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吉林省实验中学2015届高三上学期第五次模拟考试数学(文)试题


吉林省实验中学 2015 届高三年级第四次模拟考试 数学(文)试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题 为选考题,其它题为必考题。

第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为 R ,集

合 A ? ?x | ?3 ? x ? 3? , B ? x ? 1 ? x ? 5 ,则 A A. ? ?3, ?1? B. (?3, ?1) C. (?3,0) D. (?3,3)

?

?

?CR B ? ?

2.设 i 是虚数单位,复数 z= ( ? A. ? i B. i

1 2

3 3 i ) 的值是 2
D.1

C. ? 1

3.若 p 是真命题, q 是假命题,则 A. p ? q 是真命题 B. p ? q 是假命题 C. ?p 是真命题 D. ?q 是真命题 4.某程序框图如图 2 所示,现将输出 ( x, y ) 值依次记为: ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), , ( xn , yn ), 若程 序运行中输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x ? A.32 C.18 B.24 D.16
?3

5.设 a ? log3 ? , b ? log 1 ? , c ? ?
3

,则 D. c ? b ? a

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. a ? c ? b

6.下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? A. y?s in (2 x? )

? 对称的是 3 ? 6

? 3

B. y?s in (2 x? )

in (2 x? ) C. y?s

? 6

( ? ) D. y ?sin

x ? 2 3

7.为大力提倡“厉行节约,反对浪费”,某市通过随机询问 100 名性别不同的居民是否能 做到“光盘”行动,得到如下的列联表: 做不到“光盘” 能做到“光盘”
第 1 页 共 12 页

男 女

45 30

10 15

P(K2 ? k) k

0.10

0.05

0.025

2.706 3.841 5.024

2 附: K ? ( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

n( ad ? bc )2

参照附表,得到的正确结论是 A.在犯错误的概率不超过 l%的前提下,认为“该市居民能否做到?光盘?与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 l%的前提下,认为“该市居民能否做到?光盘?与性别无关” C.有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到?光盘?与性别有关” D.有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到?光盘?与性别无关” 8.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,且在 [0,1] 上是增函数,则有
1 1 3 A. f ( ) ? f ( ? ) ? f ( ) 4 4 2 1 3 1 C. f ( ) ? f ( ) ? f ( ? ) 4 2 4 1 1 3 B. f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) 4 4 2 1 3 1 D. f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) 4 2 4

9.如图, 在 ?ABC中,AB ? BC ? 4, ?ABC ? 30o , AD 是边 BC 上的高, 则 AD ? AC 的 值等于

A.0

B .4

C .8

D. ?4

10.若 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ? 2 ,则下列不等式中: ① ab ? 1;② a ? b ?

1 1 2 ;③ a 2 ? b 2 ? 2 ;④ ? ? 2 . a b
D.②③④

对一切满足条件的 a , b 恒成立的序号是 A.①② B.①③ C.①③④
2 2

11.已知双曲线 C :

x y ? 2 ? 1 的左、 右焦点分别是 F1 , F2 , 正三角形 AF1F2 的一边 AF1 与 2 a b

双曲线左支交于点 B ,且 AF 1 ? 4BF 1 ,则双曲线 C 的离心率的值是
第 2 页 共 12 页

A.

3 ?1 2

B.

3 ?1 2

C.

13 ?1 3

D.

13 ? 1 3

12.已知函数 f ( x) ? x ? sin x( x ? R) ,且 f ( y 2 ? 2 y ? 3) ? f ( x2 ? 4x ? 1) ? 0 ,则

y 的取值范围是 x ?1 4 3 A. [0, ] B. [0, ] 3 4
当 y ? 1 时,

C. [ , ]

1 4 4 3

D. [ , ]

1 3 4 4

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.设 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 2 , 若 f (x) 在 x=1 处的切线与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 垂直, 则实数 a 的 值为 .

14.为了调查城市 PM2.5 的值,按地域把 36 个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数 分别为 6、12、18。若用分层抽样的方法抽取 12 个城市,则乙组中应抽取的城市数 为 。 15.一空间几何体的三视图如右图所示, 该几何体的体积为 12? ?

8 5 , 3
.

则正视图与侧视图中 x 的值为 16.给出以下四个结论: ① 函数 f ( x ) ?

2x ?1 的对称中心是 (?1, 2) ; x ?1

② 在△ ABC 中,“ A ? B ”是“ cos 2 A ? cos 2 B ”的充分不必要条件; ③ 在△ ABC 中,“ b cos A ? a cos B ”是“△ ABC 为等边三角形”的必要不充分条件; ④ 若将函数 f ( x ) ? sin(2 x ?

?
3

) 的图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位后变为偶函数, 则? 的
(写出所有的正确结论的序号)

最小值是

?
12

.其中正确的结论是:

第 3 页 共 12 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知正项数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 满足 an ?

Sn ? Sn?1 (n ? 2) .

(I)求证: { Sn } 为等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; (II)记数列 {

1 } 的前 n 项和为 Tn ,若对任意的 n ? N * ,不等式 4Tn ? a 2 ? a 恒成 a n a n ?1

立,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、 可回收物和其他垃 圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该 市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨): “厨余垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 “可回收物”箱 100 240 20 “其他垃圾”箱 100 30 60

(I)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (II)试估计生活垃圾投放错误的概率; (III)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 a , b, c ,
2 其中 a ? 0 , a ? b ? c ? 600 .当数据 a , b, c 的方差 S 最大时,写出 a , b, c 的值(结论不要求 2

证明 ), 并求此时 S 的值 .( 注 : 方差 s 2 ? [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ?

1 n

? ( xn ? x) 2] , 其中 x 为

x1 , x2 ,

xn 的平均数)

第 4 页 共 12 页

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD ,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直 ,底面 ABCD 是 ?ABC ? 60? 的菱形, M 为 PC 的中点. (I)求证: PC ? AD ; (II) 求点 D 到平面 PAM 的距离.

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a>b>0)与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方) , a2 b2

F 为左焦点,原点 O 到直线 FA 的距离为
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率;

2 b. 2

(Ⅱ)设 b=2,直线 y=kx+4 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,求证:直线 BM 与直 线 AN 的交点 G 在定直线上.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

ln x ? 1 , x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间和极值; (Ⅱ)若对任意的 x ? 1 ,恒有 ln( x ? 1) ? k ? 1≤ kx 成立,求 k 的取值范围; (Ⅲ)证明:

ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? n ? 1 ( n ? N ? ,n ≥ 2 ) . ? ? ....... ? ? 22 32 n2 4(n ? 1)

第 5 页 共 12 页

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1 :几何证明选讲 直线 MN 交圆 O 于 A, B 两点,AC 是直径,AD 平分 ?CAM , 交圆 O 于点 D , 过D作

DE ? MN 于 E 。
(Ⅰ)求证: DE 是圆 O 的切线; ( II )若 DE ? 6, AE ? 3 ,求 ?ABC 的面积。

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? (?为参数) , M 是曲线 C1 上的动点,且 M 是线 ? y ? 2 ? 2 sin ?

段 OP 的中点, P 点的轨迹为曲线 C 2 ,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? 线 l 与曲线 C 2 交于 A , B 两点。 (Ⅰ)求曲线 C 2 的普通方程; (II)求线段 AB 的长。

?
4

) ? 2 ,直

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? 2a , a ? R 。 (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? 1 的解集为 {x | 1 ? x ? 3} ,求 a 的值; (II)若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 ? 3 ,求实数 a 的取值范围。

第 6 页 共 12 页

吉林省实验中学 2015 届高三年级第四次模拟考试 数学(文)答案及评分标准
二、选择题答案 1 A 2 C 3 D 4 A 5 C 15. 3 6 B 7 C 8 B 9 B 10 C 11 D 12 D

二、填空题: 13. ?1 14.4 三、解答题:

16.① ③ ④

17.解(1)? 当 n ? 2 时, an ?

Sn ? Sn ?1 ,? Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ,

即 Sn ? Sn ?1 ? 1,所以数列 { Sn } 是首项为1,公差为1的等差数列,故 Sn ? n , 故 an ? Sn ? Sn ?1 ? n ? (n ? 1) ? 2n ? 1 ( n ? 2 ) ,当 n ? 1 时也成立; 因此 an ? 2n ? 1 (2)? ………………………6分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? (1 ? )? , ? Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2
又? 4Tn ? a 2 ? a ,? 2 ? a ? a ,解得 a ? ?1 或 a ? 2 ,
2

即所求实数 a 的取值范围为 a ? ?1 或 a ? 2 . 18、 解: (1)厨余垃圾投放正确的概率约为

400 2 “ 厨余垃圾” 箱里厨余垃圾量 = = 400+100+100 3 厨余垃圾总量
(2)设生活垃圾投放错误为事件 A,则事件 A 表示生活垃圾投放正确. 事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃 圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其 他 垃 圾 ” 箱 里 其 他 垃 圾 量 的 总 和 除 以 生 活 垃 圾 总 量 , 即 P( A ), 约 为

40+ 0 2+ 40 60 =0.7 .所以 P(A)约为 1-0.7=0,3. 1000
第 7 页 共 12 页

(3)当 a ? 600 , b ? c ? 0 时, S 取得最大值.因为 x ?
2

1 (a ? b ? c ) ? 200 , 3

所以 S2 ? [(600 ? 200) ? (0 ? 200) ? (0 ? 200) ] ? 8000
2 2 2

1 3

19.

(Ⅰ)方法一:取 AD 中点 O ,连结 OP, OC , AC ,依题意可知△ PAD ,△ ACD 均为正三

角形, 所以 OC ? AD , OP ? AD ,又 OC

OP ? O , OC ? 平面 POC , OP ? 平面 POC ,

所以 AD ? 平面 POC ,又 PC ? 平面 POC ,所以 PC ? AD . 方法二:连结 AC ,依题意可知△ PAD ,△ ACD 均为正三角形, 又 M 为 PC 的中点,所以 AM ? PC , DM ? PC , 又 AM
Q A B C

P

M O

DM ? M , AM ? 平面 AMD , DM ? 平面 AMD ,

所以 PC ? 平面 AMD , 又 AD ? 平面 AMD ,所以 PC ? AD . 四点共面 , 证明如下 :

D

(Ⅱ)当点 Q 为棱 PB 的中点时, A, Q, M , D

取棱 PB 的中点 Q , 连结 QM , QA , 又 M 为 PC 的中点 , 所以

QM // BC ,
在菱形 ABCD 中 AD // BC ,所以 QM // AD ,所以 A, Q, M , D 四点共面. 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离, 由(Ⅰ)可知 PO ? AD ,又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD 在 Rt?POC 中, PO ? OC ? 3 , PC ? 6 , 在 ?PAC 中, PA ? AC ? 2 , PC ? 6 ,边 PC 上的高 AM ? 所以 ?PAC 的面积 S?PAC ? 平面 ABCD ? AD , (Ⅲ)点 D

PO ? 平面 PAD ,所以 PO ? 平面 ABCD ,即 PO 为三棱锥 P ? ACD 的体高.

PA2 ? PM 2 ?

10 , 2

1 1 10 15 , PC ? AM ? ? 6 ? ? 2 2 2 2 1 1 S?PAC ? h ? S ?ACD ? PO , 设点 D 到平面 PAC 的距离为 h ,由 VD? PAC ? VP? ACD 得 3 3
又 S?ACD ?

3 2 1 15 1 ? 2 ? 3 ,所以 ? ?h ? ? 3? 3 , 4 3 2 3

解得 h ?

2 15 , 5

所以点 D 到平面 PAM 的距离为

2 15 .………………12 分 5

第 8 页 共 12 页

20.解: (Ⅰ)设 F 的坐标为(–c,0),依题意有 bc=

2 ab, 2
…………3 分

∴椭圆 C 的离心率 e=

c 2 = . a 2

(Ⅱ)若 b=2,由(Ⅰ)得 a=2 2 ,∴椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 . …………5 分 8 4

联立方程组 ?

? x 2 ? 2 y 2 ? 8, ? y ? kx ? 4
3 2

化简得:(2k2+1)x2+16kx+24=0, 由△=32(2k2–3)>0,解得:k2> 由韦达定理得:xM+xN=

? 16k 24 …①,xMxN= 2 …② …………7 分 2 2k ? 1 2k ? 1

设 M(xM,kxM+4),N(xN,kxN+4),

MB 方程为:y=

kxM ? 6 x–2,……③ xM kxN ? 2 x+2,……④ xN 2(kxM x N ? x M ? 3x N ) 3x N ? x M
…………9 分

NA 方程为:y=

由③④解得:y=

…………10 分

2(
=

24k ? 16k 8k ? 2 ? 2 x N ) 2( 2 ? 2xN ) 2 2k ? 1 2k ? 1 = 2k ? 1 =1 16k ? 16k 4 xN ? 2 4 xN ? 2 2k ? 1 2k ? 1

即 yG=1, ∴直线 BM 与直线 AN 的交点 G 在定直线上. …………12 分

第 9 页 共 12 页

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22.解: (Ⅰ)连接 OD ,则 OA ? OD ,则 ?OAD ? ?ODA ,

∵ ?EAD ? ?OAD ,∴ ?EAD ? ?ODA 。 ∵ ?EAD ? ?EDA ? 90? ,∴ ?EDA ? ?ODA ? 90? ,即 DE ? OD 。 ∴ DE 是圆 O 的切线。
2 2 (Ⅱ)∵ DE 是圆 O 的切线,∴ DE ? EA ? EB ,即 6 ? 3(3 ? AB) ,∴ AB ? 9 。

∵ OD // MN ,∴ O 到 MN 的距离等于 D 到 MN 的距离,即为 6。 又∵ O 为 AC 中点,∴ C O 到 MN 的距离等于 12。 故 ?ABC 的面积

S?

。 1 AB ? BC ? 54 2

23.解: (Ⅰ)设 P ( x, y ) ,则由条件知 M ( ,

x y ) 。因为点 M 在曲线 C1 上, 2 2

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?x ? 2 ? 2 cos? ? x ? 4 cos? ? 所以 ? ,即 ? 。化为普通方程为 x 2 ? ( y ? 4) 2 ? 16,即 y ? y ? 4 ? 4 sin ? ? ? 2 ? 2 sin ? ? ?2
为曲线 C 2 的普通方程。 (Ⅱ) 直线 l 的方程为 ? sin( x ? · · · · · · · · · 5 分

?
4

)? 2, 化为直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 。 由 (Ⅰ)

知 曲 线 C 2 是 圆 心 为 (0,4) , 半 径 为 4 的 圆 , 因 为 圆 C 2 的 圆 心 到 直 线 l 的 距 离

d?

4?2 2

· · · · · · · · · · 10 分 ? 2 ,所以 AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 14 。 ·

24.解: (Ⅰ)由题意可得 x ? 2a ? 1可化为 2a ? 1 ? x ? 2a ? 1 ,即 ? 解得 a ? 1 。 · · · · · · · · · · 5分

?2 a ? 1 ? 1 , ?2 a ? 1 ? 3

(Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? x ? x ? 2a ? x ? ?

?2 x ? 2a, x ? 2a , ?2a, x ? 2a
3 。 2

所以函数 g ( x) ? f ( x) ? x 的最小值为 2 a ,根据题意可得, 2a ? 3 ,即 a ? 所以 a 的取值范围为 ( ?? , ) 。· · · · · · · · · · 10 分

3 2

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