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2013届高考理科数学一轮复习课时作业(60)随机数与几何概型


课时作业(六十) 第 60 讲 随机数与几何概型 [时间:45 分钟 分值:100 分]
基础热身 1.已知地铁列车每 10 min(含在车站停车时间)一班,在车站停 1 min,则乘客到达站台 立即乘上车的概率是( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 10 9 11 8 2.如图 K60-1,有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为 45° ,若向圆内投镖,如果某人 每次都投入圆内,那么他投中阴影部分的概率为( )

图 K60-1 1 1 1 3 A. B. C. D. 8 4 2 4 3.如图 K60-2,已知正方形的面积为 10,向正方形内随机地撒 200 颗黄豆,数得落 在阴影外的黄豆数为 114 颗,以此试验数据为依据,可以估计出阴影部分的面积约为( )

图 K60-2 A.5.3 B.4.3 C.4.7 D.5.7 4.已知 Ω={(x,y)|3x+y≤4,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤y},若向区域 Ω 内随机投 入一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为( ) 3 2 A. B. 8 3 1 3 C. D. 4 4 能力提升 5.已知一个三角形的三边长分别是 5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大 小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2 的概率是( ) π π A.2- B.1- 3 6 π π C.2- D.1- 2 12 6.[2011· 哈尔滨九中二模] 某人向平面区域|x|+|y|≤ 2内任意投掷一枚飞镖,则飞镖 恰好落在单位圆 x2+y2=1 内的概率为( ) π 3π π 3π A. B. C. D. 4 4 8 6 → → → 7.已知 P 是△ABC 所在平面内一点,PB+PC+2PA=0,先向△ABC 内随机掷点,则 点落在△PBC 内的概率是( ) 1 1 2 1 A. B. C. D. 4 3 3 2 8.[2011· 长安一中质检] 某人向一个半径为 6 的圆形靶射击,假设他每次射击必定会 中靶,且射中靶内各点是随机的,则此人射中靶点与靶心的距离小于 2 的概率为( )
1

1 A. 13

1 B. 9

1 1 C. D. 4 2

9.[2011· 开封模拟]

?2x+y-4≤0, ?x+y-3≤0, 在不等式组? x≥0, ?y≥0 ?

所表示的平面区域内,点(x,y)

落在 x∈[1,2]区域内的概率是( ) 5 2 3 5 A. B. C. D. 7 7 14 14 10.利用随机模拟方法计算 y=x2 与 y=4 围成的面积时,利用计算器产生两组 0~1 区 间的均匀随机数 a1=RAND,b1=RAND,然后进行平移与伸缩变换 a=a1] . 11.[2011· 东北三省四市质检] 在棱长为 2 的正方体内随机取一点,取到的点到正方体 中心的距离大于 1 的概率为________.

?x -4x≤0, ? 12.若不等式组?-1≤y≤2, ?x-y-1≥0 ?

2

表示的平面区域为 M,(x-4)2+y2≤1 表示的平面区域

为 N,现随机向区域 M 内抛一粒豆子,则该豆子落在平面区域 N 内的概率是________. 13.[2011· 哈三中一模] 已知集合 M={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}表示的区域为 A,集合 N={(x,y)|y≤x2,0≤x≤1,0≤y≤1}表示的区域为 B,向区域 A 内随机抛掷一粒豆子,则豆子 落在区域 B 内的概率为________. 14.(10 分)设关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上 述方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根 的概率.

15.(13 分)设 O 为坐标原点,点 P 的坐标(x-2,x-y). (1)在一个盒子中,放有标号为 1,2,3 的三张卡片,现从此盒中有放回地先后抽到两张卡 片的标号分别记为 x,y,求|OP|的最大值,并求事件“|OP|取到最大值”的概率; (2)若利用计算机随机在[0,3]上先后取两个数分别记为 x,y,求 P 点在第一象限的概率.

难点突破 16.(12 分)设 AB=6,在线段 AB 上任取两点(端点 A,B 除外),将线段 AB 分成了三条 线段. (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率; (2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率.

2

课时作业(六十) 【基础热身】 1.A [解析] 试验的所有结果构成的区域长度为 10 min,而构成事件 A 的区域长度为 1 1 min,故 P(A)= . 10 1 2.A [解析] 阴影部分的面积是整个圆的面积的 . 8 200-114 3.B [解析] 根据随机模拟的思想,这个面积是 10× =4.3. 200 4.D [解析] 如图,区域 Ω 为三角形区域 OAB,区域 A 为三角形区域 OBC,所求的 2 3 概率为△OBC 与△OAB 的面积之比,即 P= = . 8 4 3

【能力提升】 5.B [解析] 如图,当蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2 时,蚂蚁要在图中 的空白区域内.△ABC 为等腰三角形,易知 AD=4,△ABC 的面积是 12,由于三角形内角 和等于 π,图中的三个扇形的面积之和等于一个半径为 2 的圆的面积的一半,即三个扇形的 12-2π π 面积之和等于 2π,故空白区域的面积是 12-2π,所求的概率为 =1- .正确选项为 12 6 B.

6. A π P为 . 4

[解析] 区域|x|+|y|≤ 2是边长为 2 的一个正方形区域(如下图), 由图知所求概率

→ → → [解析] 根据PB+PC+2PA=0 知,点 P 是△ABC 的 BC 边上中线的中点,故△ 1 PBC 的面积等于△ABC 面积的 . 2 1 8.B [解析] 射中区域的面积与整个圆形靶的面积的比值是 . 9 7 9.B [解析] 如图,题中不等式组所表示的平面区域的面积是 ,在这个区域中带形区 2 2 域 1≤x≤2 的面积是 1,故所求的概率是 . 7 7.D

3

10.10.72 [解析] 最后两组变换后为(-0.8,3.2)和(-0.4,1.2),这两个点都在所求区域 内,变换后的区域是{(x,y)|-2≤x≤2,0≤y≤4},这个面积是 16,落在所求面积区域内的 样本点数为 67,故所求区域的面积为 16×0.67=10.72. π 4 11.1- [解析] 半径为 1 的球的体积是 π,正方体的体积是 8,故所求的概率是 1- 6 3 4π 3 π =1- . 8 6 1 ×π×12 2 π π 12. [解析] 如图所示:P= = . 15 1 15 ×?1+4?×3 2

1 13. 3

[解析] 根据题意这是一个几何概型问题, 所求的概率是抛物线 y=x2 与直线 x=1,
1 2

? x dx ?0 1 1 1 y=0 所围成的区域的面积与区域 M 的面积的比.P= = x3? = . 3 1×1 3 ?0
14.[解答] 设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”. 当 a>0,b>0 时,方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为 a≥b. (1)基本事件共 12 个: (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第 一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件, 9 3 事件 A 发生的概率为 P(A)= = . 12 4 (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}. 构成事件 A 的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}. 1 3×2- ×22 2 2 所以所求的概率为 = . 3 3×2 15.[解答] (1)记抽到的卡片标号为(x,y),所有的情况分别如下表: (x,y) P(x- 2, x-y) -1) -2) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3)

(-1,0) (-1, (0,1)

(-1, (0,0) (0,- (1,2)
4

(1,1)

(1,0)

1) 1 1 0 1 1 2 5 5 2 其中基本事件是总数为 9,随机事件 A“|OP|取最大值”包含 2 个基本事件,故所求的 2 概率为 P(A)= . 9 (2)设事件 B 为“P 点在第一象限”.

|OP|

?0≤x≤3, ? 若? ? ?0≤y≤3, 则其所表示的区域面积为 3×3=9.

?0≤x≤3, ?0≤y≤3, 由题意可得事件 B 满足? x-2>0, ?x-y>0, ?
即如图所示的阴影部分, 1 5 其区域面积为 1×3- ×1×1= . 2 2 5 2 5 ∴P(B)= = . 9 18 【难点突破】 16.[解答] (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,则三条线段的长度的所有可能为: 1,1,4;1,2,3;2,2,2,共 3 种情况,其中只有三条线段为 2,2,2 时能构成三角形,则构成三角 1 形的概率 P= . 3 (2)设其中两条线段长度分别为 x,y,则第三条线段长度为 6-x-y,则全部结果所构

?0<x<6, ?0<y<6, 成的区域:? 0<x+y<6, ?0<6-x-y<6, ?

?0<x<6, ? 即?0<y<6, ?0<x+y<6. ?

1 这个区域是坐标平面内以点 O(0,0),A(6,0),B(0,6)为顶点的三角形,其面积为 ×6×6 2 =18. 若三条线段能够构成三角形,则还应满足任意两边之和大于第三边,即满足

?x+y>6-x-y, ? ?x+6-x-y>y, ?y+6-x-y>x, ?

?x+y>3, ? 即?0<y<3, ?0<x<3. ?

9 这个区域是以 D(0,3),E(3,0),F(3,3)为定点的三角形,其面积是 . 2 9 2 1 故所求的概率 P= = . 18 4

5

6


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