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4.4.2 参数方程和普通方程的互化


4.4.2 参数方程和普通方程的互化
教学目标: 教学目标: 1.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 1.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 2.选取适当的参数化普通方程为参数方程 2.选取适当的参数化普通方程为参数方程 重点,难点: 重点,难点: 参数方程与普通方程的等价性

x = cos θ + 3, 由参数方程 (θ 为参数)直接判断点M 的轨迹的 y = sin θ 曲线类型并不容易,但如果将参数方程转化为熟悉的普通 方程,则比较简单.

由参数方程得: cosθ = x 3 2 ,sin θ + cos2 θ = ( x 3)2 + y2 = 1 sinθ = y 所以点M的轨迹是圆心在(3,0),半径为1的圆.

参数方程和普通方程的互化: 参数方程和普通方程的互化:
(1)参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程 参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程 代入消元 消去参数 如:①参数方程

x = a + r cos θ , 消去参数θ θ y = b + r sin θ .

可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2. (x- +(y(x
x = t, ②参数方程 (t为参数) y = 2 t 4.

通过代入消元法消去参数t ,

可得普通方程:y=2x-4 (x≥0) y=2xy=2x

注意: 注意:
在参数方程与普通方程的互化中,必须使x 在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保 持一致. 持一致. 否则,互化就是不等价的. 否则,互化就是不等价的.

例1,把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各 把下列参数方程化为普通方程, 表示什么曲线? 表示什么曲线?
x= t + 1 (1) ( t为 参 数 ) y = 1 2 t
(1) 解: 因为x = t +1≥1

x= sinθ + cosθ (2) (θ为参数). y = 1+ sin2θ

所 以 普 通 方 程 是 y = 2 x + ( x ≥ 1) 3 1) 这 是 以 (1, 为 端 点 的 一 条 射 线 ( 包 括 端 点 )

( 2 )因 为 : x = sin θ + co s θ = 所以x ∈ 2 , 2

2 sin (θ +

π

4

)

所 以 普 通 方 程 是 x 2 = y, x ∈ 2 ,

2.

练习,将下列参数方程化为普通方程: 练习,将下列参数方程化为普通方程:
x = 2 + 3cosθ (1) y = 3sinθ

x = sinθ (2) y = cos2θ

x=t+1/t
(3)

y=t2+1/t2

步骤:(1)消参; 步骤: )消参; (2)求定义域. )求定义域.

)(x-2) (1)( )2+y2=9 (2)y=1- 2x2(- 1≤x≤1) )( ) ) (3)x2- y=2(X≥2或x≤- 2) ) ( 或 )

例2,求参数方程
θ θ x =| cos + sin |, 2 2 (0 < θ < 2π ) y = 1 (1 + sin θ ) 2

表示( ) B

(A)双曲线的一支 这支过点(1,1/2): )双曲线的一支, 这支过点( ): (B)抛物线的一部分 这部分过(1,1/2): )抛物线的一部分, 这部分过( ): (C)双曲线的一支 这支过点(–1, 1/2) )双曲线的一支, 这支过点( (D)抛物线的一部分 这部分过(–1,1/2) )抛物线的一部分, 这部分过(

小结: 小结: 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常 见方法有三种: 见方法有三种: 1.代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消 1.代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消 代入法 t, 去参数 2.三角法 三角法: 2.三角法:利用三角恒等式消去参数 3.整体消元法 根据参数方程本身的结构特征, 整体消元法: 3.整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从 整体上消去. 整体上消去. 化参数方程为普通方程为F(x,y)=0: 化参数方程为普通方程为F(x,y)=0:在消参过程中注 F(x,y)=0 变量x 取值范围的一致性, 意变量x,y取值范围的一致性,必须根据参数的取 值范围,确定f(t) g(t)值域得 f(t)和 值域得x 的取值范围. 值范围,确定f(t)和g(t)值域得x,y的取值范围.

参数方程和普通方程的互化: 参数方程和普通方程的互化:
(2)普通方程化为参数方程需要引入参数
的普通方程是2x-y+2=0,可以化为参数方程 如:①直线L 的普通方程是 ,

x = t, 为参数) (t为参数) 为参数 y = 2t + 2.
②在普通方程xy=1中,令x = tanθ,可以化为参数方程 中 θ 可以化为参数方程

x = tan θ , y = cot θ .

(θ为参数)

x2 y2 例3 求 椭 圆 + = 1的 参 数 方 程 . 9 4 ∵ cos 2 + sin 2 = 1 (1)设x=3cos,为参数; 令 x = cos , y = sin 3 2 x = 3 cos 为 参 数 y = 2 sin

(2)设 y= 2 t, t为 参 数 .
x = 3 1 t2 x = -3 1 t 2 (2) 参 数 方 程 是 或 y = 2t y = 2t

思考:为什么 中的两个参数方程合起来才是椭圆 思考:为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆 的参数方程? 的参数方程?

练习: 练习: 曲线y=x 的一种参数方程是( 2,曲线y=x2的一种参数方程是( ).
x = t2 A, 4 y = t x = sin t B, 2 y = sin t x = t C, y = t x = t D, 2 y = t

分析: 分析: 在y=x2中,x∈R, y≥0, y≥0,在A,B,C中,x,y的范围都
发生了变化, 不等价; 发生了变化,因而与 y=x2不等价; 而在D中, 的范围相同, x,y范围与y=x2中x,y的范围相同,

x = t 且以 y = t2

代入y=x 后满足该方程,从而D是曲线y=x 的一种参数方程. 代入y=x2后满足该方程,从而D是曲线y=x2的一种参数方程.

注意: 注意:
在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值 范围保持一致.否则,互化就是不等价的.


引入参数 普通方程 消去参数


参数方程

作业: 教材53 53页 作业: 教材53页 2.3.4.5


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