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福建省南安一中2011-2012学年高一下学期期末试题数学


2011~2012 学年南安一中高一年下学期期末考数学试卷
2012.07 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 1.在程序设计中,要将两个数 a=2011,b=2012 交换,使得 a=2012,b=2011,使用赋 值语句正确的一组是( A. a=b B. ) C. D.

/>
b=a

c=b b=a a=c

b=a a=b

a=c c=b b=a
) D.7 n ? 11 ) D.

2. 等差数列 ?an ? 中,若 a2 ? 3, a5 ? 24 ,则通项 an = ( A.3 ? 2
n ?1

B.3 ? 2

n?2

C.7 n ? 4

3.已知 tan ?? ? ? ? ? 3, tan ?? ? ? ? ? 5 ,则 tan 2? 的值等于( A. ?

4 7

B. ?

1 7
)

C. ?

1 8

1 2

4.下面结论中正确的是(

a A.若 a ? b ,则有 ? 1 b
C.若 a ? b ,则有 a ? c ? b ? c

B.若 a ? b ,则有

1 1 ? a b

D.若 a ? b ,则有 | a |? b

?x ? y ?1 ? 0 ? 5.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? 1 ? 0 所表示的平面区域的面积为( ?x ? y ?1 ? 0 ?
A.

)

1 2

B.1

C.2 )

D .3

6.若函数 y ? A. ? ?2, 2?

x2 ? mx ? 1 的定义域为 R ,则 m 的取值范围(
B. ? ?2, 2? C. ? ??,?2? ? ? 2,??? D.

? ??,?2? ??2,???
)ks5u

7. 函数 y ? sin 2 x 作怎样的变换可得到函数 y ? sin ? 2 x ? A.向左平移 单位 8.已知 ? ? 0,0 ? ? ? ? ,直线 x ? 邻的对称轴,则 ? ? ( )

? ?

??

?( 6?

? ? ? ? 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个 12 12 6 6

?
3

和x?

4? 是函数 f ? x ? ? sin ??x ? ? ? 图象的两条相 3

A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6


?? ? 9.函数 y ? 2sin ? x ? ? (0 ? x ? ? ) 的最大值与最小值之和为( 3? ?
A. ?1 ? 3 B.-1 C.0

D. 2 ? 3

10. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把 100 个 面包分给 5 个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 问最小 1 份是( A. ) B.

1 是较小的两份之和, 7

5 3

10 3

C.

5 6

D.

11 6

11. 定义:平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长 度相同)称为平面斜坐标系.在平面斜坐标系 xoy 中,若 OP ? xe1 ? ye2 (其中 e1 , e2 分别 是斜坐标系中的 x 轴和 y 轴正方向上的单位向量, x, y ? R , O 为坐标原点),则称有序数 对 ? x, y ? 为点 P 的斜坐标.在平面斜坐标系 xOy 中,若点 M 的斜坐标为(1,2),点 N 的 斜坐标为(3,4),且 ?xoy ? 600 ,则 MN 等于 ( A.1 B.2 C. 2 2

??? ?

???? ?

) D. 2 3

12 . 定 义 一 种 向 量 之 间 的 ? 运 算 : a ? b = c , 若 a = ? a1 , a2 ? , b = ? b1 , b2 ? , 则 向 量

?1 ? ?? ? c = ? a1b1, a2b2 ? .已知 m ? ? , 2 ? , n ? ? , 0 ? ,且点 P( x, y) 在函数 y ? cos 2x 的图象上 ?2 ? ?6 ?
运动,点 Q 在函数 y ? f ( x) 的图象上运动,且点 P 和点 Q 满足: OQ ? m ? OP ? n (其 中 O 为坐标原点) ,则函数 y ? f ( x) 的最大值 A 及最小正周期 T 分别为( A. )

??? ?

??? ?

1 ? , 2 2

B.

1 ,? 2

C. 2 ,

?
2

D. 2 ,? 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.
2 2 13 . 在 △ ABC 中 , 若 s i n A ? s i n B ?

s i2n C, 则 △ ABC 的 形 状 是

三角形(填“锐角”或“直角”或“钝角” ) 14.一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3 (单位:牛顿)的作用而处于平 衡状态.已知 F1 , F2 成 60 角,且 F1 , F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的
0

大小为 15.执行右图所示程序框图所表达的算法,其输出的结果应为 .

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 16.若在约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 下 , ? x ? 0, y ? 0 ?
目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 12.给出下列四个判断: ① ab ?

3 2 3 25 2 2 ; ② ? ? ; ③ ?a ? b ? ? 4 ; min 2 a b 6



1 b ?1 ? ? 3. 4 a ?1

其中正确的判断是

. (请写出所有正确判断的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤, 请在指定区域内作答,否则该题计为零分. 17. (本小题满分 12 分) 已知不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A ,不等式 x ? 7 x ? 10 ? 0 的解集为 B .
2 2

(Ⅰ) 求 A ? B ; (Ⅱ)若不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 A ? B ,求 a ? b 的值.
2

18. (本小题满分 12 分) 已知 a ? ? cos x,sin x ? , b ? ? 2sin x,sin x ? cos x ?? x ? R ? ,设函数 f ? x ? ? a ?b . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间. ks5u 19. (本小题满分 12 分)求值: (Ⅰ) 已知 sin ?? ? ? ? cos? ? cos ?? ? ? ? sin? ? 的值; (Ⅱ)求值: sin 45 ? cos 75 ? sin45 ? cos75 .
2 0 2 0 0

3 ?? ? ? 是第三象限角, , 求 sin ? ? ? ? 5 4? ?

20. (本小题满分 12 分)如图,定点 A,B 的坐标分别为 A? 0,27? ,B ? 0,3? , 一质点 C 从原点出发, 始终沿 x 轴的正方向运动, 已知第 1 分钟内, 质点 C 运 动了 1 个单位,之后每分钟内比上一分钟内多运动了 2 个单位,记第 n 分钟

内质点运动了 an 个单位,此时质点的位置为 ? Cn ,0? . (Ⅰ)求 an 、 Cn 的表达式; (Ⅱ)当 n 为何值时, tan ?ACn B 取得最大,最大值为多少? 21. (本小题满分 12 分) .对任意函数 f ? x ? , x ? D ,可按右图构造 一个数列发生器.记由数列发生器产生数列 ?xn ? . (Ⅰ)若定义函数 f ? x ? ? 列 ?xn ? 的所有项; (Ⅱ)若定义函数 f ? x ? ? 2x ? 3 ,且输入 x0 ? ?1 ,求数列 ?xn ? 的通项公式 xn . (Ⅲ)若定义函数 f ? x ? ? x sin x ? 0 ? x ? 2? ? ,且要产生一个无穷 的常数列 ?xn ? ,试求输入的初始数据 x0 的值及相应数列 ?xn ? 的通项 公式 xn . 22. (本小题满分 14 分)在如图所示的直角坐标系中,

4x ? 2 49 ,且输入 x0 ? ,请写出数 x ?1 65

B 为单位圆在第一象限内圆弧上的动点, A ?1,0 ? ,设

?? ? ?AOB ? x ? 0 ? x ? ? ,过 B 作直线 BC / /OA ,并交直 2? ?
线 y ? ? 3x 于点 C .ks5u (Ⅰ)求点 C 的坐标 (用 sin x 表示) ; (Ⅱ)判断 ?CAO 能否为 45 ?若能,求出点 C 的坐
0

标,若不能,请说明理由. (Ⅲ) 试求 ?ABC 的面积的最大值,并求出相应 x 值.

2011~2012 学年南安一中高一年下学期期末考数学试卷答 案
一、选择题 1~6: B D A C B B ;7~12: C A D A D C

二、填空题 13.钝角; 三、解答题
2 17.解:(Ⅰ)由 x ? 2 x ? 3 ? 0 得 ?1 ? x ? 3 ,所以 A ? ? ?1,3? .???? 2 分

14. 2 7 ;

15.45;

16.①②④

由 x ? 7 x ? 10 ? 0 得 x ? 2 或 x ? 5 ,所以 B ? ? ??,2? ?(5, ??) .???? 4 分
2

? A ? B ? ? ??, 3 , ? . ????6 分 ? ? ? 5??
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A ? B ? ? ?1,2? ????7 分 则不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 ? ?1, 2? ,即 x ? ax ? b ? 0 的根为 ?1, 2 ,????9 分
2 2

? ??1 ? 2 ? ?a, ?? ? a ? ?1,b ? ?2 ,????11 分 ks5u ? ?? ?1? ? 2 ? b.
即 a ? b ? ?3 .???? 12 分

18. 解: (Ⅰ) f ? x ? ? a ?b ? ? cos x,sin x ? ? ? 2sin x,sin x ? cos x ?

? sin 2 x ? sin x cos x ?
∴函数 f ? x ? 的最小正周期 T ? (Ⅱ)由 ? 得 ?

1 ? cos 2 x 1 2 ? 1 ? sin 2 x = sin(2 x ? ) ? ,???5 分 2 2 2 4 2
????7 分

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
4

2? ?? 2

?

?

?
8

? k? ? x ?

3? ? k? ], k ? Z . ????12 分 8 8 3 19. 解: (Ⅰ)因为 sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? 5 3 3 所以 ? sin ? ? ,即 sin ? ? ? ,????3 分 5 5 4 又 ? 是第三象限角,所以 cos ? ? ? 5
所以函数 f ? x ? 在 R 上的单调递增区间为 [?

3? ? k? , k ? Z 8

2

? 2k? , k ? Z ????9 分

?

? k? ,

所以 sin ? ? ?

? ?

??

2 7 2 ????6 分 ? sin ? ? cos ? ? ? ? ?? 4? 2 10

1 1 ? cos 1500 2 (Ⅱ) sin 45 ? cos 75 ? sin 45 ? cos 75 = ? ? ? cos ? 450 ? 300 ? 2 2 2
2 0 2 0 0

?

1 1? 3? 2 2 ? 3 1? 1 1 3 3 1 3 ? ? 1 ? ? ? ?? ? ? = ? ? ? ? ? ????12 分 ? ? ? ? ? 2 2? 2 ? 2 2 ? 2 2? 2 2 4 4 4 4

20.解: (Ⅰ)由条件可知,第 n 分钟内,质点 C 运动了 an ? 1 ? 2 ? n ?1? ? 2n ?1 个单位, ks5u??2 分 所以 Cn ? 1 ? 3 ? ? ? ? 2n ? 1? ? (Ⅱ)? tan ?ACnO ?

n ?1 ? 2n ? 1? ? n2 .???? 4 分 2

27 3 ,tan ?BCnO ? 2 ,????6 分 2 n n 27 3 ? 2 2 n n ? 24 .???? 8 分 ?tan ?ACn B ? tan ? ?ACnO ? ?BCnO? ? 27 3 81 1 ? 2 ? 2 n2 ? 2 n n n

?

24 2 n2 ? 81 n2

?

4 ????10 分 3

81 ,即 n ? 3 时,等号成立.???? 11 分 n2 4 ∴ n ? 3 时, tan ?ACn B 最大,最大值为 .???? 12 分 3
当且仅当 n ?
2

4x ? 2 的定义域 D ? ? ??, ?1? ? ? ?1, ??? ???1 分 x ?1 49 11 11 1 1 把 x0 ? 代入可得 x1 ? ,把 x1 ? 代入可得 x2 ? ,把 x2 ? 代入可得 x3 ? ?1 65 19 19 5 5
21. 解: (Ⅰ)函数 f ? x ? ? 因为 x3 ? ?1? D , 所以数列 ?xn ? 只有三项: x1 ?

11 1 , x2 ? , x3 ? ?1 ???4 分 ks5u 19 5

(Ⅱ) f ? x ? ? 2x ? 3 的定义域为 R , 若 x0 ? ?1 ,则 x1 ? 1 , 则 xn?1 ? f ? xn ? ? 2xn ? 3 ,所以 xn?1 ? 3 ? 2 ? xn ? 3? ,

所以数列 ?xn ? 3? 是首项为 4 ,公比为 2 的等比数列, 所以 xn ? 3 ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,所以 xn ? 2n?1 ? 3 , 即数列 ?xn ? 的通项公式 xn ? 2n?1 ? 3 .???8 分 (Ⅲ) 若要产生一个无穷的常数列,则 f ? x ? ? x sin x ? x 在 ?0, 2? ? 上有解,???9 分 即 x ? sin x ?1? ? 0 在 ?0, 2? ? 上有解,则 x ? 0 或 sin x ? 1 ,所以 x ? 0 或 x ? 即当 x0 ? 0或x0 ?

?
2

?
2

时, xn ?1 ? xn sin xn ? xn

故当 x0 ? 0时, xn ? 0 ;当 x0 ?

?
2

时, xn ?

?
2

.???12 分

22.解: (Ⅰ)根据三角函数的定义,可知 B ? cos x,sin x ? ,????1 分 因为 BC / / OA ,所以 yC ? yB ? sin x , 因为 C 在直线 y ? ? 3x 上,所以 xC ? ?

3 3 yC ? ? sin x , 3 3

所以点 C 的坐标为 ? ?

? ? ?

? 3 sin x,sin x ? ? .????3 分 3 ?
0

(Ⅱ) ?CAO 不可能为 45 .????4 分, 理由如下: 若 ?CAO=45 ,则 ?ACO 中, ?AOC ? 120 ,??OCA ? 180 ? 120 ? 45 ? 15
0

0

0

0

0

0

由正弦定理有

OC OA 1 6? 2 0 0 0 ? ? ,又 sin15 ? sin ? 45 ? 30 ? ? 0 0 0 sin 45 sin15 sin15 4
2

所以 OC ? 3 ? 1 ,所以 OC 由(Ⅰ)知 OC ?
2

? 4 ? 2 3 ,????6 分

4 2 4 4 sin x ? ,且 4 ? 2 3 ? 3 3 3
0

所以 ?CAO 不 ?CAO 不可能为 45 .????8 分 (Ⅲ) 因为 BC / / OA ,所以 A 到边 BC 的距离为 yB ? sin x , 又 BC ? cos x ?

3 sin x ,????9 分 3

所以 S ?ABC ? f ( x) ?

? 1? 3 cos x ? sin x ? ? ? ? sin x ????10 分 2? 3 ? ?

1? 3 2 ? 1?1 3 1 ? cos 2 x ? ? ? cos x sin x ? sin x ? ? ? sin 2 x ? ? ? ? ? ? ? 2? 3 3 2 ? 2?2 ? ? ? 1? 3 3 3? 3 1 3 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? ? ? ? ? ? ? 4? 3 6 ? 2 2 ? 12 ? 12

?

3 ? ?? 3 ????12 分 sin ? 2 x ? ? ? 6 6 ? 12 ?

因为 0 ? x ?

?
2

,所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? ,ks5u 6

所以当 2 x ?

?
6

?

?
2

即x?

?
3

时, f ? x ?max ?

3 3 3 .????14 分 ? ? 6 12 4


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