷调查.设

? 为选取的 3 人中“网购达人”的人数,求 ? 的分布列和数学期望.

18. (本小题满分 14 分) 如图 6 所示,平面 ABCD ? 平面 BCEF ,且四边形 ABCD 为矩形,四边形 BCEF 为直 角梯形, BF // CE , BC ? CE , DC ? CE ? 4 , BC ? BF ? 2 .
AF // 平面 CDE ; (1)求证 :

(2)求平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值; (3)求直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值.

D
A

19.(本小题满分 14 分)

C

E

2 ? 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 4(n ? 1)(Sn B ? 1) ? (n ? 2) F an (n ? N ) .

图6

(1)求 a1 , a2 的值; (2)求 an ; (3)设 bn ?

3 n ?1 ,数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 4 an

20.(本小题满分 14 分) 如图 7,直线 l : y ? x ? b(b ? 0) ,抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) ,已知点 P (2, 2) 在抛
2

物线 C 上,且抛物线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为 (1)求直线 l 及抛物线 C 的方程;

3 2 . 4

(2)过点 Q(2,1) 的任一直线(不经过点 P )与抛物线 C 交于 A 、 B 两点,直线 AB 与

y
l

直线 l 相交于点 M ,记直线 PA , PB , PM 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 .问:是否存在实 数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ? k3 ?若存在,试求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 9x 已知函数 f ( x)? (a ? 0) . 1 ? ax2
1 (1)求 f ( x)在[ ,2]上的最大值; 2

(2)若直线 y ? ? x ? 2a 为曲线 y ? f ( x)的切线,求实数 a 的值;
?1 ? ? , x1 ? 2,? , 且 x1 + x 2 + ? + x 1 ? ( 3 ) 当 a ? 2 时 , 设 x1 , x2, 4 ? 4 14 , 若 不 等 式 ?2 ?
f ( x1 )+ f( x2 )+ ?+f( x14 )? ? 恒成立,求实数 ? 的最小值.


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