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高中数学必修1人教A教案导学案3.1.2用二分法求方程的近似解


§ 3.1.2 用二分法求方程的近似解教案

【教学目标】 1. 根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解; 2. 通过用二分法求方程的近似解,使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形 成用函数观点处理问题的意识. 【教学重难点】 教学重点:通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系,初 步形成用函数观点处理问题的意识. 教学难点:精确度概念的理解,求方程近似解一般步骤的概括和理解 【教学过程】 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 (二)情景导入、展示目标。 探究任务:二分法的思想及步骤 问题:有 12 个小球,质量均匀,只有一个是比别的球重的,你用天平称几次可以找出 这个球的,要求次数越少越好,解法: 第一次,两端各放 个球,低的那一端一定有重球; 第二次,两端各放 个球,低的那一端一定有重球; 第三次,两端各放 个球,如果平衡,剩下的就是重球,否则,低的就是重球. 思考:以上的方法其实这就是一种二分法的思想,采用类似的方法,如何求 y ? ln x ? 2 x ? 6 的零点所在区间?如何找出这个零点? 新知:对于在区间 [a, b] 上连续不断且 f (a)?f (b) <0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断的把函数的 零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法 叫二分法(bisection). 反思: 给定精度ε ,用二分法求函数 f ( x) 的零点近似值的步骤如何呢? ①确定区间 [a, b] ,验证 f (a)?f (b) ? 0 ,给定精度ε ; ②求区间 (a, b) 的中点 x1 ; ③计算 f ( x1 ) : 若 f ( x1 ) ? 0 ,则 x1 就是函数的零点; 若 f (a)?f ( x1 ) ? 0 ,则令 b ? x1(此 时零点 x0 ? (a, x1 ) ) 若 f ( x1 )?f (b) ? 0 ,则令 a ? x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; ; ④判断是否达到精度ε ;即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a(或 b) ;否则重复步骤 ②~④. (三)典型例题 例 1 借助计算器或计算机,利用二分法求方程 2x ? 3x ? 7 的近似解. 解析:如何进一步有效的 缩小根所在的区间。 解:原方程即为 2 ? 3x ? 7 ? 0 ,令 f ( x) ? 2 ? 3x ? 7 ,用计算器或计算机作出对应 的表格与图象(见课本 90 页) 则 f (2) f (1) ? 0 ,说明在区间 (1,2) 内有零点 x 0 ,
x
x

取区间 (1,2) 的中点 1.5 ,用计数器计算得 f (1.5) ? 0.33 ,因为 f (1) f (1.5) ? 0 ,所以

x0 ? (1,1.5) .
再取区间 (1,1.5) 的中点 1.25 , 用计数器计算得 f (1.25) ? ?0.87 , 因为 f (1) f (1.5) ? 0 , 所以 x0 ? (1.25,1.5) .
1

同理可得 x0 ? (1.375,1.5) x0 ? (1.375,1.4375 ) 由于

1.375 ? 1.4375 ? 0.0625 ? 0.1 ,
所以方程 的近似解可取为 1.4375 . 点评:利用同样的方法可以求方程的近似解。 变式训练 1:求方程 ln( x) ? 2 x ? 3 ? 0 的根大致所在区间.

例 2 求方程 log3 x ? x ? 3 的解的个数及其大致所在区间. 分析:用二分法求方程的近似解的原理的应用,学生小组合作共同完成。

变式训练 2 求函数 f ( x) ? x3 ? x ? 2 x ? 2 的一个正数零点(精确到 0.1 )
零点所在区间 中点函数值符号 区间长度

(四)小结:今天的学习内容和方法有哪些?你有哪些收获和经验?课堂上师生主要解 决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等,最后进行当堂 检测,课后进行延伸拓展,以达到提高课堂效率的目的。 【板书设计】 一、二分法的思想及步骤 二、例题 例1 变式 1 例2 变式 2 【作业布置】课本 91 页 1

§ 3.1.2 用二分法求方程的近似解学案
课前预习学案
一、预习目标 能说出零点的概念,零点的等价性,零点存在性定理。 二、预习内容 (预习教材 P89~ P91,找出疑惑之处) 复习 1: 什么叫零点?零点的等价性?零点存在性定理?

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对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点. 方 程 f ( x) ? 0 有 实 数 根 ? 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 与 x 轴 ? 函数 . y ? f ( x) 如 果 函 数 y ? f ( x) 在 区 间 [ a , b ] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 并 且 有 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内有零点. 复习 2:一元二次方程求根公式? 三次方程? 四次方程?

三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 1. 根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解; 2. 通过用二分法求方程的近似解,使学生体会函数零点与方程根之间的联系, 初步形 成用函数观点处理问题的意识. 学习重点:通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系,初 步形成用函数观点处理问题的意识. 学习难点:精确度概念的理解,求方程近似解一般步骤的概括和理解 二、学习过程 探究任务:二分法的思想及步骤 问题:有 12 个小球,质量均匀,只有一个是比别的球重的,你用天平称几次可以找出 这个球的,要求次数越少越好. 解法: 第一次,两端各放 个球,低的那一端一定有重球; 第二次,两端各放 个球,低的那一端一定有重球; 第三次,两端各放 个球,如果平衡,剩下的就是重球,否则,低的就是重球. 思考:以上的方法其实这就是一种二分法的思想,采用类似的方法,如何求 y ? ln x ? 2 x ? 6 的零点所在区间?如何找出这个零点?

新知:对于在区间 [a, b] 上连续不断且 f (a)?f (b) <0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断的把函 数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的 方法叫二分法(bisection).

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反思: 给定精度ε ,用二分法求函数 f ( x) 的零点近似值的步骤如何呢?

①确定区间 [a, b] ,验证 f (a)?f (b) ? 0 ,给定精度ε ; ②求区间 (a, b) 的中点 x1 ; ③计算 f ( x1 ) : 若 f ( x1 ) ? 0 ,则 x1 就是函数的零点; 若 f (a)?f ( x1 ) ? 0 ,则令 b ? x1(此 时零点 x0 ? (a, x1 ) ) 若 f ( x1 )?f (b) ? 0 ,则令 a ? x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; ; ④判断是否达到精度ε ;即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a(或 b) ;否则重复步骤 ②~④. 三、 典型例题 例 1 借助计算器或计算机,利用二分法求方程 2x ? 3x ? 7 的近似解.

变式:求方程 2x ? 3x ? 7 的根大致所在区间.

例 2 求方程 log3 x ? x ? 3 的解的个数及其大致所在区间.

变式训练 x 2 求函数 f ( x)? 3 ? x ? 2 x? 的一个正数零点(精确到 0 . 1 )
零点所在区间 中点函数值符号 区间长度

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四、反思总结 ① 二分法的概念;②二分法步骤;③二分法思想. 五、当堂达标 1. 求方程 0.9x ? 0.1x ? 0 的实数 解个数及其大致所在区间.

课后练习与提高
1. 若函数 f ( x) 在区间 ? a, b ? 上为减函数,则 f ( x) 在 ? a, b ? 上( ). A. 至少有一个零点 B. 只有一个零点 C. 没有零点 D. 至多有一个零点 2. 下列函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点近似值的是(

).

3. 函数 f ( x) ? 2x ln( x ? 2) ? 3 的零点所在区间为( A. (2,3) B. (3, 4) C. (4,5) D. (5,6)

).

4. 用二分法求方程 x3 ? 2x ? 5 ? 0 在区间[2,3]内的实根,由计算器可算得 f (2) ? ?1 , . f (3) ? 16 , f (2.5) ? 5.625 ,那么下一个有根区间为 5. 函数 f ( x) ? lg x ? 2 x ? 7 的零点个数为 ,大致所在区间为 . 6. 借助于计算机或计算器,用二分法求函数 f ( x) ? x3 ? 2 的零点(精确到 0.01 ).

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