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棱柱、棱锥和棱台的结构特征(2)


?

4.如图所示,平行四边形ABCD所在的平面, 下列表示方法中都不正确的是( )

?

? ?

①平面ABCD;②平面BD;③平面AD;④平 面ABC;⑤AC;⑥平面α. A.②④ B.②③⑥ C.④⑤⑥ D.③⑤

?

12.(本小题满分14分)

如图所示,长方体AC1 的宽、长、高分别是3,4,5.现有一甲壳虫从A出 发沿长方体表面爬行到C1来获取食物,试画出 它的最短爬行路线,并求其路程的最小值.

?

解析:把长方体含A、C1的面作展开图,如图 甲、乙、丙所示.

对这三种展开图利用勾股定理可得 AC1 的长对甲: |AC1|= 32+?4+5?2 = 90;对乙:|AC1|= 52+?3+4?2 = 74;对丙:|AC1 |= 42+?3+5?2= 80,由此可见乙是最 15 短线路,由相似比可得 BE= .所以甲壳虫可以先在面 7 ABB1A1 内由 A 到 E,再在面 BCC1B1 内由 E 到 C1,其最 短路程为 74.

三. 棱锥及相关概念
1.定义:有一个面是多边形,而其余各 面都是有一个公共顶点的三角形,由这些 面围 成的几何体叫做棱锥,如下图所示。

2.相关概念: (1)棱锥中有公共顶点的各三角形叫做 棱锥的侧面,如侧面 SAB、SAE 等; S
棱锥的顶点 棱锥的侧棱 棱锥的高

D
E A O B

棱锥的侧面

C
棱锥的底面

(2)各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点, 如顶点S、A、B、C 等; (3)相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧 棱,如侧棱SA、SB等; (4)棱锥中的多边形叫做棱锥的底面, 如底面ABC、ABCDE等; (5)顶点到底面的距离,叫做棱锥的高, 如SO.

3. 如何理解棱锥? (1) 棱锥是多面体中的重要一种,它有 两个本质的特征: ①有一个面是多边形; ②其余各面是有一个公共顶 点的三角形,二者缺一不可。 (2)棱锥有一个面是多边形, 其余各面都是三角形, 但是右图不是棱锥!

4.棱锥的分类: (1)按底面多边形的边数分为三棱锥、 四棱锥、五棱锥等,其中三棱锥又叫四面 体。

三棱锥
(四面体及正四面体)

四棱锥

五棱锥

(2)正棱锥:如果棱锥的底面是正多边 形,它的顶点在过底面中心且与底面垂直 的直线上,则这个棱锥叫做正棱锥。
S

D

E
A

O
B

C

5.正棱锥的性质: (1)正棱锥的各侧面都是全等的等腰三 角形; (2)等腰三角形底边上的高都相等,叫 做棱锥的斜高。 6.棱锥的表示: (1)用顶点和底面各顶点的字母表示棱 锥:如三棱锥P-ABC,四棱锥S-ABCD. (2)用对角面表示:如四棱锥可以用P- AC表示.

四.棱台及相关概念
1.定义:棱锥被平行于底面的平面所截, 截面和底面间的部分叫做棱台.
上底面 侧棱 侧面 高 顶点 下底面

2.相关概念: (1)棱台的下底面、上底面:原棱锥的底 面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面; (2)棱台的侧面:棱台中除上、下底面以 外的面叫做棱台的侧面; (3)棱台的侧棱:相邻两侧面的公共边叫 做棱台的侧棱; (4)棱台的高:当棱台的底面水平放置时, 铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱 台的高。

3.棱台的分类: (1)按底面多边形的边数分为三棱台、 四棱台、五棱台等;

(2)正棱台:由正棱锥截得的棱台叫做 正棱台。

正棱锥

正四棱台

4.正棱台的性质: (1)各侧棱相等; (2)正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形; (3)正棱台的斜高相等。

5.棱台的表示: 棱台可用表示上、下底面的字母来命名, 如可以记 作 棱 台ABCD-A’B’C’D’, 或 记 作 棱 台AC’.

棱台则可以看成是用 一个平行于棱锥底 面的平面截棱锥所得到的图形, 要注意的是棱台的各条侧棱延长后, 将会交于一点,即棱台可以还原成棱锥.

例1.有四个命题:① 各侧面是全等的等 腰三角形的四棱锥是正四棱锥;② 底面

是正多边形的棱锥是正棱锥;③ 棱锥的
所有侧面可能都是直角三角形;④ 四棱

锥的四个侧面中可能四个都是直角三角
形。其中正确的命题有 ③④ .

例2. 已知正四棱锥V-ABCD,底面面积为 16,一条侧棱长为 2 11 ,计算它的高和斜 高。

因为底面正方形ABCD的面积是16,所以 BC=4,MB=OM=2,

OB ? BM ? OM ? 2 2
2 2

又因为VB= 2 11 ,在Rt△VOB 中,由勾股定理得

VO ? VB ? OB
2 2

2 2

? (2 11) ? (2 2) ? 6

在Rt△VOM中,由勾股定理得
VM ? 6 ? 2 ? 2 10
2 2

即正四棱锥的高为6,斜高为 2 10

练习题:
1.能保证棱锥是正棱锥的一个条件是
( C ) (A)底面为正多边形 (B)各侧棱都相等 (C)各侧面与底面都是全等的正三角形 (D)各侧面都是等腰三角形

2.若正棱锥的底面边长与侧棱长相等, 则该棱锥一定不是( D ) (A)三棱锥 (B)四棱锥

(C)五棱锥 (D)六棱锥

3.过正方体三个顶点的截面截得一个正
三棱锥,若正方体棱长为 a,则截得的正

三棱锥的高为

3 a 3



4.正四面体棱长为 a,M,N为其两条相 对棱的中点,则MN的长是
2 a 2



5.已知正三棱锥 ? ABC, 侧棱长为2,?APB ? 30?, 若 P 一只蚂蚁从点 出发绕棱锥的侧面爬行 A ,环绕一周 最后又回到A点,其最短路径长为
P P

A B

C

A B

A

C


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