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高一数学直线复习


一.直线
1.倾斜角、斜率、截距 (1) 直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角,叫做这 条直线的倾斜角. 倾斜角的取值范围是[0,π) (2)若直线的倾斜角为α(α≠90°),则k=tanα,叫做这条直 线的斜率.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线 的斜率

(3)直线的横截距是直线与x轴交点的横坐标,直线的纵截 距是直线与 y 轴交点的纵坐标.

一.直线
2.直线方程的五种形式. (1)点斜式:设直线l过定点P(x0,y0),斜率为k,则直线l 的方程为 y-y0=k(x-x0) (2)斜截式:设直线 l 斜率为k,在y 轴截距为b,则直线l 的方程为 y=kx+b (3)两点式:设直线 l 过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2) x1≠ x2,y1≠y2则直线 l 的方程为 (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) (4)截距式:设直线 l 在x、y轴截距分别为a、b(ab≠0)则直 线l的方程为 x/a+y/b=1. (5)一般式:直线l的一般式方程 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)

一.直线
3.两条直线的平行与垂直 两条直线有斜率且不重合,则 l1∥l2?k1=k2 两条直线都有斜率,l1⊥l2?k1· k2=-1 若 直 线 l1 : A1x+B1y+C1=0 , l2 : A2x+B2y+C2=0 , 则 l1⊥l2 ? A1A2+B1B2=0 (无论直线的斜率是否存在,此式 均成立,所以此公式用起来更方便.)

一.直线
4.到角和夹角 两条直线l1, l2相交构成四个角,它们是两组对顶角, 把l1依逆时针方向旋转到与 l2重合时所转的角,叫做l1到l2 的角, l1到 l2的角的范围是 (0, π). l1与 l2所成的角是指不 大于直角的角,简称夹角.
k 2 - k1 k 2 - k1 到角公式是 tanθ ? 夹角公式是 tan θ ? 1 ? k1 k 2 1 ? k1k 2

以上公式适用于两直线斜率都存在,且k1k2≠-1,若不 存在,由数形结合法处理.

一.直线
5.点到直线的距离公式为:d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

6.两条平行线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0的距离

为:d ? C1 ? C 2 A2 ? B 2

1.直线的倾斜角是1350,则它的斜率 是______. ?1 应用知识点:k=tana a是直线的倾斜角 2,已知两点A(2,3),B(15),则过A,B两点 ?2 的直线的斜率是____. 应用知识点: k ? y 2 ? y1

x 2 ? x1

3.已知直线过点(1.2),且它的倾斜角是 x ? y ?1 ? 0 450,则此直线的方程是_____
应用知识点:直线l过定点P(x0,y0),斜率为k, 则直线l 的方程为 y-y0=k(x-x0)

4,已知直线过两点(0,2)和(3,0), x y 则此直线的方程是____ ? ? 1
3
则直线l的方程为 x/a+y/b=1.

2 设直线 l 在x、y轴截距分别为a、b(ab≠0)

5.若直线ax ? 2 y ? 2 ? 0和3x ? y ? 2 ? 0 ?6 互相平行,则 等于___

a

应用知识点: l1∥l2:k1=k2

6.若直线 x ? ay ? 2 ? 0和 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 2 ? 互相垂直,则 a 等于___ 3
应用知识点:
l1⊥ l2: k 1· k2=-1 :A1A2+B1B2=0

A B C 1 1 : ? ? 1 A2 B2 C 2

7.直线 x ? y ? 1到直线 2 x ? y ? 1 的角是__ k 2 ? k1 arct an? 3 应用知识点:到角公式 tan ? ?

(分子是终边斜率减去始边斜率)
8.若直线 l 与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 1 3或 ? 的夹角为450则 l 的斜率是____ 3

1 ? k1 k 2

k ? k 2 1 应用知识点:夹角公式 tan ? ? 1 ? k1 k 2

9.点(-1,2)到直线 2 x ? y ? 10 ? 0 2 5 的距离为___ 应用知识点:点( x 0 , y 0)到直线 Ax ? By ? C ? 0 Ax0 ? By 0 ? C 的距离是
d?

10.直线 7 x ? 8 y ? 9 ? 0 和 12 113 的距离是__ 113

7x ? 8 y ? 3 ? 0
A2 ? B 2

A ?B
2

2

应用知识点:直线Ax ? By ? C1 ? 0 和Ax ? By ? C 2 ? 0 C1 ? C 2 的距离是 d ?

例一,已知两点A??1,?5?, B?3,?2?, 直线L的 倾斜角是直线AB的倾斜角的一半, 求L的斜率.
解:设直线L的倾斜角为?,则直线AB的倾斜角 ? 2 ? ?? 5? 3 是2?,由题可知, t an 2? ? ? 3 ? ?? 1? 4 2 t an? 3 所以 ? ,整理得 2 1 ? t an ? 4 1 2 3 t an ? ? 8 t an? ? 3 ? 0解得 t an? ? 或 t an? ? ?3 3 3 因为 t an 2? ? ? 0,所以00 ? 2? ? 900, 00 ? ? ? 900 4 1 1 t an? ? ,所以L的斜率为 3 3

1 2.若一直线斜率 k ? ? sin ?,求此直线倾斜角的范 围 ? 2
y
3 2

1 ? 1 3? ? sin ? ? ?? 1,1?, k ? ? sin ? ,? k ? ?? , ? 2 ? 2 2?

1 ? 2

?
2

?

? 1 3? 设倾斜角为?,即 tan? ? ?? , ?, ? 2 2? 3 x 又因为? ? ?0,? ?,所以由tan? ? , 2 3 1 1 得? ? arctan ,由 tan? ? ? , 得? ? ? ? arctan 2 2 2 由正切函数图象,可知 倾斜角?的取值范围是 3? ? 1 ? arctan ? ? ?? ? arctan , ? ? ?0, 2? ? 2 ?

3.直线ax ? by ? c ? 0(a, b不同时为0)的倾斜角? ? ()
c 当b ? 0时,直线化为x ? ? ,它的斜率不存在, a

??

?

2

.

a c a 当b ? 0时, 直线化为y ? ? x ? , 若 ? 0, b b b a ? a? 则直线的斜率k ? ? ? 0, ? ? arct an ? ? ?; b ? b? a a 若 ? 0,则直线的斜率 k ? ? ? 0, b b a ? ? ? ? arct an . b

4. 已知直线 L过点P( 1, 2),且与直线 6 x ? 2 y ? 5 ? 0 所夹的角为30 , 则L的方程为()
0

3 设的L斜率为k,由夹角公式得 ? 3 1 ? 3k 3 解得k ? , 此时L的方程为x ? 3 y ? 2 3 ? 1 ? 0 3 又因为当L斜率不存在时,过点 P的直线x ? 2也符合 题意,故L的方程为x ? 3 y ? 2 3 ? 1 ? 0或x ? 2

3 ?k

5.和点M(2, 3)的距离为1,且在两坐标轴上截距 相等, 则直线的方程是()

设在两坐标轴上截距相 等的方程为x ? y ? a或y ? kx, 由已知有 5?a 2 ? 1或 2k ? 3 k 2 ?1 ? 1, 解得

2 a ? 5 ? 2 或k ? 2 ? 3 3 2 所以所求直线方程为 x ? y ? 5 ? 2 或y ? ( 2 ? 3)x 3

6.直线l过定点P(2, 1 ),且分别交X轴,Y轴的正半轴于点A,B, 求当 PA ? PB 取最小值时l的方程。

解法1:如图设?OAB ? ? 00 ? ? ? 900 , 过P作PM ? x轴于M,作PN ? y轴于N , 1 2 则 PA ? , PB ? , 所以 sin ? cos? 2 4 PA ? PB ? ? , sin ? ? cos? sin 2? 当? ? 450时, PA ? PB 最小 此时L的斜率为? 1,故L的方程为y ? 1 ? ?( x ? 2) 即x ? y ? 3 ? 0
y A n o p mθ B x

?

?

6.直线l过定点P(2, 1 ),且分别交X轴,Y轴的正半轴于点A,B, 求当 PA ? PB 取最小值时l的方程。
解法2;设直线L的斜率为k,则直线L的方程为y ? 1 ? k ?x ? 2 ?(k ? 0) ? 2k ? 1 ? 由直线L的方程可分别求出 A? ,0 ?, B ?0,1 ? 2k ?, 则 ? k ? PA ? ? 1 ? ? 4 ? 4k 2 ? 1 , PB ? 4 ? 4k 所以 PA ? PB ? ? ? 1 ? 2 ? 2 k ?k ? 1
2

?

?

? 21? k 2 1 ? 1 ?? ? ? 2 ??? k ? ? ? , 即k ? ?1时, ?? ? 4, 当且仅当? k ? k ?k ? ? k ?? ? PA ? PB 取最小值,故此时 L的方程为x ? y ? 3 ? 0

?

?

7. 已知直线L1: 2 x ? y ? 4 ? 0, 求L1关于直线L: 3x ? 4 y ? 1 ? 0 对称的直线L2的方程。
? 2x ? y ? 4 ? 0 解:由? 得L1,L的交点P ?3, ? 2 ?,显然P也在L2上 ?3 x ? 4 y ? 1 ? 0

3 设L2的斜率为k, 又因为kl1 ? ?2, kl ? ? , 于是 4 ? 3? 3 k ? ?? ? ? ? ?? 2 ? 2 4? ? 4 ? 解得k ? ? , 11 ? 3? ? 3? 1 ? ? ? ? ? ?? 2 ? 1 ? ? ? ?k ? 4? ? 4? 2 故直线L2的方程为y ? 2 ? ? ( x ? 3) 11 即2 x ? 11y ? 16 ? 0

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