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2014年高考理科数学(宁夏卷


绝密★启用前

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷)

理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂

其它答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 5.做选考题时,考生按照题目要求做答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 M ? {0,1,2} , N ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} ,则 M ? N ?
2

( D D、 {1,2} ( A



A、 {1}

B、 {2}

C、 {0,1}

2.设复数 z 1 , z 2 在复平面内对应点关于虚轴对称, z1 ? 2 ? i ,则 z1 z 2 ? A、 ? 5 B、 5 C、 ? 4 ? i D、 ? 4 ? i



3.设向量 a , b 满足 | a ? b |? 10 , | a ? b |? A、1 B 、2

?

?

?

?

?

?

? ? 6 ,则 a ? b ?
C、3 D、5

( A



4.钝角三角形 ABC 的面积是 A、5

1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC= 2
C、2 D、1

( B



B、 5

5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的

概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( A
A、0.8 B、0.75 C、0.6 D、0.45



6.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线画出的是 某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯 切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 ( C A、 )

17 27 10 27

B、

5 9 1 3

C、

D、

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7.执行下边的程序框图,如果输入的 x , t 均为 2, 则输出的 S= ( D

开始



输入x, t
M ? 1, S ? 3

A、4 B、5 C、6 D、7
M ?


k ?1
k ? t?


输出S
结束

M x k

S ? M ?S
k ? k ?1

8.设曲线 y ? ax ? ln(x ? 1) 在点(0,0)处的切线方程为 y ? 2 x ,则 a ? A、0 B 、1 C 、2 D、3

( D



?x ? y ? 7 ? 0 ? 9.设 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 ,若 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
A、10 B 、8 C 、3
?

( B



D、2

10.设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾角为 30 的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标

原点,则△ABC 的面积为
A、

( D B、



3 3 4

9 3 8
?

C、

63 32

D、

9 4

M, N 分别是 A1 B1 ,A1C1 的中点, 11.直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BCA ? 90 , BC ? CA ? CC1 ,
则 BM 与 AN 所成角的余弦值为 A、 ( C )

1 10 3 sin

B、

2 5

C、

30 10

D、

2 2

12.设函数 f ( x) ?

?x
m

2 ,若存在 f ( x) 的极值点 x0 满足 x0 ? [ f ( x0 )]2 ? m2 ,则 m 的取值范

围是
A、 (??,?6) ? (6,??) C、 (??,?2) ? (2,??) B、 (??,?4) ? (4,??) D、 (??,?1) ? (1,??)

( C



第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答。 第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. ( x ? a) 的展开式中, x 的系数为 15,则 a ?
10
7

0.5 .
第2页

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14.函数 f ( x) ? sin( x ? 2? ) ? 2 sin ? cos(x ? ? ) 的最大值为

1

. (-1,3) .

15.已知偶函数 f ( x) 在 [0,??) 单调递减, f (2) ? 0 ,若 f ( x ? 1) ? 0 ,则 x 的取值范围是
?

16.设点 M ( x0 , 1) ,若在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 上存在点 N ,使得 ?OMN ? 45 ,则 x0 的取值范围是 [-1,1] .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 1 . (Ⅰ)证明 {a n ? } 是等比数列,并求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明

1 2

1 1 1 3 ? ??? ? . a1 a 2 an 2

1 3 3a n ? 2 ? 2 ? 3 ∴以 {a ? 1 } 是等比数列且公比是 3 证明: (Ⅰ)∵ n 1 1 2 an ? an ? 2 2 a n ?1 ?
又∵ a1 ? 1 ∴ a1 ?

1 3 ? 2 2

∴ an ?

1 3n ? 2 2

∴ an ?

3n ? 1 2

n n ?1 (Ⅱ)当 n ? 1 时, 3 ? 1 ? 2 ? 3



1 2 1 ? n ? ( ) n?1 an 3 ? 1 3



1 1 1 1 1 3 1 3 ? ??? ? 1 ? ? ? ? ( ) n?1 ? [1 ? ( ) n ] ? a1 a2 an 3 3 2 3 2

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD . E 为 PD 的中点 (Ⅰ)证明: PB //平面 AEC ;
? (Ⅱ)设二面角 D ? AE ? C 为 60 ,

P E A

AP ? 1 , AD ? 3 ,求三棱锥 E ? ACD 的体积.
D O B C 证明: (Ⅰ)连 BD 交 AC 于 O ,连 OE 则 PB // OE ∴ PB //平面 AEC (Ⅱ)如图建系,设 AB ? a , 则 A(0,0,0) , C (a, 3,0) E (0,

3 1 , ) 2 2
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∴ AC ? (a, 3,0) , AE ? (0,

3 1 , ) 2 2
?
z P E A O C

设面 AEC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z )

? ? 3 1 y? z ? AE ? n ? 由? 2 2 ? ? AC ? n ? ax ? 3 y ?

? 3 y ?x ? ? ? ? a ?z ? ? 3 y ?

令 y ? ? a 得 n ? ( 3,?a, 3a)

?

D

y

? 易知面 ADE 的一个法向量为 m ? (1,0,0)
∵二面角 D ? AE ? C 为 60 ∴ cos ? m, n ??
?

B x

? ?

3 4a 2 ? 3

? cos60? ?

1 2

?

a?

3 2

∴ VE ? ACD ?

1 1 3 1 3 ? ? ? 3? ? 3 2 2 2 8

19. (本小题满分 12 分) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y (单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况, 并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.

?? 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: b

? (t
i ?1

n

i

? t )( y i ? y )
i

? (t
i ?1

n

?t . ? ? y ?b ,a

?t)

2

解:(Ⅰ) 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 -3 2008 2 3.3 -2 2009 3 3.6 -1 2010 4 4.4 0 2011 5 4.8 1 2012 6 5.2 2 2013 7 5.9 3

t ?4

y ? 4.3

ti ? t

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(ti ? t )
yi ? y

2

9

4

1

0

1

4

9

? (t
i ?1

7

i

? t ) 2 ? 28

-1.4

-1

-0.7

0.1

0.5

0.9

1.6

(ti ? t )( yi ? y)

4.2

2

0.7

0

0.5

1.8

4.8

? (t
i ?1

7

i

? t )( yi ? y ) ? 14

?? ∴b

? (t
i ?1

n

i

? t )( y i ? y )
i

? (t
i ?1

n

? 0.5

?t ? 2.3 ? ? y ?b a

? t )2

? ? 0.5t ? 2.3 ∴ y 关于 t 的线性回归方程为: y
(Ⅱ)由(Ⅰ)中的线性回归方程可知,2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐渐增 加,平均每年增加 500 元。

? ? 6.8 当 t ? 9 时, y
∴该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入大约为 6800 元。 20. (本小题满分 12 分)

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左,右焦点, M 是 C 上的一点且 MF2 与 x 轴 a2 b2 垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N .
设 F1 , F2 分别是椭圆 C : (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为

3 ,求 C 的离心率; 4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 | MN |? 5 | F1 N | ,求 a , b . 解:(Ⅰ)∵ MF2 ? x 轴, k MN ?

3 4
D

x
M

3 5 ∴ | F1 F2 |? 2c , | MF 2 |? c , | MF1 |? c 2 2 3 5 又∵ | MF1 | ? | MF2 |? 2a ∴ c ? c ? 2a 2 2 c 1 e? ? ∴ 2c ? a a 2 b2 (Ⅱ)∵ MF2 ? x 轴 ∴ M ( c, ) a 由题意知原点 O 为 F1 F2 的中点, MF2 // y 轴 ∴ MF1 与 y 轴的交点 D 是 MF1 的中点

N

F1

O

F2

y

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b2 ? 4 即 b 2 ? 4a a 由 | MN |? 5 | F1 N | ,得 | DF1 |? 2 | F1 N | 设 N ( x1 , y1 ) ,由题意知 y1 ? 0 ,则


3 ? ?2( ?c ? x1 ) ? c ? x1 ? ? c ?? 2 ? ? ? 2 y1 ? 2 ? ? y1 ? ?1 9c 2 1 ? 2 ?1 代入 C 的方程,得 2 4a b
9(a 2 ? 4a) 1 ? ?1 将 b ? 4a 及 c ? a ? b 代入上式得 4a 4a 2 2 解得 a ? 7 , b ? 4a ? 28 ∴ a ? 7 ,b ? 2 7
2

2

2

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? e
x ?x

? 2x .

(Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)设 g ( x) ? f (2 x) ? 4bf ( x) ,当 x ? 0 时,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142?

2 ? 1.4143,估计 ln 2 的近似值(精确到 0.001) .
?x

解(Ⅰ) f ' ( x) ? e ? e
x

? 2 ? 0 ,等号当且仅当 x ? 0 时成立

∴ f ( x) 在 (??,??) 单调递增 (Ⅱ) g ( x) ? f (2x) ? 4bf ( x) ? e
2x

? e ?2 x ? 4b(e x ? e ? x ) ? (8b ? 4) x

g ' ( x) ? 2[e 2 x ? e ?2 x ? 2b(e x ? e ? x ) ? (4b ? 2)] ? 2(e x ? e ? x ? 2)(e x ? e ? x ? 2b ? 2)
(1)当 b ? 2 时, g ' ( x) ? 0 ,等号仅当 x ? 0 时成立,所以 g ( x) 在 (??,??) 单调递增 又∵ g (0) ? 0 ,∴ ?x ? 0 , g ( x) ? 0
x ?x (2)当 b ? 2 时,若 x 满足 2 ? e ? e ? 2b ? 2 ,即 0 ? x ? ln(b ? 1 ? b 2 ? 2b ) 时 g ' ( x) ? 0

又∵ g (0) ? 0 ,∴当 0 ? x ? ln(b ? 1 ? b 2 ? 2b ) 时 g ( x) ? 0 综上: b 的最大值为 2 (Ⅲ)由(Ⅱ)知, g (ln 2 ) ?

3 ? 2 2b ? 2(2b ? 1) ln 2 2
第6页

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当 b ? 2 时, g (ln 2 ) ?

3 8 2 ?3 ? 4 2 ? 6 ln 2 ? 0 , ln 2 ? ? 0.6928 2 12

当b ?

3 2 时, ln(b ? 1 ? b 2 ? 2b ) ? ln 2 4
3 g (ln 2 ) ? ? ? 2 2 ? (3 2 ? 2) ln 2 ? 0 2

ln 2 ?

18 ? 2 ? 0.6934 28

∴ ln 2 的近似值为 0.693 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。做答时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, P 是⊙ O 外一点, PA 是切线, A 为切点, 割线 PBC 与⊙ O 相交于点 B , C , PC ? 2 PA , A D 为 PC 的中点, AD 的延长线交⊙ O 于点 E .证明: (Ⅰ) BE ? EC ; (Ⅱ) AD ? DE ? 2 PB .
2

?O

P

B

D

C
E

证明: (Ⅰ)连接 AB , AC ,由题意可知 PA ? PD ∴ ?PAD ? ?PDA 又∵ ?PAD ? ?BAD ? ?PAB

?PDA ? ?DAC ? ?DCA ?DCA ? ?PAB ∴ ?DAC ? ?BAD ∴ 弧BE ? 弧EC ∴ BE ? EC
(Ⅱ)由切割线定理得: PA ? PB ? PC
2

A
BD ? PB

∵ PA ? PD ? DC ∴ DC ? 2 PB 由相交弦定理得: AD ? DE ? BD ? DC ∴ AD ? DE ? 2 PB
2

?O
P B D

C
E

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为

? ? ? 2 cos? , ? ? [0, ] .
2
(Ⅰ)求 C 的参数方程;

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(Ⅱ)设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方 程,确定 D 的坐标. 解:(Ⅰ)∵ ? ? 2 cos? ∴ C 的参数方程为: ? ∴ x ? y ? 2 x 即: ( x ? 1) ? y ? 1
2 2 2 2

? x ? 1 ? cost t ? [0, ? ] ? y ? sin t

(Ⅱ)设 D(1 ? cost , sin t ) 由知 C 是以 C (1,0) 为圆心,1 为半径的上半圆 ∵ C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直 ∴ l // CD ∴ kCD ? tant ? 3 ∴ t ? 60
?

3 3 D 点的坐标为 (1 ? cos60? , sin 60? ) ,即 ( , ) 2 2
24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ?

1 | ? | x ? a | (a ? 0) . a

(Ⅰ)证明: f ( x) ? 2 ; (Ⅱ)若 f (3) ? 5 ,求 a 的取值范围.

解:(Ⅰ)由 a ? 0 ,有 f ( x) ?| x ? (Ⅱ) f (3) ?| 3 ?

1 1 1 | ? | x ? a |?| ( x ? ) ? ( x ? a ) |? ? a ? 2 a a a

1 | ? |3?a | a 1 5 ? 21 ? a ,由 f (3) ? 5 得 3 ? a ? a 2 1 1? 5 ?a?3 ,由 f (3) ? 5 得 a 2

当 a ? 3 时, f (3) ?

当 0 ? a ? 3 时, f (3) ? 6 ? a ?

综上: a 的取值范围是 (

1 ? 5 5 ? 21 , ) 2 2

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