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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程


课时作业 一、选择题 1.若 k,-1,b 三个数成等差数列,则直线 y=kx+b 必经过定点 ( ) A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2) A [因为 k,-1,b 三个数成等差数列,所以 k+b=-2,即 b=-2-k,于是直线方程化 为 y=kx-k-2, 即 y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2).] 2.直线 2x+11y+1

6=0 关于点 P(0,1)对称的直线方程是 ( ) A.2x+11y+38=0 B.2x+11y-38=0 C.2x-11y-38=0 D.2x-11y+16=0 B [因为中心对称的两直线互相平行,并且对称中心到两直线的距离相等,故可设所求直线 |0+11+16| |0+11+C| 的方程为 2x+11y+C=0,由点到直线的距离公式可得 = ,解得 C 22+112 22+112 =16(舍去)或 C=-38.] 3.直线 l1 的斜率为 2,l1∥l2,直线 l2 过点(-1,1)且与 y 轴交于点 P,则 P 点坐标为 ( ) A.(3,0) B.(-3,0) C.(0,-3) D.(0,3) D [∵l1∥l2,且 l1 斜率为 2,∴l2 的斜率为 2. 又 l2 过(-1,1),∴l2 的方程为 y-1=2(x+1), 整理即得 y=2x+3.令 x=0,得 P(0,3).] 4.直线 ax+by+c=0 同时要经过第一、第二、第四象限,则 a,b,c 应满足 ( ) A.ab>0,bc<0 B.ab>0,bc>0 C.ab<0,bc>0 D.ab<0,bc<0 A [由于直线 ax+by+c=0 经过第一、二、四象限, a c 所以直线存在斜率,将方程变形为 y=-bx-b, a c 易知-b<0 且-b>0,故 ab>0,bc<0.] 5.将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90°,再向右平移 1 个单位,所得到的直线为 ( ) 1 1 A.y=-3x+3 C.y=3x-3 A 1 B.y=-3x+1 1 D.y=3x+1

1 [将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90°得到直线 y=-3x,再向右平移 1 个单位,所得直

1 1 1 线的方程为 y=-3(x-1),即 y=-3x+3.] 6.已知点 A(1,-2),B(m,2),且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x+2y-2=0,则实数 m

的值是 ( ) A.-2 B.-7 C.3 D.1 C [线段 AB 的中点

?1+m,0?代入直线 x+2y-2=0 中,得 m=3.] ? 2 ?

二、填空题 7.(2014· 贵阳模拟)直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜 率的取值范围是________. 解析 设直线 l 的斜率为 k,则方程为 y-2=k(x-1), 2 在 x 轴上的截距为 1-k, 2 1 令-3<1-k<3,解得 k<-1 或 k>2.

?1 ? 答案 (-∞,-1)∪ 2,+∞ ? ?
8.(2014· 常州模拟)过点 P(-2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程为________. 3 3 解析 直线 l 过原点时,l 的斜率为-2,直线方程为 y=-2x;l 不过原点时, x y 设方程为a+a=1, 将点(-2,3)代入,得 a=1,直线方程为 x+y=1. 综上,l 的方程为 x+y-1=0 或 2y+3x=0. 答案 x+y-1=0 或 3x+2y=0 9.不论 m 取何值,直线(m-1)x-y+2m+1=0 恒过定点________. 解析 把直线方程(m-1)x-y+2m+1=0 整理得(x+2)m-(x+y-1)=0,
? ? ?x+2=0, ?x=-2, 则? 得? ?x+y-1=0, ? ?y=3. ?

答案 (-2,3) 三、解答题 10.(2012· 莆田月考)已知两点 A(-1,2),B(m,3). (1)求直线 AB 的方程; (2)已知实数 m∈?-

? ?

3 ? ?,求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. 3 -1, 3-1?

解析 (1)当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1; 1 当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 y-2= (x+1). m+1 π (2)①当 m=-1 时,α= 2 ; ②当 m≠-1 时,m+1∈?-

? ?

3 ? ?∪(0, 3 ], 3 ,0?

1 ? 3 ? ∴k= ∈(-∞,- 3 ]∪? ,+∞?, m+1 ?3 ?

? π π ? ? π 2π ? ∴α ∈ 6 , 2 ∪ 2 , 3 . ? ? ? ? ? π 2π ? 综合①②知,直线 AB 的倾斜角 α∈ 6 , 3 . ? ?

2 11.(2014· 河北沧州一模)如图,函数 f(x)=x+ x 的定义域为(0,+∞).设 点 P 是函数图象上任一点,过点 P 分别作直线 y=x 和 y 轴的垂线,垂足 分别为 M,N. (1)证明:|PM|· |PN|为定值; (2)O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值. 解析 (1)证明:设 P?x0,x0+

则|PN|=x0,|PM|=

? ? ? 2? ? x0 ? ? ?
2

2? ?(x0>0), x0 ?

1 =x0,

因此|PM|· |PN|=1.即|PM|· |PN|为定值. 2 (2)直线 PM 的方程为 y-x0- x0 =-(x-x0), 2 即 y=-x+2x0+ x0 , y=x, ? ? 解方程组? 2 y=-x+2x0+ x0 , ? ? 解得 x=y=x0+ 1 .连接 OP, 2x0

S 四边形 OMPN=S△NPO+S△OPM 1 1 =2|PN||ON|+2|PM||OM| 1 ? 1 ? 2? 1 1 ? =2x0?x0+ ?+2·x0· 2?x0+ ? x0 ? 2x0? ? ?

1 当且仅当 x0=x0,即 x0=1 时等号成立, 因此四边形 OMPN 的最小值为 1+ 2. 12.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点;

(2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A, 交 y 轴正半轴于点 B, O 为坐标原点, 设△AOB 的面积为 S, 求 S 的最小值及此时直线 l 的方程. 解析 (1)证明:解法一:直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1, 故无论 k 取何值,直线 l 总过定点(-2,1). 解法二:设直线过定点(x0,y0),则 kx0-y0+1+2k=0 对任意 k∈R 恒成立,即(x0+2)k- y0+1=0 恒成立, ∴x0+2=0,-y0+1=0, 解得 x0=-2,y0=1,故直线 l 总过定点(-2,1). (2)直线 l 的方程为 y=kx+2k+1,则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1,
?k≥0, ? 要使直线 l 不经过第四象限,则? ? ?1+2k≥0,

解得 k 的取值范围是[0,+∞). 1+2k (3)依题意,直线 l 在 x 轴上的截距为- k ,在 y 轴上的截距为 1+2k,

? 1+2k ? ∴A - k ,0 ,B(0,1+2k). ? ?
1+2k 又- k <0 且 1+2k>0,∴k>0. 1 1 1+2k 故 S=2|OA||OB|=2× k (1+2k) 1 ? 1 1? =2 4k+k +4 ≥2(4+4)=4, ? ? 1 1 当且仅当 4k=k ,即 k=2时,取等号. 故 S 的最小值为 4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0.


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