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(课件)1.1任意角和弧度制


1.1

任意角

教学目标:
1.通过实例,使学生理解角的概念推广的

必要性

2.理解任意角的概念,根据角的终边

旋转方向,能判定正角、负角和零角
3.学会建立直角坐标系来讨论任意角,

能够根据终边判断象限角,掌握终边

相同角的表示方法

教学重点:
1.任意角的概念,象限角的概念 2.掌握终边相同的角的表示方法

及判定
教学难点: 把终边相同的角用集合和符号语言

正确地表示出来

1.初中所学角是如何定义的? 具有公共顶点的两条 射线组成的图形 2.初中学习过哪些角? 锐角、直角、钝角、 平角、和周角 3.初中学习的角的范围? 0? <α≤360?

观察一组图片

1.钟表的指针旋转

2.自行车的车轮周而复始地转动 一根辐条

3.在跳水运动中,
“转体720?”、 “转体1080?”等动

作名称的含义

(一)角的概念:
平面内一条射线绕着端点从一个位置

旋转到另一个位置所形成的图形
终边
B

“旋转”形成角
顶点
o

A

始边

(二)角的分类:
正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 如α =-150?.

零角:没有作任何旋转的角.记作 α=0?. 角的概念推广后,它包括任意大小的 正角、负角和零角

注意 ⑴在不引起混淆的情况下,“角? ” 或“∠? ”可以简化成“? ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果? 是零角? = 0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正 角、负角和零角.

1.从中午12点到下午3点,
-900 时针走过的角度是__

2.钟表经过4小时,时针与

分针各转了_____________ -1440? -120? 、
看谁答得快

(三)角的位置:
1.象限角

y B1 o B2

x

在直角坐标系内,角的顶点与

原点重合,始边与x轴的非负半轴
重合,那么角的终边在第几象限, 我们就说这个角是第几象限角.

2.非象限角(界限角、轴线角)

终边落在x轴和y轴上的角
当角的终边不落在象限内,这样的角 还是象限角吗? 否
y y

o

x

o

x

1 .在直角坐标系中,作出下列各角 (1) 30° (2)120 ° (3)-60 ° (4) 225°

指出它们是第几象限角

30° 是第一象限角 120 °是第二象限角 -60 °是第四象限角 225° 是第三象限角

2. 在 同 一 直 角 坐 标 系 内 作 出 30° 、 390°、 -330°、 750°,观察它们终边 的关系 390°= 30°+___ 1· 360°
___ 360° -330°= 30°+(-1)· 750°= 30°+___ 2· 360° 归纳: 与30°终边相同的角的集合

{β ︱β = 30°+ k· 360°,k∈Z}

写出与-60°终边相同的角的集合 {β︱β= -60 °+ k· 360°,k∈Z} 写出与0°终边相同的角的集合

{β︱β= 0 °+ k· 360°,k∈Z}

(四)角的关系:
终边相同的角的表示方法 一般地,所有与角α 终边相同的角,
连同角α 在内,可构成一个集合 S={β ︱β =α+k· 360°,k∈Z} 即任何一个与角α终边相同的角,

都可以表示成角α与周角的整数倍的和.

注意以下四点:

(1) k ? Z
0

(2) ?是任意角;

(3) k ? 360 与?之间是“+”号, 0 0 如k ? 360 -30°,应看成 k ? 360 +(-30°) (4)终边相同的角不一定相等,但相等 的角,终边一定相同,终边相同的角 有无数多个,它们相差360°的整数倍.

例1. 在0? 到360? 范围内,找出与下列各角终边
相同的角,并判断它是哪个象限的角.

(1) -120? ;(2) 640? ;(3) -950? 12′.
解:⑴∵-120? =-360? +240? , ∴240? 的角与-120? 的角终边相同, 它是第三象限角. ⑵ ∵640? =360? +280? , ∴280? 的角与640? 的角终边相同, 它是第四象限角.

⑶ ∵-950?12’=-3?360?+129?48’,
∴129?48’的角与-950?12’的角终边相同,

它是第二象限角.

例2终边在y轴正半轴上角的集合 {β ︱β =
0 90

+k· 360°,k∈Z}

终边在y轴负半轴上角的集合

{β ︱β = 2700+k?360°,k∈Z}

或{β︱β= -900+k?360°,k∈Z}

终边在y轴上角的集合为

{β ︱β = 900+k· 360°,k∈Z}∪
{β ︱β =
0 270 +k· 360°,k∈Z}

1.与-496°终边相同的角

是 -496°+k· 360° (k∈Z) ;

224° 它们中最小正角是_____ 它是第 三 象限的角;

2.下列命题中正确的是( D ) A.终边在y轴上的角是直角

B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角 D.若β=α+k· 360°(k∈Z),则α

与β终边相同

例2.写出终边在直线y=x上的角的集合S, 并把S中适合不等式-360 ? ≤β< 720 ? 的元素β写出来. 解 S={β∣β= 45°+ k·360°,k∈Z} ∪ {β∣β= 225°+k·360°,k∈Z}=
S={β∣β= 45°+ k·180°,k∈Z} S中适合-360 °≤β< 720 °的 元素是: 45 ?- 2?180°=- 315 ? ,

角的 概念

角的 大小

角的 位置

角的 关系

正角 负角 零角

象限角 轴线角

终边相同角

1.掌握终边相同的角的 表示方法及判定 2.注意: 00到900的角;

00~3600的角; 第一象限角;锐角;
小于900的角的区别

课后作业
1. 阅读教材P.2-P.5;

2. 教材P.5练习第1-5题;
3. 教材P.9习题1.1第1、2、3题.

模仿一下吧

写出与-45? 角终边相同的角的集合S, 并把S中适合不等式-720?≤β<360? 的元素β写出来.
解 S={β∣β= -45? + k·360°,k∈Z}.

S中适合-720? ≤β< 360? 的 元素是: -45? 315? -405?

能力提升

· 角α的终边经过P(-3,0),则角α(
A.是第三象限角

) D

B.是第二象限角
C.既是第二象限角又是第三象限角 D.不属于任何象限

· 已知A={第一象限的角}, B={锐角},C={小于90? 的角},

则下列关系式正确的是( D )
A. A=B=C C. A∩C=B B. B∪C=A D. B∪C=C

· 若α是锐角,则k·180?+α, (k∈Z)

所在的象限是( C )
A.第一象限 B.第一、二象限

C.第一、三象限 D.第一、四象限

探讨 1、用集合的形式表示下列各角
(1)第一象限角构成的集合

?? | k ? 360
o

o

? ? ? 90 ? k ? 360 , k ? Z
o o

?

(2)第二象限角构成的集合

?? | 90

? k ? 360 ? ? ? 180 ? k ? 360 , k ? Z
o o o

?

(3)第三象限角构成的集合

?? | 180

o

? k ? 360 ? ? ? 270 ? k ? 360 , k ? Z
o o o
o o o

?
?

(4)第四象限角构成的集合

?? | 270

o

? k ? 360 ? ? ? 360 ? k ? 360 , k ? Z

探讨 2、若?是第二象限角
则2?是第几象限角? ?
2 是第几象限角?

?
3

是第几象限角?

3、已知α,β角的终边相同,那么α -β的终边 在( ) A B y轴的非负半轴上 A x轴的非负半轴上

C x轴的非正半轴上

D y轴的非正半轴上

4、终边与坐标轴重合的角的集合是( C ) A {β|β=k· 360? (k∈Z) } B {β|β=k· 180? (k∈Z) } C {β|β=k· 90? (k∈Z) } D {β|β=k· 180? +90? (k∈Z) }

5 、已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是 ( C ) A 第一象限角 C 第一、三象限角 B 第一、二象限角 D 第一、四象限角 ) C

6、若α是第四象限角,则180? -α是( A 第一象限角 C 第三象限角 B 第二象限角 D 第四象限角

7、在直角坐标系中,若α与β终边互相垂直,

那么α与β之间的关系是(
A. β=α+90o

)D

B β=α±90o
C β=k· 360o+90o+α,k∈Z

D β=k· 360o±90o+α, k∈Z
8、若90? <β<α<135? ,则α-β的范围是 (0? ,45? ) ,α+β的范围是___________; (180? ,270? ) __________

9、若β的终边与60? 角的终边相同,那么在 ? [0? ,360? ]范围内,终边与角 的终边相同的角
3

为______________; 解:β=k· 360? +60? ,k∈Z. 所以
?
3

=k· 120? +20? , k∈Z.

当k=0时,得角为20? ,

当k=1时,得角为140? ,
当k=2时,得角为260? .


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