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2014高考数学总复习 第十单元 第一节 直线与方程课件


第一节 直线与方程

直线的倾斜角和斜率
已知线段AB两端点的坐标分别为A(-

1,2),B(4,3),若直线l:mx+y -2m=0
与线段AB有交点,求实数m的取值范围.

分析 直线l过定点C(2,0),若l与线段AB相交,则 直线l介于直线AC和BC之间,从而求出m.



∵直线l:mx+y-2m=0(m∈R)过定点

C(2,0),如图所示, 2?0 2 ?? ∴kAC= ? 1 ? 2 3 ,kBC= 2 , 3 3 3 ∴-m≤- 或-m≥ , 2 2 3 2 即m≥ 3 或m≤- . 2 ∴m的取值范围为 ? ? ?,? 3 ? ∪ ? 2 ,? ? ? . ? ? ?
? 2?

?3 ?

?

规律总结

(1)求直线过定点的方法

①将直线整理成mf(x,y)+g(x,y)=0(其中m是参数) 的形式; ? ? ②令 ? f x, y ? o , 解得x,y,即为定点坐标. ? ? g ? x, y ? ? o

(2)确定直线斜率范围时,要注意结合正切函数 的单调性.即:0°<α <90°时,α 越,k越大(k>0);

90°<α <180°时,α 越大,k也越大(k<0).

1. 已知集合A={(x,y)|y=-},B={(x,y)|y=

mx+2},若A∩B=?,则实数m的取值范围是
________.

【解析】

集合A表示圆x2+y2=25下半部分,集 ,kQC=-
2 5 2 5

合B表示过点C(0,2)的直线,如图所示.

kPC=

2 5


2 5

若A∩B=?,则- < m <
【答案】(2 5

.

,

2 5

)

直线的平行与垂直

已知直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:

x+(a-1)y+a2-1=0,若:(1)l1∥l2; (2)l1⊥l2,分别求a的值.

分析 因为直线l1的斜率存在,所以若l1∥l2,则l2斜 率也必须存在,则有a≠1;l1⊥l2运用其成立的充要条件 求之.



2 a 1 若l1∥l2,则- =- ,解得a=2或a=-1. 2 a ?1

(1)l1的斜率为- a,

又∵a=2时,两线重合,∴a=-1为所求.

(2)l1⊥l2的充要条件是a+2(a-1)=0,∴a= 2 .
综上所述,l1∥l2时,a=-1;l1⊥l2时,a= 2 . 3
3

规律总结 (1)若直线l1:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+

b2,则l1∥l2?k1=k2,b1≠b2.
(2)用一般式方程判定直线的位置关系 直线方程

l1与l2垂直的
充要条件

l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0) l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0) A1A2+B1B2=0l1

l1与l2平行的
充分条件

A1/A2=B1/B2≠C1/C2

l1与l2相交的
充分条件

A1/A2 ≠B1/B2(A2B2 ≠0)
A1/A2=B1/B2=C1/C2

l1与l2重合的
充分条件

变式训练2

已知两条直线l1:x+ay=2a,l2:ax+y

=a+1,a为何值时,l1与l2: (1)相交;(2)平行;(3)重合;(4)垂直.

【解析】 (1)l1与l2相交?A1B2≠A2B1 由a2≠1,得a≠±1; (2)l1∥l2?A1B2=A2B1,A1C2≠A2C1,

由a2=1,-(a+1)≠a(-2a),得a=-1;
(3)l1与l2重合?A1B2=A2B1,B1C2=B2C1, 由a2=1,-(a+1)a=-2a,得a=1;

(4)l1⊥l2?A1A2+B1B2=0, ∴a+a=0,a=0. 综上所述:当a≠±1时,两直线相交;

当a=-1时,两直线平行;
当a=1时,两直线重合; 当a=0时,两直线垂直.

求直线的方程

求满足下列条件的各直线的方程.

(1)直线过点(-3,4),且在两坐标上的截距
之和为12; (2)直线过点(5,10),且到原点的距离为5.

分析 根据题目所给不同条件,选择方程形式,待
定系数法求之.

【解】 (1)由题设知直线的截距不为0,
设它的方程为
将(-3,4)代入,得
x + y =1. 12 ? a a
? 3 + 4 =1, 12 ? a a

∴a2-5a-36=0,解得a=-4或a=9. ∴所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.

(2)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0; 当斜率存在时,设为k,则直线方程为y-10=k(x-5), 即kx-y+(10-5k)=0.



3 ∴所求直线方程为3x-4y+25=0. k 2 ?1 4

10 ? 5k

=5,解得k=



∴所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.

规律总结

求直线方程,首先要根据已知条件选择合适

的方程形式,同时注意各种形式的适用条件.用斜截式或

点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐
标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原 点的直线等.

变式训练3

△ABC的三个顶点为A(-3,0),

B(2,1),C(-2,3),求:
(1)BC边上中线AD所在直线的方程; (2)BC边上的垂直平分线DE的方程.

【解析】 (1)设BC中点D的坐标为(x,y),则 x= 2 ? 2 =0,y= 1 ? 3 ? 2 . 2 2 BC边的中线AD过点A(-3,0),D(0,2)两点,

由截距式得AD所在直线方程为 x ? y ? 1 ,
即2x-3y+6=0.
?3 2

1 (2)BC的斜率k1=- ,则BC的垂直平分线DE的斜 2 率k2=2,由斜截式得直线DE的方程为y=2x+2.

直线方程的综合运用

一条直线经过点P(2,1),与x,y轴的正半轴交于A,

B两点,求|PA|?|PB|取最小值时的直线方程.

分析 先根据题意,用点斜式设出直线的方程,然后求方
程中的参数,从而求出直线的方程,本例也可用向量知识 求解.

解 方法一:显然k不存在时的直线不符合题意. 设直线的方程y-1=k(x-2)(k<0). 令y=0,得点A; 令x=0,得点B(0,1-2k).

1分 2分

4分
?
1 k2

故|PA|?|PB|=

1 ? ? 8 ? 4? k 2 ? 2 ? k ? ?

? 1 ? 2 ? 2 ? 1? 4 ? 4 k ?k ?

?



8? 4?2 k2 ?

=4,

8分

当且仅当k=-1时取等号. 所求直线的方程为y-1=-1(x-2),即x+y-3=0. 12分

x y 方法二:设A(a,0),B(0,b),则直线的方程为 + =1, a b 2分 2 1 又直线过点P,∴ + =1, 3分 a b ∴=(a-2,-1),=(-2,b-1).5分

∵ PA PB=|PA||PB|cos180°,7分 ?
∴|PA||PB|=-PA?PB=-[(a-2)?(-2)+(-1)?(b-1)]
2b 2 a b a =2a+b-5=(2a+b)-5= + =2( + )≥4. a b a b

当且仅当a=b=3时,取“=”. 因此所求直线的方程为x+y-3=0.

11分 12分

规律总结 本题涉及到函数与方程,向量,不等式等
方面的知识,不仅有利于加强数学知识之间的横向联系, 而且提高了认识问题的层次和深度,拓展了视野.

变式训练4

过点P(1,4),作直线l与两坐标轴的

正半轴相交,当l在两坐标轴上的截距之和最小时, 求直线l的方程.

【解析】

∵直线l经过点P(1,4),∴ ∴a+b=(
4 b

y x 设所求直线l的方程为 + b =1(a>0,b>0), a

+

4 =1, b 1 )(a+b)=5+ 4 a + b a b a 1 a



≥5+2

4a b =9. ? b a 当且仅当 4 a = b ,即a=3,b=6时a+b有最小值为9,此时所 b a

求直线l的方程为2x+y-6=0.

1.解析几何的重要思想就是用代数方法研究几何问题,所以 要特别注意数形结合. 2.直线方程的四种形式是从不同侧面对一直线几何特征的描 述.具体使用时,要根据题意选择最简洁的形式. (1)直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有局限性, 在应用时一定要注意对其特殊情况(斜率不存在等)的补充说 明. (2)求直线方程的本质是确定方程中的两个独立系数,这需要 两个独立条件,要认清题目的条件,选择合适的方程类型;另 外,也可采用待定系数法或以方程的定义求解;最后,要把直 线方程化成一般式. (3)对于一般式的认识要从一次函数与二元一次方程的关系中 理解.今后建立或应用直线方程均以一般式为主,各系数的功 能与作用要明确.

3.判断两直线平行、垂直时,要注意斜率不存在的情况, 正确运用其充要条件. 4.与直线方程有关的最值问题的求解策略:首先,应根

据问题的条件和结论,选取恰当的直线方程形式,这样,
同时引入了某个或某几个参数.然后,可以通过建立目标 函数,利用函数知识求出最值;或者使用基本不等式,或 者结合图形,运用数形结合的思想求解最值.

如图,过原点引直线l,使l与连接A(1,1)和B(1,-1) 两点间的线段相交,则直线l的斜率的范围为________, 倾斜角的范围为________.

【错解】 根据图形知,直线l在直线OB和OA之间变 化,即直线l的斜率在直线OB和直线OA的斜率之间. 由于直线OB的斜率为k1= ? 1 ? 0 =-1,直线OA的斜率 1? 0 1 ? 0 =1, k2= 1? 0 所以直线l的斜率k∈[-1,1],倾斜角α ∈[45°, 135°].

错解分析

求直线的斜率与倾斜角可以借助于图形,但一定

要注意直线倾斜角的范围是[0°,180°),该区间不是y= ? tanα 的单调区间,y=tanα 的单调区间是[0, ) , 2 ? , ),所以运用单调性求α 的范围,区间分为 ( ?

[-1,0],[0,1]分别求之.

2

【正解】

直线l的斜率k∈[-1,1],倾斜角α ∈[0°,

45°]∪[135°,180°).


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