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北京市朝阳区2013-2014学年度下学期高二数学理科试题及答案


北京市朝阳区 2013~2014 学年度高二年级第二学期期末统一考试

数学理科试卷
2014.7 (考试时间 100 分钟 满分 100 分) 注意:请在答题卡上作答,在试卷上作答无效. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项) (1)已知复数 z ? ?1 ? 2i ,则 (A) 2 ? i

z = i (B) 2 ? i

(C) ?2 ? i

(D) ?2 ? i

(2)若曲线的极坐标方程为 ? =2sin ? ( ? ≥ 0 ) ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立 直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为 (A) x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 (C) x ? 2 y ? 0 (B) x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 (D) 2 y ? 1 ? 0

(3)在 ( x 2 ? ) 6 的展开式中,常数项为 (A) 30 (B) ?30 (C) 15 (D) ?15

1 x

(4)函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导数 f ?( x ) 在 (a, b) 内的图像如图所示,则函数

f ( x) 在开区间 (a, b) 内的极小值点有
(A)1 个 (C)3 个 (B)2 个 (D)4 个

(5)设离散型随机变量为 ? ,下列说法中正确的是 (A) E (? ) 反映了 ? 取值的概率的平均值 (B) D (? ) 反映了 ? 取值的平均水平 (C) E (? ) 反映了 ? 取值的平均水平 (D) D (? ) 反映了 ? 取值的概率的平均值

(6)由曲线 y =

1 , x = 1 , x = 3 , y = 0 所围成的封闭图形的面积为 x

(A)

8 9
2x

(B) ln 3

(C) ln 2

(D) ? ln 3

7. 曲线 y ? e 在点 M (0, 1) 处的切线方程是 (A) y ? x ? 1 (B) y ? x ? 1 (C) y ? 2 x ? 1 (D) y ? 2 x ? 1

(8)如图,在 Rt?ABC 中, ?C ? 90o , AB ? 5 , BC ? 4 , 以 BC 为直径的圆交 AB 于 D ,则 BD 的长为 (A)4 (B)

D

A

9 5

(C)

12 5

(D)

16 5

B

C

(9)已知函数 f ( x) ? sin x ? x2013 ,令 f1 (x) ? f ?(x) , f 2 ( x) ? f1?( x) , f3 ( x) ? f 2?( x) ,…,

fn?1 ( x) ? fn?( x) ,则 f2014 ( x) ?
(A) ? sin x (C) cos x (B) ? sin x ? x (D) cos x ? x

(10)若函数 f ( x) ? (A) (??, ? 1)

eax 是增函数,则实数 a 的取值范围是 x2 ? 1
(B) [1, ? ?) (C) (??, ? 1] (D) (1, ? ?)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) (11)设随机变量 X 的概率分布列如下:

X
P
则a ? .

-1 1 2

0 1 3

1

a

(12)已知函数 f ( x) ?

x ? 1,若实数 x0 满足 f ?( x0 ) ?

1 ,则 x0 ? 4

.

(13)已知某运动员投篮命中率 P ? 0.6 ,则他连续投 5 次,命中次数? 的期望为___;? 的 方差为 . (14)5 个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法有 种(用数字作答).

5 ? ? x ? 5 cos ? , ? x ? t, ? (15)已知两曲线参数方程分别为 ? ( 0 ≤ ? ? 2π )和 ? , 2 (t ? R ) ? ? y ? sin ? , ? ? y ? t,
它们的交点坐标为 和 .
*

(16)将长度为 l ( l ≥ 4 , l ? N )的线段分成 n ( n ≥ 3 )段,每段长度均为正整数, 且这 n 段中的任意三段都不能构成三角形.例如,当 l ? 4 时,只能分成长度分别为 1, 1,2 的三段,此时 n 的最大值为 3;当 l ? 7 时,可以分成长度分别为 1,2,4 的三段 或长度分别为 1,1,2,3 的四段,此时 n 的最大值为 4.那么,当 l ? 12 时, n 的最大 值为 ;当 n 为 8 时, l 的最小值为 .

三、解答题(本大题共 3 小题,共 36 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) (17) (本小题满分 10 分)

1 ?2 ?3 ? 用数学归纳法证明等式:
2 2 2

? n2 ?

1 n(n ? 1)(2n ? 1) 对于一切正整数 n 都 6

成立.

(18) (本小题满分 12 分) 甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球, 已知甲袋中共有 m 个球, 乙袋中共有 n 个 球,从甲袋中摸出 1 个球为红球的概率为

2 1 ,从乙袋中摸出 1 个球为红球的概率为 . 5 5

(Ⅰ)若 m ? 10 ,求甲袋中红球的个数; (Ⅱ)若从甲、乙两袋中各摸出 1 个球,求这两个球都是白球的概率; (Ⅲ)若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球,每次摸出 1 个球,共摸三次,并且从甲袋中摸 1 次,从乙袋中摸 2 次.设 ? 表示摸出红球的总次数,求 ? 的分布列和数学期望.

(19) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? a (1 ? ) , a ? R . (Ⅰ)若 a ? e ,求 f ( x ) 的极小值; (Ⅱ)若过原点 O 作函数 f ( x ) 图象的切线,切点恰为点 P(a, f (a)) ,求实数 a 的值; 的最大整数, Sn ? [a1 ] ? [a2 ] ? (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,数列 ?an ?满足 a1 ? 1 ,an?1 ? f (an ) ? 2 ,记[ x ]表示不大于 x

1 x

? [an ] ,求 Sn .


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