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湖北省黄冈市2015-2016学年高二期末调研考试文科数学试题WORD版附答案


黄冈市 2015 年秋季高二期末考试数学试题(文科)
一、选择题 1. 抛物线 y ? 4 x 2 的准 线方程是( 2. A. y ? 1 B. y ? ?1 ) C. y ?

1 16

D. y ? ?

1 16

2.总体由编号为 01,02,?,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体, 选取方法从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个 数字,则选出来的第 5 个个体的编号为( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B.07 C.02 D.01 3.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示. ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数; ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高; ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低; ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 上面说法正确的是( ) . A.③④ B.①②④ C.②④ D.①③④ 4.当输入 x ? ?4 时,如图的程序运行的结果是( ) A.7 B.8 C.9 D.15 5.下列说法错误的是( ). A.若命题“ p ? q ”为真命题,则“ p ? q ”为真命题 B.命题“若 m ? 0 ,则方程 x 2 ? x ? m ? 0 有实根”的逆命题为真命题 C.命题“若 a ? b,则ac ? bc ”的否命题为真命题
2 2

D.若命题“ ?p ? q ”为假命题,则“ p ? ?q ”为真命题 6.一名小学生的年龄和身 高(单位:cm)的数据如下表:

由散点图可知,身高 y 与年龄 x 之间的线性回归方程为 y ? 8.8 x ? a ,预测该学生 10 岁时的身高为( ) A.154 B.153 C.152
'

^

^

D.151

7. 函数f ( x)在x ? x0处导数存在 , 若p : f ( x0 ) ? 0;q : x ? x0是f ( x)的极值点,则

p是q的 (

)

A.充分不必要条件 B.充要条件 C. 必要不充条件 D.既非充分条件也非必要条件 8.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表:

试卷第 1 页,总 4 页

如果从全校学生中随机抽取一名学生, 抽到二年级女生的概率为 0.19 .现用分层抽样的 方法在全校学生中分年级抽取 64 名学生参加某项活动,则应在三年级中抽取的学生人 数为( ) A、 24 B、18 C、16 D、12

x2 y 2 9.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一个焦点与抛物线 y 2 ? ?4 x 的焦点重合,且 a b
双曲线的离心率为 5 ,则此双曲线的方程为( A. 5 x ?
2



4 y2 ?1 5

B.

5x2 ?

5 y2 ?1 4

C.

y 2 x2 ? ?1 5 4

D.

x2 y 2 ? ?1 5 4

10. 已知: a,b,c 为集合 A ? ?1, 2,3, 4,5 ? 中三个不同的数,通过如下 框图给出的一个算法输出一个整数 a ,则输出的数 a ? 4 的概率是( A. )

3 8

B.

3 20

C.

3 10

D.

1 2

11.

f ( x) 是 定 义 在 (0, ??) 上 的 非 负 、 可 导 函 数 , 且 满 足
).

xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,对任意正数 a , b ,若 a ? b ,则必有 (
A. af (a) ? bf (b) C. af (a) ? f (b) B. bf (b) ? af (a) D. bf (a) ? af (b)

12.过原点的直线与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 交于 M , N 两点, P 是双曲线上 a 2 b2

异于 M , N的一点,若直线 MP与直线NP 的斜率都存在且乘积为 心率为( A. ) B.

5 ,则双曲线的离 4

3 2

9 4

C.

5 4

D.2

二、填空题 13.三进制数 121(3) 化为十进制数为 .

试卷第 2 页,总 4 页

14 .若命题“ ?x ? R ,使 x2 ? ( a ?1) x ? 1 ? 0”是假命题,则实数 a 的取值范围 为 .

15 . 已 知 函 数 f ( x) 的 导 数 为 f ?( x ) , 且 满 足 f ( x) ? 3x 2 ? 2 xf ?(2) , 则

f ?(5) ? ________.
16.以下五个关于圆锥曲线的命题中: ①双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 与椭圆 ? ? 1 有相同的焦点; 16 9 49 24

②以抛物线的焦点弦(过焦点的直线截抛物线所得的线段)为直径的圆与抛物线的准线 是相切的。 ③设 A、B 为两个定点, k 为常数,若 | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ④过定圆 C 上一点 A 作圆的动弦 AB,O 为原点,若 OP ?

??? ?

? ??? ? 1 ??? (OA ? OB ) ,则动点 P 的 2

轨迹为椭圆。 其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号) 三、解答题 17.(本小题满分 10 分)《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒 精浓度在 20~80mg/100ml(不含 80)之间,属于酒后驾车;在 80mg/100ml(含 80)以 上时,属于醉酒驾车.某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中,依法检查 了 300 辆机动车,查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共 20 人,检测结果如下表:

(1)绘制出检测数据的频率分布直方图(在图中用实线画出矩形框即可) ; (2)求检测数据中醉酒驾驶的频率,并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数.

2 2 18.(本小题满分 12 分)p:实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ,q:实数 x 满

足?

? x2 ? x ? 6 ? 0
2 ?x ? 2x ? 8 ? 0

,若 ?p 是 ?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

试卷第 3 页,总 4 页

19 . ( 本小题满分 12 分 ) 某射击运动员进行射击训练,前三次射击在靶上的着弹点 A、B、C 刚好是边长为 3 cm 的等边三角形的三个顶点. (Ⅰ) 该运动员前三次射击的成绩(环数)都在区间 [7.5,8.5) 内,调整一下后,又 连打三枪,其成绩(环数)都在区间 [9.5,10.5) 内.现从这 6 次射击成绩中随机抽取两 次射击的成绩(记为 a 和 b )进行技术分析.求事件“ | a ? b |? 1 ”的概率. (Ⅱ)第四次射击时,该运动员瞄准 ?ABC 区域射击(不会打到 ?ABC 外) ,则此次射 击的着弹点距 A、B、C 的距离都超过1 cm 的概率为多少?(弹孔大小忽略不计)

20.(本小题满分 12 分)一矩形铁皮的长为 8 cm,宽为 5 cm,在四个角上截去四个相同 的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子容积最大?

21.(本小题满分 12 分) 已知两点 A( 3,0), C(? 3,0) ,若一动点 Q 在运动过程中总满 足 AQ ? CQ ? 4, O 为坐标原点. (1)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹 E 的方程。 (2)设过点 B(0, - 2) 的直线与 E 交于 M , N 两点,当 ?OMN 的面积为 1 时,求此直 线的方程.

22.(本小题满分 12 分)函数 f ( x)=x ln x,g( x) ? x ? ax ? x ? 2
3 2

(1)如果函数 g ( x ) 的单调减区调为 ( ?

1 ,1) ,求函数 g ( x ) 解析式; 3

(2)在(1)的条件下,求函数 y ? g ( x ) 图象过点 p(1,1) 的切线方程; (3)若 ?x0 ? (0, ??) ,使关于 x 的不等式 2 f ( x ) ? g?( x ) ? 2 成立,求实数 a 取值范围.

试卷第 4 页,总 4 页

参考答案 1.D. 2.D 3.A。试题分析:①中甲的中位数是 81,乙的中位数是 87.5,因此乙的中位数较大;②甲 的 平 均 分 为

7 ? 2

6 ? 9

? 7 ?8 ? 8 ?7 6

? 7 ?6 ? 8 ?0 8 2 8 6 9 0 ? 81 , 乙 的 平 均 分 为 6 8 8 9 2 9 6 ? 85 ,所以乙的平均分高;④中甲的数据比较集中,乙的数据

比较分散,因此甲的方差较小 4.D,由程序语言可得 y ? ?

? x 2 ? 1, x ? 3 ? ,当输入 x=﹣4 时,代入计算得 y=15.故选 D. x ? ?3 , x ? 3

2 2 5.B.命题“若 m>0,则方程 x + x﹣m = 0 有实根”的逆命题为“若方程 x + x﹣m = 0 有
2 实数根,则 m>0” ,方程 x + x﹣m = 0 有实数根只要 ? ? 1 ? 4m ? 0 ,所以不一定得到 m

>0,所以 B 错. 6 . B 试题分析:由题意, x ? 7.5 , y ? 131 ,代入线性回归直线方程为 y ? 8.8 x ? a ,
^ ^

131 ? 8.8 ? 7.5 ? a , 可得 a ? 65 , ∴ y ? 8.8 x ? 65 , ∴ x ? 10 时,y ? 8.8 ?10 ? 65 ? 153 ,
7.C. 8.C【解析】由条件得

^

^

^

^

x ? 0.19.? x ? 380. 则 2000

y ? z ? 2000 ? (373 ? 380 ? 377 ? 370) ? 500.所以在三年级中抽取的学生人数为

64 ? 500 ? 16. 故选 C 2000
2 9 . D. 试 题 分 析 : 抛 物 线 y ? ?4 x 的 焦 点 为 ? ?1,0 ? , 因 此 双 曲 线 中 有 c ? 1 , 又

e?

5 y2 2 c 5 2 ?b ? c2 ? a2 ? ?1 ,因此方程为 5 x ? ? 5 ?a ? 4 a 5 5
'

10.A. 11.B.试题分析: xf ?( x) ? f ( x) ? 0 即 ? xf ( x ) ? ? 0 ,所以函数 xf ( x ) 为减函数,若 a ? b , 则 af (a) ? bf (b) ; 又 是 定 义 在 . 12.A 13.16 14. ?1 ? a ? 3 试题分析:命题“ ?x ? R ,使 x ? (a ?1 ) x ?1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,
2

上 的 非 负 可 导 函 数 , 所 以

答案第 1 页,总 4 页

使 x2 ? (a ?1) x ? 1 ? 0 ”即: ? ? (a ? 1) 2 ? 4 ? 0 ,∴ ?1 ? a ? 3 ,故答案是 ?1 ? a ? 3 . 15 . 6 试题分析: f ??x ? ? 6 x ? 2 f ??2? , f ??2? ? 12 ? 2 f ??2? ,所以, f ??2? ? ?12 ,

又? f '(5) ? 30 ? 2 f '(2) ? 6 ,所以 f ??5? ? 6 .
16.①? 17. (1)检测数据的频率分布直方图如图:

?????5 分 ( 2)检测数据中

醉酒 驾驶的频 ?????6 分 ?????8 分 含 量 的 平

2 ?1 ? 0.15 率是 20

估计检测数据中酒精含量的众数是 35 与 55. 估 计 检 测 数 据 中 酒









0.015 ?10 ? 25 ? 0.020 ?10 ? 35 ? 0.005 ?10 ? 45 ? 0.020 ?10 ? 55 ?0.010 ?10 ? 65 ? 0.015 ?10 ? 75 ? 0.010 ?10 ? 85 ? 0.005 ?10 ? 95 ? 55 ?????10 分
2 2 18.试题解析:由 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 ,又 a ? 0 ,

所以 a ? x ? 3a . 由?

?????2 分 得?

? x2 ? x ? 6 ? 0
2 ?x ? 2x ? 8 ? 0

? ?2 ? x ? 3 得2 ? x ? 3, ? x ? 2或x ? ?4

?????4 分

?p 是 ?q 的充分不必要条件,即 ?p ? ?q ,且 ?q 推不出 ?p .
即 q 是 p 的充分不必要条件, 则? ?????6 分 ?????10 分 ?????12 分

?3a ? 3 , ?a?2

解得 1 ? a ? 2 ,所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 .

19. (Ⅰ) 前三次射击成绩依次记为 x1、x2、x3 , 后三次成绩依次记为 y1、y2、y3 , 从这 6 次 射 击 成 绩 中 随 机 抽 取 两 个 , 基 本 事 件 是 :

{x1, x2},{x1, x3},{x2 , x3}, { y1 , y2},{ y1, y3},{ y2 , y3}, {x1, y1},{x1, y2},{x1, y3}, {x2 , y1},{x2 , y2},{x2 , y3}, {x3 , y1},{x3 , y2},{x3 , y3} ,共 15 个
?????3 分

答案第 2 页,总 4 页

9 3 ? .???6 分 15 5 (Ⅱ) 因为着弹点若与 A、B、C 的距离都超过 1 cm, 则着弹点就不能落在分别以 A、B、C
其中可使 | a ? b |? 1 发生的是后 9 个基本事件.故 P (| a ? b |? 1) ? 为中心,半径为 1 cm 的三个扇形区域内,只能落在扇形外. 因为 S?ABC = ?????7 分 ?????8 分

1 9 3 ? 3 ? 3sin 60? ? , 2 4 1 2
2

部分的面积为 S ? ? S?ABC ? 3 ? ?1 ?

?
3

?

9 3 ? ? , 4 2

?????10 分

故所求概率为 p ?

S? S?ABC

? 1?

2 3? . 27

???????12 分

20.解:设小正方形的边长为 x cm,则盒子底面长为( 8 ? 2 x )cm,宽为( 5 ? 2 x )cm,

5 (0 ? x ? ) V ? (8 ? 2x)(5 ? 2x) x ? 4x ? 26x ? 40x , 2
3 2

????? 4 分 ?????6 分 ?????8 分 ??? 10 分

V ? ? 12x2 ? 52x ? 40, 令V ? ? 0, 得x ? 1或x ?

10 (舍去). 3

V极大值 ? V (1) ? 18
?Vmax ? 18

,在定义域内仅有一个极大值,

即小正方形边长为 1cm 时,盒子容积最大为 18cm

3

?????

12 分

21(1)由题意知 PQ ? AQ , 又? CP ? CQ ? PQ ? 4

?????2 分 ?????4 分

? CQ ? AQ ? 4 ? AC ? 2 3 由椭圆定义知 Q 点的轨迹是椭圆,
2a ? 4,即a ? 2,2c ? 2 3即c ? 3,? Q的轨迹方程E :

x2 ? y 2 ? 1 ?????6 分 4

(2)由题意知所求的直线不可能垂直于 x 轴,所以可设直线为: y ? kx -2?????7 分

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,联立方程组,将 y ? kx -2 代入

x2 ? y 2 ? 1中得 4

3 16 k 12 , x1 x2 ? ??8 分 (1 ? 4k 2 ) x 2 - 16 kx ? 12 ? 0, ? ? 0得k 2 ? . ? x1 ? x2 ? 2 4 1 ? 4k 1 ? 4k 2
又 ? S ?OMN ? 1 4 4k 2-3 ? OB ? x1 - x2 = ( x1 ? x2 ) 2-4x1 x2 ? =1.?????10 分 2 1 ? 4k2

答案第 3 页,总 4 页

? 即k ? ?

7 7 , 显然满足? ? 0. ? 所求的直线方程为 y?? x -2.?????12 分 2 2

1 ? MN .d 来求,可以酌情給分。 ) 2 1 2 22.解: (1) g ?( x) ? 3x ? 2ax ?1 ? 0 解为 ? ? x ? 1 3 1 2a ?? ? 1 ? ? ? a ? ?1 . g ( x) ? x3 ? x2 ? x ? 2 3 3
(也可以用 S ?OMN ?

??????2 分

(2)设切点为 ( x0,y0 ) ,则切线方程为 y ? y0 ? 3 x0 2 ? 2 x0 ? 1 ? x ? x0 ? ??????3 分 且 y0 ? x0 - x0 - x 0 +2,将(1,1)代入得 1- ( x0 - x0 - x 0 ? 2) ? (3x0 -2 x0 -1 ) ? (1 - x 0 ) 即
3 2

?

?

3

2

?????4 分

2

x0 ? x0 ? 1? =0
2

x0 =0或x0 =1

? y0 ? 2或y0 ? 1

?????5 分 ?????7 分 ?????8 分

切线方程为 y ? ? x ? 2或y ? 1 (3) 2 x ln x ? 3x2 ? 2ax ? 1 ? 2

2ax ? 2x ln x ? 3x2 ?1
2a ? 2 ln x ? 3 x ? 1 x

x?0

有解 ?????9 分

的 最大值

令 h( x) ? 2 ln x ? 3 x ?

1 2 1 ? ? x ? 1?? 3x ? 1? ,则 h?( x) ? ? 3 ? 2 ? ?????10 分 x x x x2
h( x) 单增, x ? 1 时 h?( x) ? 0 h( x) 单减
?????11 分 ??????????????12 分

0 ? x ? 1 时 h?( x) ? 0

? x ? 1 时, h( x) max ? ?4
? 2a ? ?4 a ? ?2

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