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广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题


广东省韶关市 2013 届高三第三次调研考试 数学试题(理科)
本卷分选择题和非选择题两部分,满分 150 分.考试用时间 120 分钟. 注意事项: 1. 考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上; 2. 选择题、填空题每小题得出答案后,请将答案填写在答题卷相应指定位置上。答在试题卷上不得 分; 3. 考试结束,考生只需将答题案交回。

/>
参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P(B) .

B P 如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P( A? ) ? P( A) ? (B) .

第一部分 选择题(共 40 分)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1. 已知复数 z ? 1 ? i ,则 B. 2i

A. ? 2i

2 ? z C. 1 ? i

D. 1 ? i

2 2. 设全集 U ? R, 且 A ? x | x ? 1 ? 2 , B ? x | x ? 6 x ? 8 ? 0 ,则 (CU A) ? B ?

?

?

?

?

A. [?1, 4)
2

B. (2, 3)
2

C. (2,3]

D. (?1, 4) )

3. 椭圆 x ? my ? 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( A.

1 4

B.

4. ?ABC 中, ?A ? A.

?
3

1 2

C. 2

D.4

, BC ? 3 , AB ? 6 ,则 ?C ?

? 6

B.

? 4

C.

3? 4

D.

? 3? 或 4 4

5. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S2 = 10, S5 = 55 ,则过点 P (n, an ) 和 Q(n + 2, an+ 2 )
(n ? N*)的直线的斜率是

A.4

B.3

C.2

D.1

6. 已 知 函 数 f ( x)的定义域为?2,??) , 且 f (4) ? f (?2) ? 1 , [
·1·

a?0 ? ? b?0 函数 y ? f ?(x) 的图象如图所示. 则平面区域 ? 所围成的面积 f ?( x)为f ( x) 的导函数, ? f ( 2a ? b) ? 1 ?
是 A.2 7. 一台机床有 B.4 C.5 D.8

1 3 的时间加工零件 A, 其余时间加工零件 B, 加工 A 时,停机的概率是 , 3 10 2 加工 B 时,停机的概率是 , 则这台机床停机的概率为( ) 5 11 7 7 1 A. B. C. D. 10 10 30 30
8. 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数 f ( x ) 的图象恰好通过

n(n ? N ? ) 个整点,则称函数 f ( x) 为 n 阶整点函数。有下列函数: 1 x ① f ( x) ? sin 2 x ; ② g ( x) ? x3 ③ h( x ) ? ( ) ; ④ ? ( x) ? ln x , 3
其中是一阶整点函数的是( A.①②③④ B.①③④ ) C.①④ D.④

第二部分
二.填空题(每小题 5 分,共 30 分)

非选择题(共 110 分)

9. 若奇函数 f ( x ) 的定义域为 [ p, q ] ,则 p ? q = 10. 计算

? ? 2 x ?1? dx ?
3 0

11.已知正三角形内切圆的半径是高的 似的结论是____________________.

1 ,把这个结论推广到空间正四面体,类 3

12.右图是用二分法求方程 x ? 16 x ? 1 ? 0 在 [?2, 2] 的近似解的程序框图,要
5

求解的精确度为 0.0001,①处填的内容是____________, ②处填的内容是 ______________________. 第 13 至 15 题,从 3 题中选答 2 题,多选按前 2 题记分 13. 设M、 N分别是曲线 ? ? 2sin ? ? 0 和 ? s in(? ?

?
4

)?

2 上的动点, 则M、 2

N的最小距离是 14. 如图,圆 O 是 ?ABC 的外接圆,过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D ,

CD ? 2 7 , AB ? BC ? 3 。 则 BD 的 长 ______________ , AC 的 长
·2·

______________.
2 2 15. 已知 x, y ? R? , 且 x 1 ? y ? y 1 ? x ? 1 ,
C

则 x2 ? y 2 ?

.
O D A B

16.(本题满分 12 分) 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为整数)分成六段 ?40,50? ,

?50,60? … ?90,100? 后画出如下部分频率分布直方图.观察图
频 率

形的信息,回答下列问题:
组 距

(Ⅰ)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和 平均分; (Ⅲ) 从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选两人, 求他们在同一分数段的概率.

0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 分 数

17.(本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? cos

3x x 3x x cos ? sin sin ? 2 sin x cos x , 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ) 当 x ? ?

?? ? , ? ,求函数 f (x) 的零点. ?2 ? ?

18. (本题满分 14 分) 如图,在三棱拄 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 侧面 BB1C1C ,已知 BC ? 1, ?BCC1 ? (Ⅰ)求证: C1B ? 平面ABC ;
·3·

?
3

(Ⅱ)试在棱 CC1 (不包含端点 C, C1 ) 上确定一点 E 的位置,使得 EA ? EB1 ; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,求二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角的正切值.

A

A1

B C

B1 E C1

19. (本题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,设点 F (1,0),直线 l : x ? ?1 ,点 P 在直线 l 上移动, R 是线段 PF 与 y 轴的交点,

RQ ? FP, PQ ? l .

y P R o Q
弦 AB 、

(Ⅰ)求动点 Q 的轨迹的方程; (Ⅱ) 记 Q 的轨迹的方程为 E ,过点 F 作两条互相垂直的曲线 E 的

CD ,设 AB 、CD 的中点分别为 M,N .求证:直线 MN 必 定点 R(3,0) .

-1

F 1



x

20.(本题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1an?1 ? an an?1 ? an (Ⅰ)求证: k ? 1 ; (Ⅱ)设 g ( x) ?
2

? n ? N? , n ? 2? ,且

an?1 ? kn ? 1, an

an xn?1 , f ? x ? 是数列 ?g ? x ?? 的前 n 项和,求 f ( x ) 的解析式; ? n ?1?!
3 g ? 3? 对 n ? N? 恒成立. n

(Ⅲ)求证:不等式 f ? 2 ? ?

21. (本题满分 14 分)
·4·

已知函数 f ( x) ? a ln(1 ? e x ) ? (a ? 1) x, (其中 a ? 0 ) , 点 A( x1, f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )), C( x3 , f ( x3 )) 从 左 到 右 依 次 是 函 数 y ? f ( x) 图 象 上 三 点 , 且

2x2 ? x1 ? x3 .
(Ⅰ) 证明: 函数 f ( x ) 在 R 上是减函数; (Ⅱ) 求证:⊿ ABC 是钝角三角形; (Ⅲ) 试问,⊿ ABC 能否是等腰三角形?若能,求⊿ ABC 面积的最大值;若不能,请说明理由.

2013 届高三调研考试数学试题(理科)答案及评分标准
一、选择题答案 二、填空题 题 号 答 案 CCABA BAC

9

10

11

12

13

14

15

0

6

1 4

f (a) ? f (m) ? 0

a ? b ? 0.0001

2 ?1

4, (

3 7) 2

1

三、解答题 16.(本题满分 12 分) (Ⅰ)因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率:

频 率 组 距

f4 ? 1 ? (0.025 ? 0.015 ? 2 ? 0.01 ? 0.005) ?10 ? 0.03 ……2 分
直方图如右所示……………………………….4 分 (Ⅱ)依题意,60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组, 频率和为 (0.015 ? 0.03 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 0.75 所以,抽样学生成绩的合格率是 75 %......................................6 分 利用组中值估算抽样学生的平均分
·5·

0.03 0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 分 数

45 ? f1 ? 55 ? f 2 ? 65 ? f3 ? 75 ? f 4 ? 85 ? f5 ? 95 ? f6 ………………….8 分
= 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 =71 估计这次考试的平均分是 71 分………………………………………….9 分 (Ⅲ) [70, 80) , [80, 90) , [90, 100] ”的人数是 18,15,3。所以从成绩是 70 分以上(包括 70 分) 的学生中选两人,他们在同一分数段的概率。

P?

2 2 87 C18 ? C15 ? C32 ……………………………………………………12 分 ? 2 210 C36

17.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x = 2 cos( 2 x ?

?
4

) …………………….4 分

故 T ? ? …………………………………………………5 分 (Ⅱ)令 f ( x) ? 0 , 2 cos(

?

?? ? ? 2 x) =0,又? x ? ? , ? ? 4 ?2 ?

…… ………….7 分

?

5? ? 9? ? 3? ? ? 2x ? ? ? 2x ? …………………………………………9 分 4 4 4 4 2 5? 5? 故x? 函数 f (x) 的零点是 x ? ……………. 12 分 8 8

18.(本题满分 12 分) 证(Ⅰ)因为 AB ? 侧面 BB1C1C ,故 AB ? BC1 在 ? BC1C 中, BC ? 1, CC1 ? BB1 ? 2, ?BCC1 ?

?
3

由余弦定理有

BC1 ? BC 2 ? CC12 ? 2 ? BC ? CC1 ? cos ?BCC1 ???? 1 ? 4 ? 2 ? 2 ? cos
故有 而

?
3

? 3
A A1

BC 2 ? BC12 ? CC12 ?????????C1B ? BC
BC ? AB ? B 且 AB, BC ? 平面 ABC

B

B1

? C1 B? 平面 A B C
C E C1

(Ⅱ)由 EA ? EB1 , AB ? EB1 , AB ? AE ? A, AB, AE ? 平面ABE 从而 B1E ? 平面ABE 且 BE ? 平面ABE 故 BE ? B1E
·6·

不妨设

C E ? x,则 C1E ? 2 ? x ,则 BE 2 ? 1 ? x 2 ? x

又? ?B1C1C ?

2 ? 3
2

则 B1E 2 ? 1 ? x2 ? x
2

在 Rt? BEB1 中有 x ? x ? 1 ? x ? x ? 1 ? 4 故 E 为 CC1 的中点时, EA ? EB1 法 二 : 以

从而 x ? ?1 (舍负)

B







??? ???? ??? ? ? ? BC, BC1 , BA 为
) A,

x, y , z



, 设

CE ? x





B( 0 ,

0 ?, E

1 0 )1 ? B ( 1 x , 2

??? ???? ? ( 由 EA ? EB1 得 0 E A? ,E 1B (0 0即, 1 , 3 , ) ?
z
A

0 ,

2 )

1 3 1 3 ( x ? 1, ? x, 2)( x ? 2, 3 ? x, 0) ? 0 2 2 2 2 1 1 3 ? 3 ? ( x ? 1)( x ? 2) ? x? 3 ? x? ? 0 2 2 2 ? 2 ? ? ?
化简整理得

A1

x 2 ? 3x ? 2? 0

x ?1 或 x ? 2

B

y
B1

当 x ? 2 时 E 与 C1 重合不满足题意
C

当 x ? 1 时 E 为 CC1 的中点 故 E 为 CC1 的中点使 EA ? EB1

E

C1

x

(Ⅲ)取 EB1 的中点 D , A E 的中点 F , BB1 的中点 N , AB1 的中点 M 1 连 DF 则 DF // A1B1 ,连 DN 则 DN // BE ,连 MN 则 MN // A1B1 连 MF 则 MF // BE ,且 MNDF 为矩形, MD // AE 又? A B1 ? EB1 , BE ? EB1 1 故 ?MDF 为所求二面角的平面角
A M A1

1 2 (? ?BCE为正三角形) 在 Rt ? DFM 中, DF ? A1 B1 ? 2 2
1 1 1 BE ? CE ? 2 2 2 1 2 ? tan ?MDF ? 2 ? 2 2 2 MF ?
·7·

B

F N D B1

C

E

C1

法二:由已知 EA ? EB1, B1 A ? EB1 , 所以二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角 ? 的大小为向量 B1 A1 与 1

??? ?

???? ???? ?

????

???? ?

??? ? EA 的夹角
因为 B1 A ? BA ? (0,0, 2) 1

???? ??? ? ?

??? ? 3 1 EA ? (? , ? , 2) 2 2

??? ???? ? ? EA ? B1 A1 2 2 故 cos ? ? ??? ???? ? ? tan ? ? ? ? 2 3 EA ? B1 A1
. 19. (本题满分 14 分) 解:(Ⅰ)依题意知,直线 l 的方程为: x ? ?1 .点 R 是线段 FP 的中点,且 RQ ⊥ FP ,∴ RQ 是线 段 FP 的垂直平分线.…………………….2 分 ∴ PQ 是点 Q 到直线 l 的距离. ∵点 Q 在线段 FP 的垂直平分线,∴ PQ ? QF .…………4 分 故动点 Q 的轨迹 E 是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线,其方程为:

y P R -1 o F 1


Q

y 2 ? 4x( x ? 0) .…………………………………………………….7 分
(Ⅱ) 设 A?x A , y A ?, B?x B , y B ? , M ?xM , y M ? N ?x N , y N ? ,直线 AB 的方程 ,

x

y ? k ( x ? 1)
…………………………………………………….8 分

? y B 2 ? 4xB (2) ? 4 2 (1)—(2)得 y A ? y B ? ,即 y M ? ,……………………………………9 分 k k 2 代入方程 y ? k ( x ? 1) ,解得 x M ? 2 ? 1 . k 2 2 所以点M的坐标为 ( 2 ? 1 , ) .……………………………………10 分 k k N 的坐标为 (2k 2 ? 1, ? 2k ) . 同理可得: y ? yN k ? 直线 MN 的斜率为 k MN ? M ,方程为 xM ? x N 1 ? k 2 k y ? 2k ? ( x ? 2k 2 ? 1) ,整理得 y(1 ? k 2 ) ? k ( x ? 3) ,………………12 分 2 1? k 显然,不论 k 为何值, (3 , 0) 均满足方程,
·8·

则?

? y A ? 4x A ?
2

(1)

所以直线 MN 恒过定点 R (3 , 0) .………………14

20. (本题满分 14 分) .解:?

an ?1 ? kn ? 1 an



a2 ? a2 ? k ? 1,.……………………………………1 分 a1
2

又因为 a1 ? 1, an?1an?1 ? an an?1 ? an 则 a3a1 ? a2 a1 ?a22 ,即

? n ? N? , n ? 2?

a3 a ? a2 ? 1, 又 3 ? 2k ? 1,? a2 ? 2k .………………………3 分 a2 a2
……………………………………4

所以 k ? 1 ? a2 ? 2k ,? k ? 1 , (2)

an ?1 ? n ? 1, an an an?1 a ? ?????? 2 ? a1 = n ? ? n ?1? ? ... ? 2 ?1 ? n! ……………………………………6 an?1 an?2 a1

an ?

an xn?1 n ?1 因为 g ? x ? ? = nx ? n ?1?!
所以,当 x ? 1 时, f ? x ? ? f ?1? ? 1 ? 2 ? 3 ? ...... ? n ? 当 x ? 1 时, f ? x ? ? 1 ? 2x ? 3x ? ... ? nx
2 n?1

n ? n ? 1? ……………………………7 2

……….(1)

?1? ? x 得 xf ? x? ? x ? 2x2 ? 3x3 ? ... ? ? n ?1? xn?1 ? nxn ……(2) ?1? ? ? 2? : ?1? x? f ? x? ? 1? x ? x2 ? ... ? xn?1 ? nxn
=

1 ? xn ? nx n 1? x
? nx n 1? x
……………………………9

? f ? x? ?

1 ? xn

?1 ? x ?

2

·9·

? n(n ? 1) x ?1 ? 2 , ? 综上所述: f ( x) ? ? ……………………………10 n n ? 1 ? x ? nx , x ? 1 ? (1 ? x)2 1 ? x ?
(3)因为? f ? 2 ? ?

1 ? 2n

?1 ? 2 ?

2

?

n2n ? ? n ? 1? 2n ? 1 1? 2



3 g ? 3? ? 3n ,易验证当 n ? 1, 2 ,3 时不等式不成立; ……………………………11 n
k k

假设 n ? k ? k ? 3? ,不等式成立,即 3 ? ? k ?1? 2 ?1 两边乘以 3 得: 3
k ?1

? 3? k ?1? 2k ? 3 ? k ? 2k ?1 ?1? 3? k ?1? 2k ? k 2k ?1 ? 2
k ?1

又因为 3? k ?1? 2 ? k ? 2
k

? 2 ? 2k ?3k ? 3 ? 2k ? ? 2 ? ? k ? 3? 2k ? 2 ? 0

所以 3

k ?1

? k ? 2k ?1 ?1? 3? k ?1? 2k ? k 2k ?1 ? 2 ? k ? 2k ?1 ? 1

即 n ? k ? 1 时不等式成立.故不等式恒成立. ……………………………14

21. (本题满分 14 分) 解:(Ⅰ) ? f ( x) ? a ln(1 ? e ) ? (a ? 1) x,
x

ae x ?(a ? 1) ? e x ? f ?( x) ? ? (a ? 1) ? ? 0恒成立,………………………… 1 ? ex 1 ? ex
所以函数 f ( x ) 在 (??, ??) 上是单调减函数. …………………………4 分

(Ⅱ) 证明:据题意 A( x1, f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )), C( x3 , f ( x3 )) 且 x1<x2<x3,

由(Ⅰ)知 f (x1)>f (x2)>f (x3), x2=

x1 ? x3 …………………………6 分 2

??? ? ??? ? ? BA ? ( x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 )), BC ? ( x3 ? x2 , f ( x3 ) ? f ( x2 )

??? ??? ? ? ? BA ? BC ? ( x1 ? x2 )( x3 ? x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )][ f ( x3 ) ? f ( x2 )] …………………8 分
? x1 ? x2 ? 0, x3 ? x2 ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? 0
??? ??? ? ? ? ? BA ? BC ? 0,??B ? ( , ? ) 2
·10·

即⊿ ABC 是钝角三角形……………………………………..9 分 (Ⅲ)假设⊿ ABC 为等腰三角形,则只能是 BA ? BC

??? ?

??? ?

即:1 ? x2 )2 ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )]2 ? ( x3 ? x2 )2 ? [ f ( x3 ) ? f ( x2 )]2 (x ? x2 ? x1 ? x3 ? x2 ?[ f ( x1 ) ? f ( x2 )]2 ? [ f ( x3 ) ? f ( x2 )]2
即 2 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x3 )

? 2a ln(1 ? ex2 ) ? 2(a ?1) x2 ? a[ln(1 ? ex1 )(1 ? ex3 ) ? (a ?1)( x1 ? x3 ) ? 2a ln(1 ? ex2 ) ? 2(a ?1) x2 ? a[ln(1? ex1 )(1? ex3 ) ? 2(a ? 1) x2
? 2ln(1 ? ex2 ) ? ln(1 ? ex1 )(1 ? ex3 ) ? (1 ? ex2 )2 ? (1 ? ex1 )(1 ? ex3 ) ? e2 x2 ? 2ex2 ? ex1 ? x3 ? ex1 ? ex3
? 2e x2 ? e x1 ? e x3
x x


x ? x3

…………………………………………..12 分

而事实上, e 1 ? e 3 ? 2 e 1
x x

? 2ex2



由于 e 1 ? e 3 ,故(2)式等号不成立.这与 (1) 式矛盾. 所以⊿ ABC 不可能为等腰三角形..14 分

·11·


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