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高考数列万能解题方法


等和性:等差数列

?an ?

等积性:等比数列

?an ?



m ? n ? p ? q 则 am ? an ? a p ? aq
? 2 p 则 am ? an ? 2a p



m ? n ? p ? q 则 a

m ? an ? a p ? aq
m ? n ? 2 p 则 am ? an ? (a p ) 2

主 要 性 质

推论:若 m ? n

推论:若

an? k ? an?k ? 2an
a1 ? an ? a2 ? an ?1 ? a3 ? an ?2 ? ???
即:首尾颠倒相加,则和相等 1、 等差数列中连续 m 项的和, 组成的新数列是等差数 列。即:

an ? k ? an ?k ? (an ) 2
a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ???
即:首尾颠倒相乘,则积相等

sm , s2 m ? sm , s3m ? s2 m , ??? 等 差 , 公 差 为

m 2 d 则有 s3m
差数列。 如: a1 , a4 , a7 , a10 , ??? (下标成等差数列) 3、

? 3(s2 m ? sm )
1、 等比数列中连续项的和, 组成的新数列是等比数列。 即: sm , s2 m ,

2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等

? sm , s3m ? s2 m , ??? 等比,公比为 q m 。

?an ? , ?bn ?

等差,则

?a2n ?



?a2n?1?

2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个 等比数列。 如: a1 , a4 , a7 , a10 , ??? (下标成等差数列) 3、

?kan ? b? , ? pan ? qbn ? 也等差。

4、等差数列

?an ? 的通项公式是 n 的一次函数,即:

?an ? , ?bn ? 等比,则 ?a2n ? , ?a2n?1? , ?kan ?
?0
a1 q

an ? dn ? c ( d ? 0 )
等差数列

也等比。其中 k

4、等比数列的通项公式类似于 n 的指数函数, 即: an

?an ? 的前 n 项和公式是一个没有常数项的

? cq n ,其中 c ?

n 的二次函数,
即: S n

? An 2 ? Bn ( d ? 0 )

等比数列的前 n 项和公式是一个平移加振幅的 n 的指数函数,即: sn



5、项数为奇数 2n ? 1 的等差数列有:

? cq n ? c(q ? 1)

s奇

n ? s ? s ? an ? a中 s偶 n ? 1 奇 偶

5、 等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比 数列。

s2 n?1 ? (2n ? 1)an
项数为偶数 2n 的等差数列有:

s奇



s偶

?

an an ?1

, s偶

? s奇 ? nd

s2 n ? n(an ? an ?1 )
6、 an

? m, am ? n 则 am ? n ? 0

sn ? sm 则 sm? n ? 0(n ? m)

sn ? m, sm ? n 则 sm? n ? ?(m ? n)
证 明 方 法 2、中项法: an ?1 ? an ?1 证明一个数列为等差数列的方法: 1、定义法: an ?1 ? an 证明一个数列为等比数列的方法:

? d (常数) ? 2an (n ? 2)

1、定义法:

an ?1 ? q(常数) an
? an)(n ? 2, an ? 0) ( 2

2、中项法: an ?1 ? an ?1

设 元 技 巧

三数等差: a ? d , a, a ? d 四数等差: a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d

三数等比:

a , a, aq或a, aq, aq 2 q
2

四数等比: a, aq, aq

, aq 3

1、若数列 联 系 2、若数列

?an ? 是等差数列,则数列 ?C a ? 是等比数列,公比为 C d ,其中 C 是常数, d 是 ?an ? 的公差。
n

?an ? 是等比数列,且 an ? 0 ,则数列 ?log a an ? 是等差数列,公差为 log a q ,其中 a 是常数且

a ? 0, a ? 1 , q 是 ?an ? 的公比。
( n ? 1) ? s1 数列的项 an 与前 n 项和 S n 的关系: an ? ? ? sn ? sn ?1 (n ? 2)
数列求和的常用方法: 1、拆项分组法:即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和。 2、错项相减法:适用于差比数列(如果 即把每一项都乘以 数列求和。 3、裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和。

?an ? 等差, ?bn ? 等比,那么 ?anbn ? 叫做差比数列)

?bn ? 的公比 q ,向后错一项,再对应同次项相减,转化为等比

? ? ? 1 ? ? 1 ? 适用于数列 ? ?和? ? (其中 ?an ? 等差) ? an ? an ?1 ? ? an ? an?1 ? ? ?
可 裂 项 为 :
1 1 1 1 ? ( ? ) , an ? an ?1 d an an ?1

1 1 ? ( an ?1 ? an ) an ? an ?1 d
等差数列前 n 项和的最值问题: 1、若等差数列

?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,则前 n 项和 S n 有最大值。
? an ? 0 ; ? ? an ?1 ? 0

(ⅰ)若已知通项 an ,则 S n 最大 ?

(ⅱ)若已知 S n

? pn 2 ? qn ,则当 n 取最靠近 ?

q 的非零自然数时 S n 最大; 2p

2、若等差数列

?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,则前 n 项和 S n 有最小值
? an ? 0 ; ? ? an ?1 ? 0

(ⅰ)若已知通项 an ,则 S n 最小 ?

(ⅱ)若已知 S n 数列通项的求法:

? pn 2 ? qn ,则当 n 取最靠近 ?

q 的非零自然数时 S n 最小; 2p

⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 ⑵已知 S n (即 a1 ? a2

? ? ? an ? f (n) )求 an ,用作差法: an ?

?S ,(?nS? 1),(n ? 2) S
1 n n ?1



? f (1), (n ? 1) ? ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) 。 , (n ? 2) ? f (n ? 1) ? ⑶已知条件中既有 S n 还有 an ,有时先求 S n ,再求 an ;有时也可直接求 an 。
a ?? 已知 a1 ? 2 ? an
⑷若 an ?1 ? an

? f (n) 求 an 用累加法: an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 )

? a1 (n ? 2) 。 an ?1 a a a ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。 ⑸已知 an an ?1 an ? 2 a1
⑹已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。 特别地, (1)形如 an

? kan?1 ? b 、 an ? kan ?1 ? b n ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待
? kan ?1 ? k n 的递推数列都可以除以

定系数法转化为公比为 k 的等比数列后,再求 an ;形如 an

k n 得到一个等差数列后,再求 an 。
(2)形如 an

?

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b

(3)形如 an ?1

? an k 的递推数列都可以用对数法求通项。

(7) (理科)数学归纳法。 (8)当遇到 a n ?1

? a n ?1 ? d或

a n ?1 ? q 时,分奇数项偶数项讨论,结果可能是分段形式。 a n ?1

数列求和的常用方法: (1)公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式。 (2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用 公式法求和。 (3)倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考 虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式的推导方法). (4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选 用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). (5)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂 项相消法求和.常用裂项形式有:

1 1 ?1? 1 ; ② ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ③ 2 ? 2 ? ? 2? ? ? ? ( ? ), ? (k ? 1)k k ? 1 k k k ? 1 2 k ? 1 k ? 1 k k ? 1 (k ? 1)k k n 1 1 1 1 1 1 ④ ; ? ? ? [ ? ] ;⑤ n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)! n! (n ? 1)! 2 2 ⑥ 2( n ? 1 ? n ) ? ? 1 ? ? 2( n ? n ? 1) n ? n ?1 n n ? n ?1
① 二、解题方法: 求数列通项公式的常用方法: 1、公式法 2、 由S n 求a n



(n ? 1时,a 1 ? S1 ,n ? 2 时,a n ? S n ? S n ?1 )
3、求差(商)法

1 1 1 如:?a n ?满足 a 1 ? 2 a 2 ? ?? ? n a n ? 2 n ? 5 2 2 2 1 解: n ? 1时, a 1 ? 2 ? 1 ? 5,∴a 1 ? 14 2 1 1 1 n ? 2 时, a 1 ? 2 a 2 ? ?? ? n ?1 a n ?1 ? 2 n ? 1 ? 5 2 2 2 1 ? 1 ? ? ? 2 ? 得: n a n ? 2 2
∴a n ? 2 n ?1

?1?

?2?

?14 ( n ? 1) ∴a n ? ? n ?1 ( n ? 2) ?2
[练习]

5 数列?a n ?满足S n ? S n ?1 ? a n ?1 ,a 1 ? 4 ,求a n 3
(注意到a n ?1 ? S n ?1 ? S n 代入得: S n ?1 ?4 Sn

又S1 ? 4 ,∴?S n ?是等比数列,S n ? 4 n

n ? 2 时,a n ? S n ? S n?1 ? ?? ? 3·4 n ?1
4、叠乘法

例如:数列?a n ?中,a1 ? 3,

a n ?1 n ? ,求a n an n ?1

解:

a2 a a a 1 2 n ?1 1 · 3 ?? n ? · ?? ,∴ n ? a1 a2 a n ?1 2 3 n a1 n

又a 1 ? 3,∴a n ?
5、等差型递推公式

3 n

由a n ? a n ?1 ? f ( n) ,a 1 ? a 0 ,求a n ,用迭加法

n ? 2 时,a 2 ? a 1 ? f (2) ? ? a 3 ? a 2 ? f (3) ? ?两边相加,得: ?? ?? ? a n ? a n ?1 ? f ( n) ? ?
a n ? a 1 ? f (2) ? f (3) ? ?? ? f ( n) ∴a n ? a 0 ? f (2) ? f (3) ? ?? ? f ( n)
[练习]

数列?a n ?,a 1 ? 1,a n ? 3n ?1 ? a n ?1 ?n ? 2?,求a n

(a n ?

1 n 3 ?1 ) 2

?

?

6、等比型递推公式

a n ? ca n ?1 ? d c、d为常数,c ? 0,c ? 1,d ? 0

?

?

可转化为等比数列,设a n ? x ? c?a n ?1 ? x?

? a n ? ca n ?1 ? ?c ? 1?x
令(c ? 1) x ? d,∴x ? d c ?1

d ? d ? ∴ ?a n ? ,c为公比的等比数列 ?是首项为a 1 ? c ? 1? c ?1 ? ∴a n ? d d ? ? n ?1 ? ? a1 ? ? ·c c ?1 ? c ? 1?

d ? n ?1 d ? ∴a n ? ? a 1 ? ?c ? ? ? c ?1 c ?1
[练习]

数列?a n ?满足a 1 ? 9 ,3a n ?1 ? a n ? 4 ,求a n

? 4? (a n ? 8? ? ? ? 3?
7、倒数法

n ?1

? 1)

例如:a 1 ? 1,a n ?1 ?

2a n ,求a n an ? 2

由已知得:
1 a n ?1

1 a n ?1

?

an ? 2 1 1 ? ? 2a n 2 an



?

1 1 ? an 2

?1? 1 1 ? ? ?为等差数列, ? 1,公差为 a1 2 ?a n ?
? 1 1 1 ? 1 ? ? n ? 1?· ? ? n ? 1? an 2 2

∴a n ?

2 n ?1

数列前 n 项和的常用方法: 1、公式法:等差、等比前 n 项和公式 2、裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。

如:?a n ?是公差为d的等差数列,求 ?

1 k ?1 a k a k ?1

n

解: 由

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ?d ? 0? a k ·a k ?1 a k ?a k ? d ? d ? a k a k ?1 ?

∴?

n 1 1? 1 1 ? ?? ? ? ? a k ?1 ? k ? 1 a k a k ?1 k ?1 d ? a k n

? ?
[练习]

? 1 1 ?? 1 1? ? 1 1? 1 ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? d ?? a 1 a 2 ? ? a 2 a 3 ? ? a n a n ?1 ? ? 1? 1 1 ? ? ? ? d ? a 1 a n ?1 ?

求和:1 ?

1 1 1 ? ? ?? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n
1 ) n ?1

(a n ? ?? ? ??,S n ? 2 ?
3、错位相减法:

若 ?a n ?为等差数列,?b n ?为等比数列,求数列 ?a n b n ?(差比数列)前n项 和,可由S n ? qS n 求S n ,其中q为?b n ?的公比。

如:S n ? 1 ? 2x ? 3x 2 ? 4x 3 ? ?? ? nx n?1

?1?
?2?

x·S n ? x ? 2 x 2 ? 3x 3 ? 4 x 4 ? ?? ? ?n ? 1?x n ?1 ? nx n ? 1 ? ? ? 2 ? :?1 ? x?S n ? 1 ? x ? x 2 ? ?? ? x n ?1 ? nx n

x ? 1时,S n

?1 ? x ? ? nx ?
n

n

?1 ? x?2

1? x
n?n ? 1? 2

x ? 1时,S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n ?

4、倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。

S n ? a 1 ? a 2 ? ?? ? a n ?1 ? a n ? ? ?相加 ? S n ? a n ? a n ?1 ? ?? ? a 2 ? a 1 ?
2S n ? ?a 1 ? a n ? ? ?a 2 ? a n ?1 ? ? ?? ? ?a 1 ? a n ???
[练习]

x2 ? 1? ? 1? ? 1? 已知f ( x) ? ,则f (1) ? f (2) ? f ? ? ? f (3) ? f ? ? ? f (4) ? f ? ? ? 2 ? 2? ? 3? ? 4? 1? x
? 1? ? ? ? x?
2

x ? 1? (由f ( x) ? f ? ? ? ? ? x? 1 ? x2
2

? 1? 1? ? ? ? x?

2

?

x2 1 ? ?1 2 1? x 1 ? x2

? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ∴原式 ? f (1) ? ? f (2) ? f ? ? ? ? ? f (3) ? f ? ? ? ? ? f (4) ? f ? ? ? ? 2? ? ? ? 3? ? ? ? 4? ? ?
? 1 1 ?1?1?1 ? 3 ) 2 2
广东省 2009 届高三数学一模试题分类汇编(数列、函数、三角函数) 广东省 2009 届高三数学一模试题分类汇编——数列 一、选择题 1、 (2009 番禺一模)已知等比数列 A. a1 =1 B 2、 (2009 江门一模)已知数列 A. D 3、 (2009 茂名一模)已知等差数列 {an } 的公差为 ?2 ,且 a2 , a4 , a5 成等比数列,则 a 2 等于( A、-4 D 4、 (2009 汕头一模)记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=2,S6=18,则 C 一 31 B、-6 C、-8 D、8 )

?a n ?的各项均为正数,前 n 项之积为 Tn ,若 T5 =1,则必有(
C. a 4 =1 D. a 5 =1



B. a 3 =1

?a n ?的前 n 项和 S n
C.

? p ? 2 n ? 2 , ?a n ?是等比数列的充要条件是
D.

p ?1

B

p?2

p ? ?1

p ? ?2

S10 S5

等于()

A. - 3 D

B·5

D. 33

5、 (2009 深圳一模)在等差数列 {a n } 中,a3 A. 18 B 二、填空题 B. 99

? a9 ? 27 ? a6 ,S n 表示数列 {an } 的前 n 项和,则 S11 ?
C. 198 D. 297

1、 (2009 广州一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N* 都有 Sn -1,4 2、 (2009 江门一模) S n 是等差数列 则 an

=

2 1 a n ? ,且 1<Sk<9,则 a1 的值为______,k 的的值为________. 3 3

?a n ?的前 n 项和,若 S1 ? 1 , S 2 ? 4 ,

?



2n ? 1
3、 (2009 韶关一模)在由正数组成的等比数列 则 a5

?an ? 中, a1 ? a2 ? 1, a3 ? a4 ? 4,

? a6 ? ___.

16 三、解答题 1、 (2009 广州一模)已知数列{an}的相邻两项 an,an+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根,且 a1=1. (1)求证:数列{ an-

1 n × }是等比数列; 2 3

(2)设 Sn 是数列{an}的前 n 项的和,问是否存在常数 λ,使得 bn-λSn>0 对任意 n∈N*都成立,若存在,求 出 λ 的取值范围;若不存在,请说明理由. (本题主要考查数列的通项公式、数列前 n 项和、不等式等基础知识,考查化归与转化、分类与整合、特殊 与一般的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力) (1)证法 1:∵an,an+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根,

?a n + a n +1 = 2 n ∴? ? b n = a n ? a n +1
由 an+an+1=2n,得 a n+1 是首项为 a1 ?

??2 分

1 1 1 ? ? 2n+1 ? ?(an ? ? 2n ) ,故数列{a n ? ?2 n} 3 3 3
??4 分

2 1 ? ,公比为-1 的等比数列. 3 3

证法 2:∵an,an+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根, ∴?

?a n + a n +1 = 2 n ? b n = a n ? a n +1

??2 分

1 1 1 a n+1 ? ? 2n+1 2n ? a n ? ? 2n+1 ?(a n ? ? 2n ) 3 3 3 ∵ ? ? ? ?1 , 1 n 1 n 1 n an ? ? 2 an ? ? 2 an ? ? 2 3 3 3
故数列 {a n

1 2 1 ? ? 2n } 是首项为 a1 ? ? ,公比为-1 的等比数列. 3 3 3
??4 分

(2)解:由(1)得 a n

1 1 1 ? ? 2n ? ? (?1) n ,即 a n ? [2n ? (?1) n ] , 3 3 3

∴ bn

1 = a n ? a n+1 ? [2n ? (?1) n ] ? [2n+1 ? (?1) n+1 ] 9 1 ? [22n+1 ? (?2)n ? 1] 9
??6 分

∴Sn=a1+ a2+ a3+…+ an=

1 [(2+22+23+…+2n)-[(-1)+ (-1)2+…+(-1)n] 3

1 (?1) n ? 1 ? [22n+1 ? 2 ? ], 3 2
要使得 bn-λSn>0 对任意 n∈N*都成立,

??8 分



1 2n+1 ? (?1) n ? 1 [2 ? (?2) n ? 1] ? [22n+1 ? 2 ? ] ? 0 (*) 对任意 n∈N*都成立. 9 3 2
1 2n+1 n ? [2 ? 2 ? 1] ? [22n+1 ? 1] ? 0 , 9 3

①当 n 为正奇数时,由(*)式得



1 n+1 λ (2 ? 1)(2n ? 1) ? (2n+1 ? 1) ? 0 , 9 3 1 < (2n ? 1) 对任意正奇数 n 都成立. 3
1 n (2 ? 1) 有最小值 1,∴λ<1. 3
??10 分

∵2n+1-1>0,∴ λ

当且仅当 n=1 时,

①当 n 为正奇数时,由(*)式得

1 2n+1 n ? [2 ? 2 ? 1] ? [22n+1 ? 1] ? 0 , 9 3



1 n+1 λ (2 ? 1)(2n ? 1) ? (2n+1 ? 1) ? 0 , 9 3
1 < (2n ? 1) 对任意正奇数 n 都成立. 3

∵2n+1-1>0,∴ λ

当且仅当 n=1 时,

1 n (2 ? 1) 有最小值 1,∴λ<1. 3

??10 分

②当 n 为正偶数时,由(*)式得

1 2n+1 n ? [2 ? 2 ? 1] ? [22n+1 ? 2] ? 0 , 9 3



1 n+1 2λ (2 ? 1)(2n ? 1) ? (2n ? 1) ? 0 , 9 3

∵2n-1>0,∴ λ

<

1 n+1 (2 ? 1) 对任意正偶数 n 都成立. 6
??12 分

当且仅当 n=2 时,

1 n+1 (2 ? 1) 有最小值 1.5,∴λ<1.5. 6

综上所述,存在常数 λ,使得 bn-λSn>0 对任意 n∈N*都成立,λ 的取值范围是(-∞, 1). ??14 分

2、 (2009 广东三校一模) a 2 , a 5 是方程

x 2 ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且

Tn ? 1?

1 bn ?n ? N ? ? 2

(1)求数列

?a n ?, ?bn ? 的通项公式;
bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n .
? a5 ? 12, a 2 a5 ? 27 .且 d ? 0 得 a 2 ? 3, a5 ? 9
2分

(2)记 c n = a n 解:(1)由 a 2

?d ?
在 Tn

a5 ? a 2 ? 2 , a1 ? 1 ? a n ? 2n ? 1?n ? N ? ? 3

4分

1 2 1 1 ? 1 ? bn 中,令 n ? 1, 得 b1 ? . 当 n ? 2 时,T n = 1 ? bn , Tn?1 ? 1 ? bn ?1 , 3 2 2 2 ?

两式相减得 bn

b 1 1 1 bn ?1 ? bn ,? n ? ?n ? 2 ? bn ?1 3 2 2
? 2 n? N? n 3

6分

2?1? ? bn ? ? ? 3 ?3?
(2) c n

n ?1

?

?.

8分

? ?2n ? 1? ?

2 4n ? 2 , ? 3n 3n

9分

5 2n ? 1 ? S 3 2n ? 3 2n ? 1 ? ?1 3 ? 1 ? S n ? 2? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? , n ? 2? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?1 ? , 3 3 ? 3 3 3n 3 ?3 3 ?3 ?

10 分

? ? 1? 1 ? ? 1 2 ? 9 ?1 ? 3 n ?1 ? 2n ? 1? ?1 2 1 1 ? 2n ? 1 ? ? 1 ? ?? ? ? S n ? 2? ? 2? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n ?1 ? =2 ? ? 1 3 3 3 ? 3 3 n ?1 ? ?3 ? 3 ? ?3 1? ? ? 3 ? ?
= 2?

? 1 1 1 2n ? 1 ? 4 4n ? 4 ? ? n ? n ?1 ? ? ? n ?1 , 3 3 ?3 3 3 ? 3

13 分

? Sn ? 2 ?

2n ? 2 3n

14 分

3、2009 东莞一模) ( 设等差数列 {an },{bn } 前 n 项和 S n ,Tn 满足

Sn An ? 1 a3 a 2 , 且 ? 7 ? , ? b4 ? b6 b2 ? b8 5 Tn 2n ? 7

S2=6;函数 g ( x) ? (1)求 A;

1 ? x ? 1? ,且 cn ? g (cn?1 )(n ? N , n ? 1), c1 ? 1. 2

(2)求数列 {a n }及{c n } 的通项公式; (3)若 d n

?a n (n为奇数) ?? , 试求d1 ? d 2 ? ? ? d n . ?c n (n为偶数)

a3 a7 a 2 2 ? ? 知: 5 ? 解: (1)由 b ? b b2 ? b8 5 b5 5 4 6
9A ?1 2 ? 2?9 ? 7 5 (2)令 S n ? kn(n ? 1) ?

a 1 ? a9 ?9 S9 a 2 而 ? 2 ? 5 ? T9 b1 ? b9 b5 5 ?9 2

解得 A=1??????????????2 分

? S 2 ? 6, 得k ? 1,即S n ? n 2 ? n
2

当 n=1 时,a1=S1=2,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n +n ?

?(n ? 1) 2 ? (n ? 1)? ? 2n

综合之:an=2n????????????????6 分

1 1 (cn?1 ? 1)变形得 : cn ? 1 ? (cn?1 ? 1) 2 2 1 ∴数列{c +1}是 为公比,以 c1 ? 1 ? 2 为首项的等比数列。 2 1 n?1 1 cn ? 1 ? 2 ? ( ) 即cn ? ( ) n?2 ? 1 ?????????9 分 2 2 时 (3)当 n ? 2k ? 1 , d1 ? d 2 ? ? ? d n ? (a1 ? a3 ? ? a 2 k ?1 ) ? (c2 ?c 4 ? ? ? c2 k ) 4 1 4 1 ? 2(k ? 1)2 ? [1 ? ( )k ] ? k ? 2k 2 ? 3k ? 2 ? [1 ? ( ) k ] 3 4 3 4 2 n ?n?2 4 1 ? ? [1 ? ( ) n ?1 ] ?????????11 分 2 3 2 当 n ? 2k时, d1 ? d 2 ? ? ? d n ? (a1 ? a3 ? ? a 2 k ?1 ) ? (c 2 ?c 4 ? ? ? c 2 k )
由题意 c n

?

n

4 1 n2 ? n 4 1 ? 2k 2 ? k ? [1 ? ( ) k ] ? ? [1 ? ( ) n ] ???13 分 3 4 2 3 2 2 ?n ? n ? 2 4 1 ? [1 ? ( ) n ?1 ]( n为正奇数) ? ? 2 3 2 综合之: d 1 ? d 2 ? ? d n ? ? 2 ? n ? n ? 4 [1 ? ( 1 ) n ]( n为正偶数) ? 2 3 2 ?
???14 分 4、 (2009 番禺一模) 设数列

?an ? 对一切正整数 n 均有 an ? 2an2?1 ? 1 ,且 an ? 0

, 如果 a1

? cos 2?



? ? ? (0, ] .
8
(1)求 a 2 , a3 的值; (2)求数列

?an ? (n ? N? ) 的通项公式;

(3)设数列

?an ? 前 n 项之积为 Tn ,试比较 Tn 与

2 ?

的大小,并证明你的结论.

(1)依题意: cos 2? 而 ? ? (0,

2 2 2 ? 2a2 ? 1 ,则 2a2 ? cos ? ? 1 ? , a2 ? cos 2 ?

?
8

] ,又 an ? 0 ,所以 a2 ? cos ? , ? cos

??1 分 ??????2 分 ???4 分 ??????5 分

同样可求得 a3 (2)猜测 an

?

, , (n ? N * )

? cos

?
2n ? 2

2

①用数学归纳法证明:显然 n ②假设 n ? k

? 1 时猜想正确,

(k ? N*) 时猜想成立,即 ak ? cos
2 ? 2ak ?1 ? 1 ,∴ cos

?
2k ? 2

, ,即 2 cos
2

则 n ? k ? 1 时,∵ ak 故 ak ?1

?
2
k ?2

2 ?2 ak ?1 ? 1

?
2k ?1

2 ? 2ak ?1 ,而 an ? 0

? cos

?
2
k ?1

? cos

?
2
( k ?1) ? 2

,

??????6 分

这就是说 n ? k ? 1 猜想也成立,故对任意正整数 n 都有 an (3) Tn 证明:

? cos

?
2n ? 2

. ??????7 分

?

2

? ? ? (0, ] ,
8 ? cos

?

?????9 分

则 cos 2? 则 Tn

?
4

, cos ? ? cos
3

?
2
3

, ???, cos

?
2
n?2

? cos

?
2n?1

?0,

???10 分

? cos

?
4

cos

?

2

cos

?
2
4

? ? ??? cos

?
2n ?1

∴ Tn

?

2n cos

?
2
2

cos

?
2
n 3

cos

?
2
4

? ? ??? cos

?
2
n ?1

2 sin
设 g ( x) ? sin x ? x , x ? (0, 即 g ( x ) 为 (0, 而

?

?
n

sin 2 sin

?
2

?

?
n

1 2 sin

?
2n ?1

???11 分

2n ?1

2n ?1

?
2

) ,则 g ?( x) ? cos x ?1 ? 0 ,

?
2

) 上的减函数,∴ g ( x) ? g (0) ,故 x ? (0,

?
2

) 时, sin x ? x ,

??12 分

?
2
n ?1

? (0, ) ,∴ 0 ? sin n ?1 ? n ?1 4 2 2
n

?

?

?

, ???13 分

∴0 ? 2 ∴0 ? 2 则
n

sin sin

?

2

n ?1

? 2n ? ?

?

n

?
n ?1

?
2

2n?1

, ,

2

1 2 sin

?
2n ?1

?

2

?

,即 Tn

?

2

?



14 分

5、 (2009 江门一模)已知等差数列 ⑴求 a n 、 bn ;

?a n ? 和正项等比数列 ?bn ? , a1 ? b1 ? ?1, a3 ? b3 ? 2 .

⑵对 ?n ? N ,试比较 a n 、 bn 的大小; ⑶设

?

?bn ? 的前 n 项和为 S n , 是否存在常数 p 、c , a n 使
? a1 ? (3 ? 1)d ,得 d ?

? p ?o lg

2

求 ( S n ?c) 恒成立?若存在, p 、

c 的值;若不存在,说明理由.
解:⑴由 a3

1 -------1 分 2

由 b3

? b1 q 2 且 q ? 0 得 q ? 2 -------2 分


n ?1 n ?1 所以 a n ? a1 ? (n ? 1)d ? , bn ? b1 q ?2 2
⑵显然 n

n ?1 2 -------4

? 1, 3 时, a n ? bn ; n ? 2 时, a2 ?
2 2

3 , b2 ? 2 , a 2 ? b2 -------5 分 2

n ? 3 时, 2(bn ? a n ) ? 2 n ?
0 1 2 3 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?

(n ? 1) 2 n 2 ? 2n ? 1 ? (1 ? 1) n ? 2 2

n 2 ? 2n ? 1 n ? 1 n(n ? 2) -------6 分 ? ?[ ? 1] ? 0 -------7 分 2 2 3

因为 a n 、 bn

? 0 ,所以 n ? 3 时, a n ? bn -------8 分
n

⑶ Sn

?

b1 (1 ? q n ) ? ( 2 ? 1)( 2 2 ? 1) -------9 分, 1? q
恒成立,则有

a n ? p ? log 2 ( S n ?c)

?1 ? p ? log 2 (1 ? c ) ? ?2 ? p ? log 2 (1 ? 2 ? 2 ? c )

-------11 分 , 解 得

c ? 2 ? 1 , p ? log 2 (2 ? 2 ) -------12 分
?n ? N ? , p ? log 2 (S n ?c) ? log 2 (2 ? 2 ) ? log 2 [( 2 ? 1)(2 2 ? 1) ? ( 2 ? 1)]
n n

n

? log 2 [( 2 ? 2 )( 2 ? 1) ? 2 2 ] ? log 2 ( 2 ? 2 2 ) ?
所以,当

n ?1 ? a n -------13 分 2

p ? log 2 (2 ? 2 ) , c ? 2 ? 1 时, a n ? p ? log 2 ( S n ?c) 恒成立-------14 分


6、 (2009 汕头一模)在等比数列{an}中,an>0 (n ? N ) ,公比 q ? (0,1),且 a1a5 + 2a3a5 +a 2a8=25, a3 与 as 的等比中项为 2。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2 an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn 当
2

S S1 S2 ? ? ???? n 1 2 n
2

最大时,求 n 的值。

解: (1)因为 a1a5 + 2a3a5 +a 2a8=25,所以, a3 + 2a3a5 + a5 =25

又 an>o,?a3+a5=5,??????????2 分 又 a3 与 a5 的等比中项为 2,所以,a3a5=4 而 q ? (0,1) ,所以,a3>a5,所以,a3=4,a5=1, q

?

1 ,a1=16,所以, 2

?1? an ? 16 ? ? ? ?2?

n ?1

? 25? n ??????????6 分

(2)bn=log2 an=5-n,所以,bn+1-bn=-1, 所以,{bn}是以 4 为首项,-1 为公差的等差数列。。。。。9 分 。。。。

n(9 ? n) S n 9 ? n , ? 2 n 2 Sn S S 所以,当 n≤8 时, >0,当 n=9 时, n =0,n>9 时, n <0, n n n Sn S1 S2 当 n=8 或 9 时, ??????????12 分 ? ? ? ? ? ? 最大。 1 2 n
所以, S n

?

7、 (2009 韶关一模)已知函数 F

? x? ?

3x ? 2 ? 1? , ? x ? ?. 2x ?1 ? 2?

(I)求 F ?

? 1 ? ? 2 ? ? 2008 ? ??F? ? ? ... ? F ? ?; ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ?

(II)已知数列

?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? F ? an ? ,求数列 ?an ? 的通项公式;
? 2n ? 1 .
3 x ? 2 3 ?1 ? x ? ? 2 ? ?3 2 x ? 1 2 ?1 ? x ? ? 1

(Ⅲ) 求证: a1a2 a3 ...an 解:( ? )因为 F

? x ? ? F ?1 ? x ? ?

所以设 S= F ?

? 1 ? ? 2 ? ? 2008 ? ?? F? ? ? ... ? F ? ? ; .......... (1) ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2008 ? ? 2007 ? ? 1 ? ?? F? ? ? ... ? F ? ? ???.(2) ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ?

S= F ? (1)+(2)得:

? ? 1 ? ? ? 2008 ? ? 2008 ? ? ? ? 2 ? ? 2007 ? ? ? 1 ?? 2S ? ? F ? ?? F? ?? ? ?F ? ?? F? ? ? ? ... ? ? F ? ?? F? ?? ? 2009 ? ? ? ? 2009 ? ? 2009 ? ? ? 2009 ? ? ? ? 2009 ? ? ? 2009 ?
= 3 ? 2008 ? 6024 , ( ?? )由 an ?1 所以 S=3012

? F ? an ? 两边同减去 1,得
3an ? 2 a ?1 ?1 ? n 2an ? 1 2an ? 1

an ?1 ? 1 ?

所以

1 an ?1 ? 1
1

?

2an ? 1 2 ? an ? 1? ? 1 1 ? ? 2? , an ? 1 an ? 1 an ? 1

所以

? 1 ? 1 1 ? 2,? ? 1 为首项的等差数列, ? 是以 2 为公差以 an ?1 ? 1 an ? 1 a1 ? 1 ? an ? 1 ?
?
1 1 2n ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1 ? an ? 1 ? ? an ? 1 2n ? 1 2 n ? 1

所以

? ??? ? 因为 ? 2n ?2 ? ? 2n ?2 ? 1 ? ? 2n ? 1?? 2n ? 1?
所以

2n 2n ? 1 2 3 4 5 2n 2n ? 1 ? ? ? , ? ,... ? 2n ? 1 2n 1 2 3 4 2n ? 1 2n

所以 a1a2 a3 ...an

?

? a1a2 a3 ...an ?

2

?

2 2 4 4 2n 2n ? ? ? ...... ? 1 1 3 3 2n ? 1 2n ? 1

>

2 3 4 5 2n 2n ? 1 ? ? ? ...... ? ? 2n ? 1 1 2 3 4 2n ? 1 2n
1 1 f ( x) ? x 2 ? x ? , f ?( x) 为函数 f ( x) 的导函数. 2 4
? 1 , an ?1 ? f ?(an ) ? f ?(n) ( n ? N ? ) ,求数列 {an } 的通项 an ; ? b , bn?1 ? 2 f (bn ) ( n ? N ? ) .

8、 (2009 深圳一模理)已知函数 (Ⅰ)若数列 {an } 满足: a1 (Ⅱ)若数列 {bn } 满足: b1 (ⅰ)当 b 明理由; (ⅱ)当

?

1 时,数列 {bn } 是否为等差数列?若是,请求出数列 {bn } 的通项 bn ;若不是,请说 2

1 ? b ? 1 时, 2 f ?( x) ? 2 x ?

求证:

?b
i ?1

n

1
i

?

2 . 2b ? 1
??????????1 分

【解】 (Ⅰ)?

1 , 2

1 1 ? an ?1 ? (2an ? ) ? (2n ? ) ? 2an ? 2n ? 1 , 2 2
即 an ?1 ? 2(n ? 1) ? 1 ? 2(an

? 2n ? 1) .

?3 分

? a1 ? 1 ,

?数列 {an ? 2n ? 1} 是首项为 4 ,公比为 2 的等比数列.
??????????5

? an ? 2n ? 1 ? 4 ? 2n ?1 ,即 an ? 2n ?1 ? 2n ? 1 .


(Ⅱ) (ⅰ)? bn ?1

? 2 f (bn ) ? 2bn 2 ? bn ?

1 , 2

1 ? bn?1 ? bn ? 2(bn ? )2 . 2 1 1 ?当 b1 ? 时, b2 ? . 2 2 1 假设 bk ? ,则 bk ?1 ? bk . 2
由数学归纳法,得出数列 {bn } 为常数数列,是等差数列,其通项为 bn (ⅱ)? bn ?1

?

1 . 2

????8 分

1 1 2 , ? bn ?1 ? bn ? 2(bn ? ) . 2 2 1 1 ?当 ? b1 ? 1 时, b2 ? b1 ? . 2 2 1 1 假设 bk ? ,则 bk ?1 ? bk ? . 2 2 1 由数学归纳法,得出数列 bn ? (n ? 1, 2, 3, ? ) .?????10 分 2 1 1 又? bn ?1 ? ? 2bn (bn ? ) , 2 2 ? 2bn 2 ? bn ?
? 1 1 1 ? ? 1 1 bn ?1 ? 2 bn ? 2 bn 1 1 1 ? ? 1 bn bn ? 2 bn ?1 ? 1 2






??????????12 分

??
i ?1

n

n 1 1 1 1 1 ? ?( ? )? ? 1 1 1 bi i ?1 bi ? 2 bi ?1 ? 2 b1 ? 2 bn ?1 ? 1 2



? bn?1 ?

1 , 2
???????14 分

??
i ?1

n

1 1 2 ? ? . 1 bi b1 ? 2 2b ? 1

10、 (2009 深圳一模文)设数列 线 2x ?

?a n ?的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且对任意正整数 n ,点 ?an?1 , S n ? 在直

y ? 2 ? 0 上.

(Ⅰ) 求数列

?a n ?的通项公式;
? ? ?? ?n ? ? 为等差数列?若存在,求出 ? 的值;若不存在, 2n ?

(Ⅱ) 是否存在实数 ? , 使得数列 ?S n 则说明理由.

??

(Ⅲ)求证:

1 n 2?k 1 ?? ? . 6 k ?1 (ak ? 1)( ak ?1 ? 1) 2
① ② ???????? 1分

解:(Ⅰ)由题意可得:

2a n?1 ? S n ? 2 ? 0.

n ? 2 时, 2an ? S n?1 ? 2 ? 0.
①─②得 2an?1

? 2an ? an ? 0 ?

an?1 1 ? ?n ? 2?, an 2
???? 3 分
n ?1

? a1 ? 1, 2a2 ? a1 ? 2 ? a2 ?

1 2

? ?a n ?是首项为 1,公比为
1?

1 ?1? 的等比数列,? a n ? ? ? . 2 ?2?

?????? 4 分

1 2n ? 2 ? 1 . (Ⅱ)解法一:? S n ? 1 2 n ?1 1? 2
若 ?S n

?????? 5 分

? ?

?

? 为等差数列, 2n ?

??

则 S1

?? ?

?
2

, S 2 ? 2? ?

?
2
2

, S 3 ? 3? ?

?
23

成等差数列,

??????

6分

9? ? 3? 25? 3? 7 25? ? ? 3 9? ? ? S3 ? ? 2? ? ? ? , 2 ? S2 ? ? ? S1 ? ? ? 1? 4 ? 2 8 2 4 8 ? ?2 4 ?
得? 又?

? 2. ? 2 时, S n ? 2n ?

?????? 8 分

2 ? 2n ? 2 ,显然 ?2n ? 2?成等差数列, 2n
?????? 9 分

故存在实数 ?

?? ? ? 2 ,使得数列 ?S n ? ?n ? n ? 成等差数列. 2 ? ?
1?

解法二:

1 2n ? 2 ? 1 . ? Sn ? 1 2 n ?1 1? 2

?? 5 分

? S n ? ?n ?
欲使 ?S n

?
2
n

? 2?

1 2
n ?1

? ?n ?

?
2
n

? 2 ? ?n ? ?? ? 2?

1 . 2n

?? 7 分

? ?

?? ?n ?

? 成等差数列,只须 ? ? 2 ? 0 即 ? ? 2 便可. 2n ?

??

?????8 分

故存在实数 ?

?? ? ? 2 ,使得数列 ?S n ? ?n ? n ? 成等差数列. 2 ? ?

??????

9分

(Ⅲ)?

1 ? (a k ? 1)( a k ?1 ? 1)

1 ( 1 2 k ?1 1 ? 1)( k ? 1) 2

?

1 1 1 ( ? ) k 1 1 2 ?1 ?1 2k 2 k ?1
???? 11 分

? 10 分

??

n 1 2 ?k 1 ) ? ?( ? 1 1 k ?1 ( a k ? 1)( a kt ?1 ? 1) k ?1 ?1 ?1 2k 2 k ?1 n

1 1 1 1 1 ? ) )? ( ? ) ?? ? ( 1 1 1 1 1 1?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 2 22 2 2t 2 k ?1 1 2k 1 1 ??? 12 分 ? k ? ?? ? 1 2 1?1 ?1 2 ?1 2k
?( 1 ?
又函数

y?

1 2x ? 在 x ? [1, ? ?) 上为增函数, x 1 2 ?1 ?1 2x
13 分

?

21 2k ? k ? 1, 21 ? 1 2 ? 1

2?k 1 2 1 2k 1 1 1 n ? . ? ? ? k ? ? 1? , ? ? 3 2 2 ?1 2 2 6 k ?1 (ak ? 1)( ak ?1 ? 1) 2
广东省 2009 届高三数学一模试题分类汇编——函数 一、选择题 1、 (2009 广东三校一模)2.函数

???

14 分

f ?x ? ? a ln x ? x 在 x ? 1处取到极值,则 a 的值为

A.
B

1 2

B. ? 1

C.0

D. ?

1 2
为周期的周期函数,则

2 、 2009 广 东 三 校 一 模 ) 定 义 在 (

R

上的函数

f ?x ? 是 奇 函 数 又 是 以 2

f ?1? ? f ?4? ? f ?7? 等于

A. ? 1
B

B.0

C.1

D.4

3、(2009 东莞一模)下列四个函数中,在(0,1)上为增函数的是 A. y A 4、 (2009 番禺一模)已知函数 A. ?1 C

? sin x

B

y ? ? log 2 x

1 x C. y ? ( ) 2

D. y

?x

?

1 2

?log 2 x, x ? 0, 1 f ( x) ? ? x 若 f (a ) ? ,则 a ? ( ) 2 x ? 0. ?2 , B. 2 C. ?1 或 2 D.1 或 ? 2

5、 (2009 江门一模)函数

y?

1 3x ? 2

? lg(2 x ? 1) 的定义域是
?2 ? , ? ?? ?3 ?

A.

?2 ? ?3 , ? ?? ? ?

B. ?

?1 ? , ? ?? ?2 ?

C. ?

D. ?

?1 2? , ? ?2 3?

C 6、 (2009 茂名一模) 已知函数 是减函数,那么

f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,且 f ( x ? 1) ?
( ) C. 先增后减的函数

1 ,若 f ( x) 在 [?1, 0] 上 f ( x)

f ( x) 在 [2,3] 上是
B. 减函数

A. 增函数 A

D. 先减后增的函数

7 、 2009 韶 关 一 模 ) 已 知 函 数 (

?1? f ? x ? ? ? ? ? log 2 x ?3?

x

,若实数

x0 是 方 程 f ? x ? ? 0 的 解 , 且

0 ? x1 ? x0 ,则 f ? x1 ? 的值为
A.恒为正值 B.等于 0 C.恒为负值 D.不大于 0

y
A

1
8、 (2009 深圳一模)若函数 数.则函数 g ( x)
x

f ( x) ? log a ( x ? b) 的图象如右图,其中 a, b 为常

y

? a ? b 的大致图象是 y

?1 o
y

1 ?1

x

y

1
?1 o
A. D 二、 、解答题

1 ?1

x

?1
B.

1

o ?1

1
x
C.

?1

1

o ?1

1
x
D.

1
?1 ?1
o

1

x

1、 (2009 广东三校一模)设函数 (1)求

f ?x ? ? ?1 ? x ? ? 2 ln ?1 ? x ? .
2

f ? x ? 的单调区间;
?1 ? ? e ? 1, e ? 1? 时,(其中 e ? 2.718 ?)不等式 f ?x ? ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围; ? ?

(2)若当 x ?

(3)试讨论关于 x 的方程:

f ?x ? ? x 2 ? x ? a 在区间 ?0,2?上的根的个数.
1 ? 2 x? x ? 2 ? ? x ? 1? x ?1 ?
1分

(1)函数的定义域为

?? 1,???, f ??x ? ? 2??x ? 1? ? ?
?

由 由

f ??x ? ? 0 得 x ? 0 ;

2分 3分 4分

f ??x ? ? 0 得 ? 1 ? x ? 0 ,

则增区间为

?0,??? ,减区间为 ?? 1,0? .

(2)令

f ??x ? ?

2 x? x ? 2 ? ?1 ? ? 0, 得 x ? 0 ,由(1)知 f ? x ? 在 ? ? 1,0? 上递减,在 ?0, e ? 1? 上递增, x ?1 ?e ?
8分

6分



1 ?1 ? 1 f ? ? 1? ? 2 ? 2, f ?e ? 1? ? e 2 ? 2 ,且 e 2 ? 2 ? 2 ? 2 , e ?e ? e
的最大值为 e
2

?1 ? ? x ? ? ? 1, e ? 1? 时, f ? x ? ?e ?
分 (3)方程

? 2 ,故 m ? e 2 ? 2 时,不等式 f ?x ? ? m 恒成立.

9

f ?x ? ? x 2 ? x ? a, 即 x ? 1 ? 2 ln ?1 ? x ? ? a .记 g ?x ? ? x ? 1 ? 2 ln ?1 ? x ? ,则

g ??x ? ? 1 ?
所以 g 而g

2 x ?1 .由 g ??x ? ? 0 得 x ? 1;由 g ??x ? ? 0 得 ? 1 ? x ? 1 . ? 1? x x ?1

?x ? 在 ?0,1?上递减;在 ?1,2?上递增.
10 分

?0? ? 1, g ?1? ? 2 ? 2 ln 2, g ?2? ? 3 ? 2 ln 3 ,? g ?0? ? g ?2? ? g ?1?

? 1 时,方程无解; 当 3 ? 2 ln 3 ? a ? 1 时,方程有一个解; 当 2 ? 2 ln 2 ? a ? 3 ? 2 ln 3 时,方程有两个解; 当 a ? 2 ? 2 ln 2 时,方程有一个解; 当 a ? 2 ? 2 ln 2 时,方程无解.
所以,当 a 综上所述, a ?

13 分

?1,??? ? ?? ?,2 ? 2 ln 2?时,方程无解;

a ? ?3 ? 2 ln 3,1? 或 a ? 2 ? 2 ln 2 时,方程有唯一解;
a ? (2 ? ln 2,3 ? 2 ln 3] 时,方程有两个不等的解.
14 分

f ( x) ? x 2 ? ax ? a (a ? 2, x ? R) , g ( x) ? e? x , ?( x) ? f ( x) ? g ( x) . (1)当 a ? 1 时,求 ? ( x) 的单调区间; (2)求 g ( x ) 在点 (0,1) 处的切线与直线 x ? 1 及曲线 g ( x ) 所围成的封闭图形的面积; (3)是否存在实数 a ,使 ? ( x) 的极大值为 3?若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由.
2、 (2009 东莞一模)已知

时 解: (1)当 a ? 1 , ?( x) ? ( x

? x ? 1)e? x , ? '( x) ? e? x (? x 2 ? x) .?(1 分) ?(3 分) 当? '( x) ? 0时,0 ? x ? 1; 当? '( x) ? 0时, x ? 1或x ? 0. ∴ ? ( x) 的单调递增区间为(0,1) ,单调递减区间为: (??,0) , (1, ??) .
2

??(4 分)

(2)切线的斜率为 k

? g '(0) ? ?e? x |x ?0 ? ?1 , ∴ 切线方程为 y ? ? x ? 1 .??(6 分)
所求封闭图形面积为
1 1 1 1 1 S ? ? [e? x ? ( ? x ? 1)]dx ? ? (e? x ?x ? 1)dx ? (?e? x ? x 2 ? x) |1 ? ? . 0 0 0 2 2 e

??(8 分) (3) ? '( x) ? (2 x ? a)e 列表如下: x

? e? x ( x 2 ? ax ? a) ? e? x [? x 2 ? (2 ? a) x] , ?(9 分) 令 ? '( x) ? 0, 得x ? 0或x ? 2 ? a . (10 分)
(-∞,0) - ↘ 0 0 极小 (0,2-a) + ↗
a ?2

?x

? '( x) ? ( x)

2-a 0 极大 .

(2-a,+ ∞) - ↘ ??(12 分)

由表可知, ?( x)极大 设 ? (a) ? (4 ? a)e

? ?(2 ? a) ? (4 ? a)e

a ?2

, ? '(a) ? (3 ? a)e

a ?2

?0,

∴ ? (a)在(??,2) 上是增函数,??(13 分) ∴

? (a) ? ? (2) ? 2 ? 3 ,即 (4 ? a)ea ?2 ? 3 ,
(14)

∴不存在实数 a,使 ? ( x) 极大值为 3. 3、 (2009 江门一模)已知函数 ⑴若

f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? x , a ? R 是常数, x ? R .

y ? 2 x ? 1 是曲线 y ? f (x) 的一条切线,求 a 的值;

⑵ ?m ? R ,试证明 ? x ? (m ,

m ? 1) ,使 f / ( x) ? f (m ? 1) ? f (m) .



f / ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 1 -------1 分,解 f / ( x) ? 1 得, x ? 0 或 x ? ?
当x

2a -------2 分 3

? 0 时, f (0) ? 0 , y ? 0 ? 1 ? 0 ,所以 x ? 0 不成立-------3 分

8a 3 4a 3 2a 2a 33 2 2a ? ? ?? ? 1 ,得 a ? 当x ?? 时,由 f ( x) ? y ,即 ? -----5 分 2 27 9 3 3 3
⑵作函数 F ( x)

? f / ( x) ? [ f (m ? 1) ? f (m)] -------6 分

函数 y ? F (x) 在 [m , m ? 1] 上的图象是 F ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? (3m 2 ? 3m ? 2am ? a ? 1) , 一条连续不断的曲线------7 分, F (m) ? F (m ? 1) ① 若

? ?(3m ? a ? 1)(3m ? a ? 2) ------8 分 F (m) F (m ? 1) ? 0


(3m ? a ? 1)(3m ? a ? 2) ? 0



? x ? (m , m ? 1)

, 使

F ( x) ? 0 ,即 f / ( x) ? f (m ? 1) ? f (m) -------10 分
②若 (3m ? a ? 1)(3m ? a ? 2)

? 0 , ? 2 ? 3m ? a ? ?1, F (m ? 1) ? 3m ? a ? 2 ? 0 ,

F (m) ? ?(3m ? a ? 1) ? 0 , F ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? (3m 2 ? 3m ? 2am ? a ? 1) 当 x ? ?

a 时有 3

最 小 值

Fm i (nx) ? ?(3m 2 ? 3m ? 2am ? a ? 1) ?

a2 3 ? 2a 2 1 ? ?3(m ? ) ? ?0 3 6 4

, 且 当

? 2 ? 3m ? a ? ?1时 m ? m ?

1 a 2 ? ? ? m ? ? m ? 1 -------11 分, 3 3 3 a a 所以存在 ? x ? (m , ? ) (或 ? x ? (? , m ? 1) )从而 ? x ? (m , m ? 1) ,使 F ( x) ? 0 , 3 3



f / ( x) ? f (m ? 1) ? f (m) -------12 分

4、 (2009 茂名一模)已知 (Ⅰ)讨论 a

f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], g ( x) ?

ln x ,其中 e 是自然常数, a ? R. x

? 1 时, f ( x) 的单调性、极值;
f ( x) ? g ( x) ? 1 ; 2

(Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下, (Ⅲ)是否存在实数 a ,使 (Ⅰ)? ∴当 0 ? 当1 ? 4分 (Ⅱ)? 分 令 h( x ) 当0 ?

f ( x) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ?

x ? 1 时, f / ( x) ? 0 ,此时

1 x ?1 ? x x f ( x) 单调递减

??1 分

x ? e 时, f / ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增

??3 分



f ( x) 的极小值为 f (1) ? 1

??

f ( x) 的极小值为 1,即 f ( x) 在 (0, e] 上的最小值为 1,



f ( x) ? 0 , f ( x) min ? 1 ??5

? g ( x) ?

1 ln x 1 1 ? ln x , ? ? , h?( x) ? 2 x 2 x

??6 分 ??7 分 ∴在 (1) 的条件下, f

x ? e 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (0, e] 上单调递增
? h(e) ? 1 1 1 1 ? ? ? ? 1 ?| f ( x) | min e 2 2 2

∴ h( x) max 9分

( x) ? g ( x) ?

1 ?? 2

(Ⅲ) 假设存在实数 a , 使 9分 ① 当a

/ 有最小值 3, f ( x ) ? a ? f ( x) ? ax ? ln x( x ? (0, e] )

1 ax ? 1 ? x x

?

? 0 时, f (x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ?
??10 分 ②当 0 ?

4 (舍去) ,所以, e

此时 递增

f (x) 无最小值.

1 1 1 ? e 时, f (x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调 a a a

1 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. a
③ 当 此时

??11 分

1 4 ,所以, ? e 时, f (x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 ,a ? (舍去) a e

f (x) 无最小值.综上,存在实数 a ? e 2 ,使得当 x ? (0, e] 时 f ( x) 有最小值 3.

21. 解: (1)

? an ?1 ? an ? 2an ?1 ,两边加 an 得: an?1 ? an ? 2(an ? an ?1 ) (n ? 2) ,
是 以 2 为 公 比 ,

? {an ?1 ? an }

a1 ? a2 ? 4

为 首 项 的 等 比 数 列 .

? an?1 ? an ? 4?2n?1 ? 2?2n ??①
由 an ?1

? an ? 2an?1 两边减 2an 得: an ?1 ? 2an ? ?(an ? 2an ?1 ) (n ? 2) ? {an ?1 ? 2an }

是以

?1
为公比, ①-②得:

( ( a2 ? 2a1 ? ?2 为首项的等比数列. ? an ?1 ? 2an ? ?2? ?1)n ?1 ? 2? ?1)n ??② 3an ? 2[2n ? (?1)n ]
所以,所求通项为 an

2 ? [2n ? (?1) n ] ????5 分 3

?
(2) 当 n 为偶数时,

1 1 3 1 1 3 2 n ?1 ? 2 n ? ? [ n ?1 ? n ] ? ? n ?1 n an ?1 an 2 2 ? 1 2 ? 1 2 2 ?2 ? 2 n ? 2 n ?1 ? 1

3 2n ?1 ? 2n 3 2n ?1 ? 2n 3 1 1 ? ? n ?1 n ? ? n ?1 n ? ( n ?1 ? n ) ( n ? 2) n ?1 2 2 ?2 ? 2 ? 1 2 2 ?2 2 2 2

1 1? n 1 1 1 3 1 1 1 3 1 ? ? ? ... ? ? (1 ? ? 2 ? ... ? n ) ? ? 2 ? 3 ? 3? n ? 3 a1 a2 an 2 2 2 2 2 1? 1 2 2
当 n 为奇数时,? an

1 2 ? 0 ,又 n ? 1为偶数 ? [2n ? (?1) n ] ? 0 ,? an ?1 ? 0, an ?1 3

?由(1)知,

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? ? ... ? ? ? 3 ?????10 分 a1 a2 an a1 a2 an an?1

(3)证明:?

f (n ? 1) ? f (n) ? f 2 (n) ? 0

? f (n ? 1) ? f (n),? f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ?1) ? ??? ? f (1) ? 2 ? 0


1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? f (n ? 1) f (n) ? f (n) f (n)[ f (n) ? 1] f (n) f (n) ? 1

?

1 1 1 ??12 分 ? ? f (n) ? 1 f (n) f (n ? 1)
n

??
k ?1

1 1 1 1 1 1 1 ?[ ? ]?[ ? ] ? ??? ? [ ? ] f (k ) ? 1 f (1) f (2) f (2) f (3) f (n) f (n ? 1) ???14 分 1 1 1 1 ? ? ? ? . f (1) f (n ? 1) f (1) 2
. f ( x) ? a ln(1 ? 2 x) ? x 2 ( a ? 0 , x ? (0, 1] )

5、 (2009 深圳一模)已知函数 (Ⅰ)求函数

f ( x) 的单调递增区间;
2

(Ⅱ)若不等式 1 ? n 【解】 (Ⅰ)

? ? n 2 ln(1 ? ) 对一切正整数 n 恒成立,求实数 ? 的取值范围.
??????? 2 分

2 n

f ?( x) ?

a ? 2x 1 ? ax

?

? 2ax 2 ? 2 x ? a , 1 ? ax

由 ? 2ax

2

? 2 x ? a ? 0 ,得 x ?

? 1 ? 2a 2 ? 1 . 2a

? a ? 0 ,?

? 1 ? 2a 2 ? 1 ? 1 ? 2a 2 ? 1 ? 0, ? 0. 2a 2a
a 2a 2 ? 1 ? 1 ? 1.

又?

? 1 ? 2a 2 ? 1 ? 2a

?函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0,
分 (Ⅱ) 【法一】不等式 令

2a 2 ? 1 ? 1 2a 2 ? 1 ? 1 ) ,递减区间为 ( , 1) . 2a 2a

???? 6

1 2 2 1 ? ? ? ln(1 ? ) ,即为 ? ? ln(1 ? ) ? 2 2 n n n n

.??(※)

1 ? x ,当 n ? N ? 时, x ? (0, 1] . n
? ln(1 ? 2 x) ? x 2 .
???????9 分

则不等式(※)即为 ? 令 g ( x)

? ln(1 ? 2 x) ? x 2 , x ? (0,1] ,

?在 f (x) 的表达式中,当 a ? 2 时, f (x) ? g (x) ,
又? a

? 2 时,

? 1 ? 2a 2 ? 1 1 ? , 2a 2

1 1 ? g (x) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , 1) 单调递减. 2 2 1 1 1 g (x) 在 x ? 时,取得最大,最大值为 g ( ) ? ln 2 ? . ????12 分 2 2 4 2 1 1 因此,对一切正整数 n ,当 n ? 2 时, ln(1 ? ) ? 2 取得最大值 ln 2 ? . 4 n n 1 ?????????? 14 分 ?实数 ? 的取值范围是 ? ? ln 2 ? . 4 1 2 2 1 【法二】不等式 2 ? ? ? ln(1 ? ) ,即为 ? ? ln(1 ? ) ? 2 .??????(※) n n n n 2 1 设 g ( x) ? ln(1 ? ) ? 2 ( x ? 1) , x x

2 2 2 ? 2x 2 ? 2x ? 4 , g ?( x) ? x 2 ? 3 ? 1? x x x 3 ( x ? 2) ?
令 g ?( x)

? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? 2 .

?????????? 10 分

?当 x ? (1, 2) 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? (2, ? ?) 时, g ?( x) ? 0 . ?当 x ? 2 时, g (x) 取得最大值 ln 2 ?
因此,实数 ? 的取值范围是 ? 6、 (2009 湛江一模)已知函数 (Ⅰ)当 a

1 . 4
14 分

1 . ?????? 4 1 f ( x) ? (a ? ) x 2 ? ln x .( a ? R ) 2 ? ln 2 ?

? 1 时,求 f (x) 在区间[1,e]上的最大值和最小值;
f (x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方,求 a 的取值范围.

(Ⅱ)若在区间(1,+∞)上,函数

解: (Ⅰ)当 a

? 1 时, f ( x) ?

1 x2 ?1 1 2 ? , f ?( x) ? x ? ;???2 分 x ? ln x x x 2

对于 x ?[1,e],有

f ?( x) ? 0 ,∴ f (x) 在区间[1,e]上为增函数?3 分



f max ( x) ? f (e) ? 1 ?

e2 2



f min ( x) ? f (1) ?

1 .????????5 分 2

(Ⅱ)令 g ( x)

1 ? f ( x) ? 2ax ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? ln x ,则 g (x) 的定义域为(0,+∞). 2
????????6 分

在区间(1,+∞)上,函数 上恒成立.

f (x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方等价于 g ( x) ? 0 在区间(1,+∞)

∵ g ?( x)

? (2a ? 1) x ? 2a ?

1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[( 2a ? 1) x ? 1] ? ? x x x

1 1 ,令 g ?( x) ? 0 ,得极值点 x1 ? 1 , x 2 ? ,??????8 分 2 2a ? 1 1 当 x 2 ? x1 ? 1 ,即 ? a ? 1 时,在( x 2 ,+∞)上有 g ?( x) ? 0 , 2
① 若a

?

此时 g (x ) 在区间( x 2 ,+∞)上是增函数,并且在该区间上有

g (x) ∈( g ( x2 ) ,+∞),不合题意;???????????????9 分
当 x2

? x1 ? 1 ,即 a ? 1时,同理可知, g (x) 在区间(1,+∞)上,有 g (x) ∈( g (1) ,+∞),也
? 1 ,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间(1,+∞)上恒有 g ?( x) ? 0 , 2

不合题意;???????????????10 分 ② 若a

从而 g (x ) 在区间(1,+∞)上是减函数;??????????????12 分 要使 g ( x)

? 0 在此区间上恒成立,只须满足 g (1) ? ?a ?

1 1 ?0?a?? , 2 2

由此求得 a 的范围是[ ? 综 合 ① ② 可 知 , 当

1 1 , ]. 2 2
∈ [

a

?

1 2



1 2

] 时 , 函 数

f (x)

的 图 象 恒 在 直 线

上??????????????????14 分 广东省 2009 届高三数学一模试题分类汇编——三角函数 一、选择题 1、 (2009 江门一模)已知

f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? R) ,函数 y ? f ( x ? ? ) 的图象关于直线

x ? 0 对称,则 ? 的值可以是 ? ? A. B 2 3
D

C.

? 4


D.

? 6

2、 (2009 茂名一模)角 ? 终边过点 (?1, 2) ,则 cos ? =(

A、 C

5 5

B、

2 5 5

C、 ?

5 5

D、 ?

2 5 5

3、(2009 韶关一模)电流强度 I (安)随时间 t (秒)变化的函数

I ? A sin( ?t ? ?) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ) 2
A. ?5 安 B. 5 安

?

的图象如右图所示,则当 t

?

1 100

秒时,电流强度是

C. 5 A

3安

D. 10 安

4、 (2009 深圳一模)已知点 P(sin A. D 5、 (2009 湛江一模)已知函数 ①若

? 4

3 3 ? , cos ? ) 落在角 ? 的终边上,且 ? ? [0, 2? ) ,则 ? 的值为 4 4 3? 5? 7? B. C. D. 4 4 4

f ( x) ? cos x sin x ( x ? R) ,给出下列四个命题:
② ④

f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ,则 x1 ? ? x2

f (x) 的最小正周期是 2?

③在区间 [ ?

? ?

, ] 上是增函数 4 4
B .①③

f (x) 的图象关于直线 x ?

3? 4

对称

其中真命题是

A .①②④
D 二、 、解答题

C .②③

D .③④

1、 (2009 广州一模)已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2, cosB= (1)若 b=4,求 sinA 的值; (2) 若△ABC 的面积 S△ABC=4,求 b,c 的值.

3 . 5

3 >0,且 0<B<π, 5 4 2 ∴sinB= 1 ? cos B ? . 5 a b 由正弦定理得 , ? sinA sinB 4 2? asinB 5 ? 2. sinA ? ? b 4 5 1 (2) ∵S ABC= acsinB=4, 2 1 4 ∴ ? 2 ? c ? ? 4 , ∴c=5. 2 5
解:(1) ∵cosB=


??2 分 ??4 分

??6 分

??8 分 ??10 分

由余弦定理得 b2=a2+c -2accosB, ∴b

2

? a 2 + c 2 ? 2accosB ? 2 2 + 52 ? 2 ? 2 ? 5 ?

3 ? 17 .??14 分 5
4 . 5

2、 (2009 东莞一模)在 △ ABC 中,已知 (1)求 sin B 的值; (2)求 sin ? 2 B ?

AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ?

? ?

?? ? 的值. 6?

解: (1)由 cos A ?

?

4 3 可得 sin A ? 5 5

(----------2 分)

所以由正弦定理可得

sin B =

2 5

(----------5 分)

(2)由已知可知 A 为钝角,故得 cos B

?

21 (-------7 分) 5

从而

sin 2 B ? 2 sin B cos B ?

4 21 17 , (----10 分) , cos 2 B ? 1 ? 2 sin 2 B ? 25 25 3 1 12 7 ? 17 (------12 分) sin B ? cos B ? 2 2 50

所以 sin(2 B ?

?
6

)?

3、 (2009 番禺一模)已知函数 如图所示, (1)求函数

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ?

?
2

?? ?

?
2

) 一个周期的图象

f ( x) 的表达式;

? 24 ,且 ? 为 ?ABC 的一个内角, f (? ) ? f (? ? ) ? 3 25 求 sin ? ? cos ? 的值.
(2)若 解 :( 1 ) 从 图 知 , 函 数 的 最 大 值 为

1

, 则

A ?1
函数

??1 分

f ( x) 的周期为 T ? 4 ? ( ? ) ? ? , 12 6 2? 而T ? ,则 ? ? 2 ,
又x 而?

?

?

?? 2 分 ??3 分

??

? ?
6

时,

?
2

?? ?

?
2

y ? 0 ,∴ sin(2 ? (? ) ? ? ) ? 0 , 6
,则 ? ?

?

?



??5 分

3

?? 6 分 f ( x) 的表达式为 f ( x) ? sin(2 x ? ) 3 ? 24 ? ? 24 (2)由 f ( A) ? f ( A ? ) ? 得: sin(2 A ? ) ? sin(2 A ? ) ? 3 25 3 3 25 24 化简得: sin 2 A ? , ?? 8 分 25 49 2 ∴ (sin A ? cos A) ? 1 ? sin 2 A ? ?? 9 分 25 由于 0 ? A ? ? ,则 0 ? 2 A ? 2? , 24 但 sin 2 A ? ? 0 ,则 0 ? 2A ? ? ,即 A 为锐角, 25 从而 sin A ? cos A ? 0 ??11 分 ∴函数

?

因此

sin A ? cos A ?

7 . 5

?? 12 分

5、 2009 茂名一模) ( 设函数 得到函数

f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ?1, 将函数 f ( x) 的图象向左平移 ? 个单位,

y ? g ( x) 的图象。

(1)求函数

f ( x) 的最小正周期;

(2)若 0 ? ?

?

?
2

, 且 g ( x) 是偶函数,求 ? 的值。

(1) ? f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1
解:

? sin 2 x ? cos 2 x..................................................................2分 ? 2 sin(2 x ? ).................................................................4分 4

?

? f ( x)的最小正周期T ?

2? ? ? .......................................................6分 2

(2) g ( x) ? f ( x ? ? ) ? 2 sin[2( x ? ? ) ? ] 4 ? 2 sin(2 x ? 2? ? )......................................................8分 4 g ( x)是偶函数,则g (0) ? ? 2 ? 2 sin(2? ? ) 4 ? 2? ?

?

?

?

?

?=

k? ? ? (k ? z ) 2 8

4

? k? ?

?

2

, k ? z..........................................................10分

?0 ? ? ?

?
2

,?? ?

?
8

.............................................................12分
3 4

6、 (2009 汕头一模)己知函数 f(x)=

sin x 一

1 4

cos x。

(1)若 cosx=-

5 ?? ? ,x ? ? 2 , ? ? ,求函数 f (x)的值; 13 ? ?

(2)将函数 f(x)的图像向右平移 m 个单位,使平移后的图像关于原点对称, 若 0<m< ? ,试求 m 的值。 解: (1)因为 cos=-

5 12 ?? ? ,x ? ? 2 , ? ? ,所以,sinx= 13 13 ? ?

所以,

(2)



所以,把 f(x)的图象向右平移 故 m=

5? 6

5? 6

个单位,得到,y=-

1 2

sinx 的图象,其图象关于原点对称。

7、 (2009 深圳一模)已知函数 (Ⅰ)求

f ( x) ? 3 (sin 2 x ? cos2 x) ? 2 sin x cos x .

f ( x) 的最小正周期;

(Ⅱ)设 x ? [? 网【解】 (Ⅰ)∵

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域和单调递增区间.学科 3 3

f ( x) ? ? 3 (cos2 x ? sin 2 x) ? 2 sin x cos x ? ? 3 cos 2 x ? sin 2 x

.

??????

3分 ??????? 5 分

? f (x) 的最小正周期为 ? .
(Ⅱ)∵ x ? [?

? ?
3 3 ,

] , ??

?
3

? 2x ?

?
3

??



??
10 分

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 . 2 3

? f (x) 的值域为 [?2, 3 ] .

??????

?当 y ? sin(2 x ?
?

?
3

) 递减时, f ( x) 递增.

?
2

? 2x ?

?
3

??

,即

?
12

?x?

?
3





f ( x) 的递增区间为 ?

?? ? ? , ?. ?12 3 ?

????????12 分


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