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黑龙江省大庆铁人中学2012-2013学年高一上学期期末考试数学


数 学 试 题
时间:120 分钟 分数:150 分 一、选择题(每题只有一个正确的答案,每小题 5 分,共 60 分) 1、已知 0 ? ? ? ? ,若
4 A. 3

sin ? ? cos ? ?
3 B. 4
2

1 5 ,则 tan ? 的值为 (
? 4 3

/>)
? 3 4

C.

D. )

m 2、若函数 f ( x) ? (2m ? 3) x

?3

是幂函数,则 m 的值为( C. 1
x?

A. ?1

B. 0

D. 2

3、已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 的图象关于直线

?

8 对称,则 ? 可能是( 3? D. 4



? A. 2

B.


? 4

? 4

? C. 4

? y ? sin 2 x 的图象向左平移 4 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数 4、将函数
解析式是( )
2

A. y ? 2 cos x

B. y ? 2 sin x
2

y ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)

C.

D. y ? cos 2 x

? , 5、 已知函数 f (x) 是 R 上的增函数, A (0, 1 )B 1) (3, 是其图像上的两点, 那么 | f ( x ? 1) |? 1

的解集的补集为( .. A. ?1,2?

) C. (??,?1) ? ?4,??? D. ?? ?,?1?? ?2,???

B. ?1,4?

6、一种放射性元素,最初的质量为 500 g,按每年 10%衰减.则这种放射性元素的半衰 期为(注:剩留量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到 0.1.已知 lg2= 0.3010,lg3=0.4771)( ) A.5.2 B.6.6 C.7.1 D.8.3 7、对于任意的 x ? R ,不等式 ( )
m?? 3 2

sin 2 x ? m sin x ?

m2 ? 3 ?0 m 恒成立,则 m 的取值范围是

A.

B. 0 ? m ? 1

C. 0 ? m ? 3

m??

D.

3 2 或0 ? m ? 3

8、若函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) 的图象(部分)如右图 所示,则 ?和? 的取值是( )

? ? 1, ? ?
A.
1 2

?
3

? ? 1, ? ? ?
B.
1 2

?
3

? ? ,? ?
C.

?
6

? ? ,? ? ?
D.

?
6

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 f ( x) ? ? x ?a , x ? 1 9、已知函数 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ( ) .
A. (0,1)
1 (0, ) B. 3
2

1 1 [ , ) C. 6 3

1 1 ( , ) D. 6 3

10、若 3 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 A.
10 3

B.

5 3

1 的值为( cos ? ? sin 2? 2 C. 3

) D.-2

11、如果一个函数 f (x) 满足: (1)定义域为 R; (2)任意 x1 , x2 ? R ,若 x1 ? x2 ? 0 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ; (3)任意 x ? R ,若 t ? 0 ,总有 f ( x ? t ) ? f ( x) ,则 f (x) 可以是(
A. y ? ?x B. y ? 3
x



C. y ? x

3

D. y ? log3 x

? 12、 设函数 f ? x ?在?- ?, ? ? 上满足以 x ? 2, x ? 7 为对称轴, 且在 ?0,7? 上只有 f ?1? ? f ?3? ? 0 ,
试求方程 f ? x ? ? 0 在 ?- 2012,2012? 根的个数为( A. 803 个 B .804 个 ) D .806 个

C .805 个

二、填空题: (把正确的结果填写在横线上,每小题 5 分,共 20 分)

13 、 函 数

f ( x) ?

2 sin(x ?

?

4 2 x 2 ? cos x

) ? 2x 2 ? x
的最大值为 M ,最小值为 m ,则

M ? m ? ______________;

14、设 0 ? x ? 2 ,则函数 y ? 2

2 x ?1

? 3 ? 2x ? 5 的最大值是______________;

15、函数 f (x) 定义域为 D ,若满足① f (x) 在 D 内是单调函数②存在 [m, n] ? D 使 f (x) 在
m n , ] [m, n] 上 的 值 域 为 2 2 , 那 么 就 称 y ? f (x) 为 “ 希 望 函 数 ”, 若 函 数 [

f ( x) ? loga (a x ? t )(a ? 0, a ? 1) 是“希望函数” ,则 t 的取值范围为__________;
f ( x) ? 3 sin( 2 x ? ) 3 的图象为 C ,如下结论中正确的是________(写出所有正确结 16、 函数

?

论的编号); ①图象 C 关于直线
(
x? 11? 12 对称;

2? ,0 ) ②图象 C 关于点 3 对称;

③函数 f (x) 在区间

(?

, ) 12 12 内是增函数;

? 5?

④由 y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移

? 个单位长度可以得到图象 C 。 3

三、解答题: (本题有 6 个小题,共 70 分) 17、(10 分)已知 ?、? 均为锐角,
sin ? ? 5 10 , cos ? ? 5 10 ,求 ? ? ? 的值.

18、 (12 分)设函数 f ( x) ? m(1 ? sin 2 x) ? cos2 x,x ? R ,且函数 y ? f (x) 的图象经过点
( , 2) . 4 (1)求实数 m 的值;

?

(2)求函数 f (x) 的最小值及此时 x 值的集合.

19、 (12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ),x ? R ,其中 ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ?

?
2

) 的周期为

? ,且图象上一个最低点为 M (
(1)求 f (x) 的解析式; (2)当 x ? [0,

2? ,?2) . 3

?
12

] 时,求 f (x) 的最值.

20、 (12 分)已知 f ( x) ? lg (1)求 f (x) 的解析式;

1 2x ,f (1) ? 0 ,当 x ? 0 时,恒有 f ( x) ? f ( ) ? lg x . x ax ? b

(2)若方程 f ( x) ? lg(m ? x) 的解集是 ? ,求实数 m 的取值范围.

21、 (12 分)已知函数

f ( x) ? (1 ? a 2 ) x 2 ? 3(1 ? a ) x ? 6

.

(1)若 f (x) 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f (x) 的值域为 [0,??) ,求实数 a 的取值范围.

22、 (12 分)已知函数 f (x) 的定义域为 {x | x ? k? , k ? Z} ,且对于定义域内的任何 x、 y ,
f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) ? 1 0 ) f ( y ) ? f ( x) 成 立 , 且 f (a) ? 1(a为 大 于的 常 数 。 当 0 ? x ? 2a 时 ,

都有
f ( x) ? 0 .

(1)判断 f (x) 奇偶性; (2)求 f (x) 在 [2a,3a] 上的最小值和最大值.


一、CACAD 二、13、2; BBCCA


CC

参 考 答 案
1 (0, ) 15、 4 ;

5 14、 ; 2

16、①②③.

三、解答题: 17、(本题满分 10 分) 解:由已知得 cos? ? 1 ? sin 2 ? ?
2 5 3 10 , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? . 5 10

∵ sin ? ? sin ? 且 α、β 都是锐角,∴ ? ? ? . ∴?

?
2

?? ?? ? 0

又 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ? ?

? 2 ,∴ ? ? ? ? ? . 4 2

18、 (本题满分 12 分) π ? ? 解:(1)由已知 f ( ) ? m(1 ? sin ) ? cos =2,得 m=1. 2 4 2 (2)由(1)得 f(x)=1+sin2x+cos2x=1+ 2sin ( 2 x ? ∴当 sin ( 2 x ? 由 sin ( 2 x ?

?
4

),

?
4

) =-1 时,f(x)取得最小值 1- 2,

?
4

) =-1 得,2x+

π π 3π =2kπ - ,即 x=kπ - (k∈Z) 4 2 8 3π ,k∈Z}. 8

所以 f(x)取得最小值时,x 值的集合为{x|x=kπ - 19、 (本题满分 12 分)

2? ,?2) ,得 A=2, 3 2π 2π 由 T=π 得ω = = =2,∴f(x)=2sin(2x+φ ). T π 2? 4? 4? ? ? ) =-2 ? ? ) =-1, 由点 M ( ,?2) 在图象上,得 2sin ( 即 sin ( 3 3 3 4π π 11π ∴ +φ =2kπ - ,k∈Z, 即φ =2kπ - ,k∈Z, 3 2 6 π ? ? 又φ ∈ (0, ) ,∴k=1,∴φ = , ∴f(x)=2sin ( 2 x ? ) . 6 2 6

解:(1)由最低点为 M (

π ?? ? ? ? ?? (2)∵ x ? ?0, ? ,∴2x+ ∈ ? , ? , 6 ?6 3? ? 12 ? π π ∴当 2x+ = ,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1; 6 6 π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 3. 6 3 12 20、 (本题满分 12 分)
1 解: (1)∵当 x ? 0 时,恒有 f ( x) ? f ( ) ? lg x . x 2x 2 ? lg ? lg x ,即 (a ? b) x 2 ? (a ? b) x ? 0 ∴ lg ax ? b bx ? a

∵ x ? 0 ,∴上式若恒成立则只有 a ? b . 又 f (1) ? 0 ,即 a ? b ? 2 ,从而 a ? b =1,∴ f ( x ) ? lg
2x . x ?1

? 2x ? x ? 1 ? m ? x, ?x 2 ? (m ? 1) x ? m ? 0, 2x ? ? lg( m ? x) 知 ? (2)由 lg 即? x ?1 ? 2 x ? 0, ?x ? ?1或x ? 0, ? x ?1 ?

由于方程 f ( x) ? lg(m ? x) 的解集是Φ.故有如下两种情况:
①方程 x 2 ? (m ?1) x ? m ? 0 无解,即 ? ? 0 ,解得 3 ? 2 2 ? m ? 3 ? 2 2 ; ②方程 x ? (m ?1) x ? m ? 0 有解,两根均在 ?? 1,0? 内,
2

令 g ( x) ? x 2 ? (m ?1) x ? m

?? ? 0, ? g (?1) ? 0, ? ? 则有 ? g (0) ? 0, ? ?? 1 ? 1 ? m ? 0, ? 2 ?

?m ? 3 ? 2 2或m ? 3 ? 2 2, 即? 无解. 1 ? m ? 3, ?

综合①、②,实数 m 的取值范围是 3 ? 2 2 ? m ? 3 ? 2 2 21、 (本题满分 12 分) 解: (1)①若 1 ? a 2 ? 0 ,则 a ? ?1 . (i)当 a ? 1 时, f ( x) ? 6 ,定义域为 R,符合要求.

(ii)当 a ? ?1 时, f ( x) ? 6x ? 6 ,定义域不为 R.
②若 1 ? a ? 0 , g (x) = (1 ? a 2 ) x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6 为二次函数,
2

∵ f (x) 定义域为 R,∴ g (x) ? 0 对任意 x ? R 恒成立.
2 ? ?? 1 ? a ? 1, 5 ?1 ? a ? 0, ?? ? ? ? a ? 1. ∴? 11 ?? ? 9(1 ? a) 2 ? 24(1 ? a 2 ) ? 0, ?(a ? 1)(11a ? 5) ? 0, ?

? 5 ? 综合①②得,实数 a 的取值范围是 ?? ,1? ? 11 ?

(2)∵ f (x) 的值域为 [0,??) , ∴函数 g (x) = (1 ? a 2 ) x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6 取一切非负实数.
2 ? ?? 1 ? a ? 1, 5 ?1 ? a ? 0, ?? ? ?1 ? a ? ? . ∴? 11 ?? ? 9(1 ? a) 2 ? 24(1 ? a 2 ) ? 0, ?(a ? 1)(11a ? 5) ? 0, ?

当 a ? ?1 时, f ( x) ? 6x ? 6 的值域是 [0,??) ,符合题意.
5? ? 故所求实数 a 的取值范围是 ?? 1,? ? . 11? ?
22.解:(1)∵定义域{x| x ≠ kπ ,k∈Z }关于原点对称,

f (a)·f (x)+1 f (x)-f (a) f (a-x)·f (a)+1 1+f (a-x) 又 f(? x) = f [(a ? x) ? a]= = = = f (a)-f (a-x) 1-f (a-x) f (a)·f (x)+1 1- f (x)-f (a)
1+ 1+f (x) f (x)-1 2f (x) = = ? f (x) ,对于定义域内的每个 x 值都成立 1+f (x) -2 1- f (x)-1 1+ ∴f(x)为奇函数???????4 分 (1) 先证明 f(x)在[2a,3a]上单调递减, 为此,必须证明 x∈(2a,3a)时,f(x) < 0, 设 2a < x < 3a,则 0 < x ? 2a < a, ∴ f(x ? 2a)=

f (2a)·f (x)+1 1 = ? > 0,∴ f(x)< 0????2 分 f (2a)-f (x) f (x)

设 2a < x1 < x2 < 3a,

则 0 < x2 ? x1 < a,∴ f(x1)< 0 , f(x2)< 0 , f(x2 ? x1)> 0, ∴ f(x1)- f(x2)=

f (x1)·f (x2)+1 > 0,∴ f(x1)> f(x2) , f (x2-x1)
??????? 6 分

∴ f(x)在[2a,3a]上单调递减 ∴f(x)max=f(2a)= f(a + a)= f [a ?(? a)]= =

f (a)·f (-a)+1 f (-a)-f (a)
1-f (a) = 0, -2f (a)
2

f(x)min= f(3a)= f(2a + a)= f [2a ?(? a)]=
= ???????12 分

f (2a)·f (-a)+1 f (-a)-f (2a)
1 = ? 1.

-f (a)


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