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数学试题(理)


高三复习阶段性诊断考试试题 理科数学
本试卷,分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分.共 5 页,满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束后,将本试 卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题 卡和试卷规定的位置上. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号. 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求 作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 U ? ?a, b, c, d , e? , M ? ?a, d?, N ? ?a, c, e?,则M ??CU N? 为 A. ?a, c, d , e? B. ?a, b, d? C. ?b, d? D. ?d ?

2.已知 i 是虚数单位,则 A. ?1 ? i

3?i 等于 2?i B. ?1 ? i C. 1 ? i

D. 1 ? i

3.“ a ? b且c ? d 是“ac ? bd ”成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.某程序框图如右图所示,若输出的 S=57,则判断框内填 A. k ? 4 B. k ? ? C. k ? ? D. k ? ? 5.设 a, b 是两个非零向量,则下列命题为真命题的是 A.若 a ? b ? a ? b ,则a ? b B.若 a ? b,则 a ? b ? a ? b C.若 a ? b ? a ? b ,则存在实数 ? ,使得 a ? ? b D. 若存在实数 ? ,使得 a ? ? b ,则 a ? b ? a ? b 6.某几何体正视图与侧视图相同,其正视图与俯视图如图所示,且图中的四边形都是边长为 2 的正方形, 正视图中两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是 A.

20 3

B.6

C.4

D.

4 3
1

7.下列函数是偶函数,且在 ?0,1? 上单调递增的是 A. y ? cos ? x ? C. y ? ? x2
24

? ?

??
? 2?

B. y ? 1 ? 2cos2 2x D. y ? sin ?? ? x ?

1 ? ? 8.二项式 ? x ? ? 展开式中,x 的幂指数是整数的项共有 3 x? ?
A.3 项 B.4 项 C.5 项 D.6 项 9.3 名男生 3 名女生站成两排照相,要求每排 3 人且 3 名男生不在同一排,则不同的站法有 A.324 种 B.360 种 C.648 种 D.684 种 10.如图,已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1, F2 , F1F2 ? 4 ,P 是双曲线右支上 a 2 b2

的一点, F2 P与y 轴交于点 A, ?APF1 的内切圆在 PF1 上的切点为 Q,若 PQ ? 1 ,则双曲线的离心率是 A.3 B.2 C. 3 D. 2

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知 ? ? ?

3 ?? ? ,? ?, sin ? ? , 则 tan ? ? ________. 5 ?2 ?

12.已知等比数列 ?an ? 若a3a4a8 ? 8,则a1a2 ??? a9 ? ________. 13.若 loga 4b ? ?1, 则a ? b 的最小值为_________.

? x2 ? y 2 ? 1 ? 14.已知 x,y 满足 ? x ? y ? 1, 则z ? x ? y 的取值范围是________. ?y ? 0 ?
15.在实数集 R 中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”.类似的,我们在平面向量集

D a a ? ? x, y ? , x ? R, y ? R 上也可以定义一个称“序”的关系,记为“
, a1 向量 a1 ? x1 , y1 , a2 ? ? x2 , y2 ?“
系“ ” ,给出如下四个命题:
2

?

?

”.定义如下:对于任意两个

?

?

a2” 当且仅当“ x1 ? x2 ”或“ x1 ? x2且y1 ? y2 ”.按上述定义的关

①若 e1 ? ?1, 0 ? , e2 ? ? 0,1? , 0 ? ? 0, 0 ? , 则e1 ②若 a1 ③若 a1

e2

0;

a2 , a2

a3 ,则 a1

a3 ; a2 ? a ;
a2 , 则a ? a1 ? a ? a2 .

a2 ,则对于任意 a ? D, a1 ? a
0, 0 ? ? 0, 0 ?,若a1

④对于任意向量 a

其中真命题的序号为__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 16.(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 m ? ? b, 2c ? a ? , n ? ?1, 2cos A? , 且m / / n . (I)求 B; (II)设函数 f ? x ? ?

1 1 ?? ? ?? sin 2 x cos B ? cos 2 x sin B ? cos ? ? B ? ,求函数 f ? x ? 在 ? 0, ? 上的取值范围. ? 2 2 ?2 ? ? 4?

17.(本题满分 12 分) 某学校组织了一次安全知识竞赛,现随机抽取 20 名学生的测试成绩,如下表所示(不低于 90 分的测试成 绩称为“优秀成绩” ) : (I)若从这 20 人中随机选取 3 人,求至多有 1 人是“优秀成绩”的概率; (II)以这 20 人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校全体学生中(人数很多)任选 3 人, 记 ? 表示抽到“优秀成绩”学生的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

18.(本题满分 12 分) 如 图 , 在 四 棱 锥

P-ABCD

中 , PA ? 平 面

ABCD ,

AD//BC, PB ? AC, AD ? CD, 且AD ? CD ? 2 2, PA ? 2 ,点 M 在线 段 PD 上. (I)求证: AB ? 平面 PAC; (II)若二面角 M-AC-D 的大小为 45 ,试确定点 M 的位置.

3

19.(本题满分 12 分) 某市为控制大气 PM2.5 的浓度,环境部门规定:该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过 55 万吨, 否则将采取紧急限排措施.已知该市 2013 年的大气主要污染物排放总量为 40 万吨,通过技术改造和倡导 绿色低碳生活等措施,此后每年的原大气主要污染物排放最比上一年的排放总量减少 10%.同时,因为经 济发展和人口增加等因素,每年又新增加大气主要污染物排放量 m ? m ? 0? 万吨. (I)从 2014 年起,该市每年大气主要污染物排放总量(万吨)依次构成数列 ?an ? ,求相邻两年主要污染 物排放总量的关系式; (II)证明:数列 ?an ? 10m? 是等比数列; (III)若该市始终不需要采取紧急限排措施,求 m 的取值范围.

20.(本题满分 13 分) 已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆 C 的一个焦点在抛物线 y 2 ? 4 3x 的准线上,且椭圆 C 过点

? 3? 1, ? ? 2 ? ?. ? ?
(I)求椭圆 C 的方程; (II) 点 A 为椭圆 C 的右顶点, 过点 B ?1,0 ? 作直线 l 与椭圆 C 相交于 E, F 两点, 直线 AE,AF 与直线 x ? 3 分别交于不同的两点 M,N,求 EM ? FN 的取值范围. 21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ?1 ? x ? e ?1.
x

(I)求函数 f ? x ? 的最大值; (II)若 x ? 0时,g ? x ? ? e ? ? ln ?1 ? x ? ?1 ? 0 ,求 ? 的取值范围.
x
* (III)证明: e n ?1 ? e n ? 2 ? e n ?3 ? ??+ e 2 n ? n ? ln 2 (n ? N )

1

1

1

1

4

高三复习阶段性诊断考试
数学试题参考答案 2014.4
一、选择题: BDDAC ADCCB

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. ?

3 4

12. 512 .

13. 1

14. ? ? 2,1?

?

?

15. (文科) 7 15. (理科) ①②③ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)解法一: 因为 m // n ,所以 2b cos A ? 2c ? a 由余弦定理得 2b ? 所以 cos B ? ?????????????2 分

b2 ? c 2 ? a 2 2 2 2 ? 2c ? a ,整理得 ac=a +c ? b 2bc
???????????4 分

a 2 +c 2 ? b 2 1 = 2ac 2

又因为 0 ? B ? ? ,所以 B ? 解法二:

?
3

.

???????????????6 分

因为 m // n ,所以 2b cos A ? 2c ? a 由正弦定理得 2sin B cos A ? 2sin C ? sin A 所以 2sin B cos A ? 2sin ? A ? B ? ? sin A 整理得 2sin A cos B ? sin A ? 0

????????????2 分

因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 又因为 0 ? B ? ? ,所以 B ? (Ⅱ) f ( x) ?

?
3

1 2

????????4 分

.

????????????????6 分

1 1 ? sin 2 x cos B ? cos 2 x sin B ? cos( ? B) 2 2 2

1 3 1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x ? ? ? 4 2 2 4

1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 sin(2 x ? ? ) 2 3 4 4
,则 ? ? 2 x + ? ? 5? , 4 3 3 6 ? 所以 1 ? sin (2 x + ) ? 1, 2 3 因为 0 ? x ? 即 f ( x ) 在 [0,

??????8 分

?

?????????10 分

?

1 1 ] 上取值范围是 [ , ] . 4 4 2
5

????????12 分

17. (文科 本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设该校总人数为 n 人, 50 10 由题意,得 ? ,所以 n ? 2000 n 100 ? 300 故 z ? 2000 ? (100 ? 300 ? 150 ? 450 ? 600) ? 400 .

??????3 分 ????5 分

(Ⅱ)设所抽样本中有 m 个女生. 因为用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为 5 的样本, 所以 400 m ,解得 m ? 2 . ?????????7 分 ? 1000 5

2 也就是抽取了 2 名女生, 3 名男生,分别记作 A 1 , A2 , B 1 , B2 , B3 ,则从中任取 个的所有基本事件为
(A 1, A 2 ),( A 1 , B1 ),( A 1 , B2 ),( A 1 , B3 ),( A 2, B 1 ),( A 2 , B2 ),( A 2 , B3 ),( B 1 , B2 ),( B1 , B3 ), ( B2 , B3 ),共 10 个; ( A2 , B2 ),( A2 , B3 ) ???????9 分 其中至少有 1 名女生的基本事件有 7 个: ( A 1, A 2 ),( A 1 , B1 ) , ( A 1 , B2 ), ( A 1 , B3 ) , ( A 2, B 1 ), ??????????11 分

所以从中任取 2 人,至少有 1 名女生的概率为 P ? 17. (理科 本题满分 12 分)

7 . ???????12 分 10

解: (Ⅰ)由表知: “优秀成绩”为 4 人.

????????????1 分

设随机选取 3 人,至多有 1 人是“优秀成绩”为事件 A ,则

P( A) ?

3 2 1 C16 C16 C4 52 . ? ? 3 3 C20 C20 57

?????????????????5 分

(Ⅱ)由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率 P ?

1 . ???6 分 5

? 可取 0,1, 2,3
1 4 P(? ? 0) ? C30 ( )0 ( )3 5 5 1 4 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ( ) 5 5

?????????????????????7 分 4 48 64 1 1 ; P (? ? 1) ? C3 ; ( ) ( )2 ? ? 5 5 125 125 1 12 3 1 3 4 0 ; P(? ? 3) ? C3 . ( )( ) ? ? 5 5 125 125

? 的分布列:

?????????????11 分

E? ? 0 ?
或 ?

64 48 12 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 125 125 125 125 5

?????????12 分 ?????????12 分

1 1 3 B(3, ) , E? ? 3 ? ? . 5 5 5

18. (文科 本题满分 12 分) 证明:(Ⅰ)因为 PA ? 平面 ABCD , AC , AB ? 平面 ABCD
6

所以 PA ? AC , PA ? AB

?????????????2 分

又因为 PB ? AC , PA ? AC , PA, PB ? 平面 PAB , PA 所以 AC ? 平面 PAB 又因为 AC ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , 所以 AC ? AB

PB ? P ,

?????????????3 分

?????????????4 分

因为 AC ? AB , PA ? AB , PA, AC ? 平面 PAC , PA 所以 AB ? 平面 PAC (Ⅱ)方法一 取 PC 的中点 E ,连接 QE 、 ED . 所以 QE ∥ BC , QE ?

AC ? A ,

?????????6 分

因为 Q 是线段 PB 的中点, E 是 PC 的中点,

1 BC ???8 分 2

因为 AD ∥ BC , BC ? 2 AD 所以 QE ∥ AD , QE ? AD 所以 四边形 AQED 是平行四边形,????????????9 分 所以 AQ ∥ ED , ????????????10 分

因为 AQ ∥ ED , AQ ? 平面 PCD , ED ? 平面 PCD 所以 AQ ∥平面 PCD . 方法二 取 BC 的中点 E ,连接 AE 、 QE . 因为 BC ? 2 AD 所以 AD ? EC ????????????????12 分

又 AD ∥ EC ,所以 四边形 ADCE 是平行四边形, 所以 AE ∥ CD 因为 AE ? 平面 PCD , CD ? 平面 PCD , 所以 AE ∥平面 PCD ?????8 分 因为 Q , E 分别是线段 PB , BC 的中点, 所以 QE ∥ PC ,所以 QE ∥平面 PCD 因为 QE ???????????10 分 ????????11 分

AE ? E ,所以平面 AEQ ∥平面 PCD

因为 AQ ? 平面 AEQ ,所以 AQ ∥平面 PCD . ?????????12 分
7

18. (理科 本题满分 12 分) 解证:(Ⅰ)因为 PA ? 平面 ABCD , AC , AB ? 平面 ABCD 所以 PA ? AC , PA ? AB ?????????????2 分

又因为 PB ? AC , PA ? AC , PA, PB ? 平面 PAB , PA 所以 AC ? 平面 PAB

PB ? P ,

?????????????3 分

又因为 AC ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , 所以 AC ? AB ?????????????4 分

因为 AC ? AB , PA ? AB , PA, AC ? 平面 PAC , PA 所以 AB ? 平面 PAC

AC ? A ,

?????????6 分

(Ⅱ)因为 PA ⊥平面 ABCD ,又由(Ⅰ)知 BA ? AC , 建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz .则

A? 0,0,0? , C ? 0, 4,0? , D ? ?2,2,0? ,

P ? 0,0, 2? , PD ? ? ?2, 2, ?2? , AC ? ? 0, 4,0 ?
设 M ? x, y, z ? , PM ? tPD ,则

? x, y, z ? 2? ? t ? ?2, 2, ?2? ,
??????8 分

故点 M 坐标为 ? ?2t,2t,2 ? 2t ? , AM ? ? ?2t , 2t , 2 ? 2t ?

? AC ? n1 ? 0, 设平面 MAC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,则 ? ??????9 分 ? AM ? n ? 0. ? ? 1

所以 ?

? ?4 y ? 0, ? ??2tx ? 2ty ? ? 2 ? 2t ? z ? 0.
1? t , 0, 1) . t
????????????10 分

令 z ? 1 ,则 n1 ? (

又平面 ACD 的法向量 n2 ? (0,0,1) 所以 cos 45 ?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

2 , 2

解得 t =

1 错误!未找到引用源。 2
????????????12 分

故点 M 为线段 PD 的中点. 19.(本题满分 12 分)

8

解: (Ⅰ)由已知, a1 ? 40 ? 0.9 ? m , an?1 ? 0.9an ? m ( n ? 1 ).???4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得: an?1 ?10m ? 0.9an ? 9m ? 0.9 ? an ?10m? ,所以数列 ?an ? 10m? 是以

a1 ?10m ? 36 ? 9m 为首项、 0.9 为公比的等比数列.???6 分
(Ⅲ)由(Ⅱ)得: an ?10m ? ?36 ? 9m? ? 0.9n?1 , 即 an ? ? 36 ? 9m? ? 0.9n?1 ? 10m . 由 ?36 ? 9m? ? 0.9
*

????????8 分

n?1

55 ? 36 ? 0.9 n?1 5.5 ? 4 ?0.9 n 1.5 ? ? ? 4 恒成立 ?10m ? 55 ,得 m ? n ?1 n 10 ? 9 ? 0.9 1 ? 0.9 1 ?0.9 n

( n ? N ) ?11 分 解得: m ? 5.5 ; 又 m ? 0 ,综上,可得 m ? ? 0,5.5? . 20. (文科 本题满分 13 分) 解: (Ⅰ)连接 AF1 ,因为 AB ? AF2 , BF 1 ? F 1 F2 , 1 ? F 1 F2 ,所以 AF 即 a ? 2c ,则 F2 ( a,0) , B ( ? ??????????12 分

3 a ,0 ) . ?????? 3 分 2 1 1 Rt ?ABC 的外接圆圆心为 F1 (? a,0) ,半径 r ? F2 B ? a ???4 分 2 2

1 2

?
由已知圆心到直线的距离为 a ,所以 解得 a ? 2 ,所以 c ? 1 , b ? 3 ,

1 a?3 2 ? a, 2

x2 y2 ? ? 1. 所求椭圆方程为 4 3

??????6 分

(Ⅱ)因为 F2 (1,0) ,设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1) , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) .

? y ? k ( x ? 1) ? 联立方程组: ? x 2 ,消去 y y2 ? ?1 ? 3 ?4
得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 .
2 2 2 2

?????? 7 分

? 6k 8k 2 则 x1 ? x 2 ? , y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ? 2) ? , 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k
9

4k 2 ? 3k MN 的中点为 ( , ). 2 3 ? 4k 3 ? 4 k 2
当 k ? 0 时, MN 为长轴,中点为原点,则 m ? 0 . 当 k ? 0 时, MN 垂直平分线方程 y ?

??????8 分 ??????9 分

3k 1 4k 2 ? ? ( x ? ). k 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

令 y ? 0 ,所以 m ?

k2 1 ? 2 3 3 ? 4k ?4 k2
????12 分 ??????13 分

3 3 1 ? 0 ,所以 2 ? 4 ? 4 ,可得 0 ? m ? , 2 k 4 k 1 综上可得,实数 m 的取值范围是 [0, ). 4
因为 20. (理科 本题满分 13 分)

解: (Ⅰ)抛物线 y 2 ? 4 3x 的准线方程为: x ? ? 3 ?????1 分

设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,则 c ? 3 a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? 3 ? 2 2 依题意得 ? 1 ,解得 a ? 4 , b ? 1 . 3 ? 2 ? 2 ?1 4b ?a
所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 . ????????????3 分 4

(Ⅱ)显然点 A(2,0) . (1)当直线 l 的斜率不存在时,不妨设点 E 在 x 轴上方, 易得 E (1,

3 3 3 3 ), F (1, ? ) , M (3, ? ), N (3, ) , 2 2 2 2
????????????5 分

所以 EM ? FN ? 1.

( 2 )当直线 l 的斜率存在时,由题意可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , E( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ) , 显然

k ? 0 时,不符合题意.
由?

? y ? k ( x ? 1), 2 2 2 2 得 (4k ? 1) x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 . ???????6 分 2 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0

8k 2 4k 2 ? 4 , x1 x2 ? 2 则 x1 ? x2 ? .?????7 分 4k 2 ? 1 4k ? 1
10

直线 AE , AF 的方程分别为: y ?

y1 y ( x ? 2), y ? 2 ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2

令 x ? 3 ,则 M (3,

y1 y ), N (3, 2 ) . x1 ? 2 x2 ? 2 y1 (3 ? x1 ) y (3 ? x2 ) ) , FN ? (3 ? x2 , 2 ) . ???9 分 x1 ? 2 x2 ? 2 y1 (3 ? x1 ) y2 (3 ? x2 ) ? x1 ? 2 x2 ? 2

所以 EM ? (3 ? x1 ,

所以 EM ? FN ? (3 ? x1 )(3 ? x2 ) ?

? (3 ? x1 )(3 ? x2 )(1 ?

y1 y2 ( x ? 1)( x2 ? 1) ) ? (3 ? x1 )(3 ? x2 )(1 ? k 2 ? 1 ) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ] x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

? [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9] ? [1 ? k 2 ?

4k 2 ? 4 8k 2 ? ?1 2 2 4k ? 4 8k ?( 2 ? 3? 2 ? 9) ? (1 ? k 2 ? 42k ? 1 4k ?21 ) 4k ? 4 8k 4k ? 1 4k ? 1 ? 2? 2 ?4 4k 2 ? 1 4k ? 1
2 2

16k 2 ? 5 ?3k 2 16k 2 ? 5 1 ?( 2 ) ? (1 ? ) ? ? 1? . ???????11 分 2 2 4k ? 1 4k 16k ? 4 16k 2 ? 4
因为 k ? 0 ,所以 16k ? 4 ? 4 ,所以 1 ?
2 2

5 16k 2 ? 5 5 ? ,即 EM ? FN ? (1, ) . 2 4 16k ? 4 4
?????????13 分

综上所述, EM ? FN 的取值范围是 [1, ) . 21. (文科 本题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? ? xe ,
x

5 4

??????????????1 分

当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ; 所以函数 f ( x ) 在区间 ( ??, 0) 上单调递增,在区间 (0, ??) 上单调递减; ?????????3 分 故 f ( x)max ? f (0) ? 0 .
x 2

??????????????????4 分
x

(Ⅱ)由 g ( x) ? (1 ? x)e ? ? x ?1,得 g ?( x) ? ? x(e ? 2? ) .????6 分
2 当 ? ? 0 时,由(Ⅰ)得 g ( x) ? f ( x) ? ? x ? f ( x) ? 0 成立; ????8 分

11

当0 ? ? ?

1 时,因为 x ? (0, ??) 时 g ?( x) ? 0 ,所以 x ? 0 时, 2
????????????????????10 分

g ( x) ? g (0) ? 0 成立;
当? ?

1 时,因为 x ? (0,ln 2? ) 时 g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) ? g (0) ? 0 .?13 分 2 1 综上,知 ? 的取值范围是 (??, ] . ??????????????14 分 2
21. (理科 本题满分 14 分) 解证: (Ⅰ) f ?( x) ? ? xex , ??????????????1 分

当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ; 所以函数 f ( x ) 在区间 ( ??, 0) 上单调递增,在区间 (0, ??) 上单调递减; ???????3 分 故 f ( x)max ? f (0) ? 0 . ????????????????????4 分

(1 ? x)e x ? ? ? (Ⅱ)解法一: g ?( x) ? e ? , 1? x 1? x
x

?

???????5 分

当 ? ? 0 时,因为 x ? (0,1) 时 g ?( x) ? 0 ,所以 x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ; ?????????????????????????????6 分 当 0 ? ? ? 1 时,令 h( x) ? (1 ? x)e x ? ? , h?( x) ? ? xe x . 当 x ? (0,1) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减,且 h(0)h(1) ? (1 ? ? )(?? ) ? 0 , 故 h( x) 在 (0,1) 内存在唯一的零点 x0 ,使得对于 x ? (0, x0 ) 有 h( x) ? 0 , 也即 g ?( x) ? 0 .所以,当 x ? (0, x0 ) 时 g ( x) ? g (0) ? 0 ; ?????8 分

) g ?( x) ? 当 ? ? 1 时 , x ? ( 0 , 1时 g ( x) ? g (0) ? 0 .

(1 ? x)e x ? ? (1 ? x)e x ? 1 f ( x) ? ? ?0 ,所以,当 x?0 时 1? x 1? x 1? x

?????????????9 分 ?????????????10 分

综上,知 ? 的取值范围是 [1, ? ?) .
x 解法二: g ?( x) ? e ?

(1 ? x)e x ? ? ? , 1? x 1? x
x

?

????????5 分

令 h( x) ? (1 ? x)e ? ? , h?( x) ? ? xe .
x

12

当 x ? [0,1) 时, h?( x) ? 0 ,所以 h( x) 单调递减.

???????6 分

若在 [0,1) 内存在使 h( x) ? (1 ? x)e x ? ? ? 0 的区间 (0, x0 ) , 则 g ( x) 在 (0, x0 ) 上是增函数, g ( x) ? g (0) ? 0 ,与已知不符. ???8 分 故 x ? [0,1) , h( x) ? 0 ,此时 g ( x) 在 [0,1) 上是减函数, g ( x) ? g (0) ? 0 成立. 由 h( x) ? (1 ? x)e x ? ? ? 0 , x ? [0,1) 恒成立,而 h?( x) ? 0 , 则需 h( x) 的最大值 h(0) ? 0 ,即 ?1 ? 0? e0 ? ? ? 0 , ? ? 1 , 所以 ? 的取值范围是 [1, ? ?) . ????????10 分

(Ⅲ)在(Ⅱ)中令 ? ? 1 ,得 x ? 0 时, e x ? 1 ? ln(1 ? x) . ?????11 分 将 x?
1

1 1 1 , , , n ?1 n ? 2 n ? 3
1 1

,
1

1 代入上述不等式,再将得到的 n 个不等式相加,得 2n
?????????14 分

e n ?1 ? e n ? 2 ? e n ?3 ?

? e 2 n ? n ? ln 2 .

13


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