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江苏省江阴市山观高级中学2016届高考数学一轮复习 概率 第1课时 随机事件的概率教学案


概率
考纲导读 (一)事件与概率 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别。 2.了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式. (二)古典概型 ①1.理解古典概型及其概率计算公式. ②2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 (三)随机数与几何概型 ①1.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. ②2.了解几何概型的意义. 知识网络 随机事件的概率 等可能事件的概率 概率 互斥事件的概率 应用

相互独立事件的概率 高考导航 概率则是概率论入门,目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础,做好铺 垫.学习中要注意基本概念的理解,要注意与其他数学知识的联系,要通过一些典型问题的 分析,总结运用知识解决问题的思维规律.纵观近几年高考,概率的内容在选择、填空解答 题中都很有可能出现。 第 1 课时 随机事件的概率 基础过关 1.随机事件及其概率 (1) 必然事件:在一定的条件下必然发生的事件叫做必然事件. (2) 不可能事件:在一定的条件下不可能发生的事件叫做不可能事件. (3) 随机事件:在一定的条件下,也可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件. (4) 随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率
m 总是接近 n

于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件,这时就把这个常数叫做事件 A 的概 率,记作 P( A) . (5) 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小,它的取值范围是 0 ? P( A) ? 1 ,必然事 件的概率是 1,不可能事件的概率是 0. 2.等可能性事件的概率 (1) 基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件. (2) 等可能性事件的概率:如果一次试验由 n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性

-1-

都相等,那么每一个基本事件的概率是 1 .如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的
n

概率: P ? A? ? 典型例题

m n

例 1.1) 一个盒子装有 5 个白球 3 个黑球,这些球除颜色外,完全相同,从中任意取出两个 球,求取出的两个球都是白球的概率; (2) 箱中有某种产品 a 个正品, b 个次品, 现有放回地从箱中随机地连续抽取 3 次, 每次 1 次, 求取出的全是正品的概率是( ) A.
3 Ca 3 Ca ?b

B.

3 Aa 3 Aa ?b

C.

a3 (a ? b) 3

D.

3 Ca 3 Aa ?b

(3) 某班有 50 名学生,其中 15 人选修 A 课程,另外 35 人选修 B 课程,从班级中任选两名学 生,他们是选修不同课程的学生的概率是多少? 解:(1)从袋内 8 个球中任取两个球共有 C82 ? 28 种不同结果,从 5 个白球中取出 2 个白球有
2 C5 ? 10 种不同结果,则取出的两球都是白球的概率为 P( A) ?

10 5 ? 28 14

(2)

a3 (a ? b)
3

(3) P ?

1 1 C15 ? C 35 2 C 50

?

3 7

变式训练 1. 盒中有 1 个黑球 9 个白球,它们除颜色不同外,其它没什么差别,现由 10 人依 次摸出 1 个球,高第 1 人摸出的是黑球的概率为 P1,第 10 人摸出是黑球的概率为 P10,则 ( ) A. P10 ?
1 P 1 10

B. P10 ? P1

1 9

C.P10=0 D.P10=P1 解:D 例 2. 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有 2 个红球,2 个白球;乙袋装有 2 个 红球,n 个白球,两甲、乙两袋中各任取 2 个球. (1) 若 n=3,求取到的 4 个球全是红球的概率; (2) 若取到 4 个球中至少有 2 个红球的概率为 ,求 n. 解:(1)记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A.P ( A) ?
2 2 C2 C2 1 1 1 ? ? ? ? . 2 2 6 10 60 C 4 C5

3 4

(2)记“取到的 4 个球至多有 1 个红球”为事件 B,“取到的 4 个球只有 1 个红球”为事件 B1,“取到的 4 个球全是白球”为事件 B2,由题意,得
P( B) ? 1 ?
P( B2 ) ?
1 1 ?Cn C1 ?C1 C 2 C 2 Cn 3 1 2n 2 ? ? .P( B1 ) ? 2 2 2 ? 2n ? 2 ? 2 2 4 4 3(n ? 2)(n ? 1) C4 C n?2 C 4 C n?2

2 C2 2 C4

?

2 Cn 2 Cn ?2

?

n( n ? 1) 6( n ? 2)(n ? 1)

所以 P(B) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ?
?

2n 2 3(n ? 2)(n ? 1)

n(n ? 1) 3 1 2 ? ,化简,得 7n -11n-6=0,解得 n=2,或 n ? ? (舍去),故 n=2. 7 6(n ? 2)(n ? 1) 4

-2-

变式训练 2:在一个口袋中装有 5 个白球和 3 个黑球,这些球除颜色外完全相同.从中摸出 3 个球,至少摸到 2 个黑球的概率等于 ( ) A. C.
2 7 3 7

B. D.

3 8
9 28

解:A 例 3. 袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个,从袋中任取 3 个小球,按 3 个小球上最大 数字的 9 倍计分, 每个小球取出的可能性都相等, 用 ? 表示取出的 3 个小球上的最大数字, 求: (1) 取出 3 个小球上的数字互不相同的概率; (2) 计分介于 20 分到 40 分之间的概率. 解:(1)“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A, 则 P( A) ?
3 1 1 1 C5 ? C2 ? C2 ? C2 3 C10

?

2 3

(2) “一次取球所得计分介于 20 分到 40 分之间”的事件记为 C,则 P(C)=P(“ ? =3”或“ ? =4”)=P(“ ? =3”)+P(“ ? =4”)=
2 3 13 ? ? 15 10 30

变式训练 3:从数字 1,2,3,4,5 中任取 3 个,组成没有重复数字的三位数,计算: ① 这个三位数字是 5 的倍数的概率; ②这个三位数是奇数的概率; ③这个三位数大于 400 的概率. 解:⑴
1 3 2 ⑵ ⑶ 5 5 5

例 4. 在一次口试中,要从 20 道题中随机抽出 6 道题进行回答,答对了其中的 5 道就获得优 秀,答对其中的 4 道就可获得及格.某考生会回答 20 道题中的 8 道题,试求: (1)他获得优秀的概率是多少? (2)他获得及格与及格以上的概率有多大?
6 解: 从 20 道题中随机抽出 6 道题的结果数, 即是从 20 个元素中任取 6 个元素的组合数 C20 . 由

于是随机抽取,故这些结果出现的可能性都相等.
6 (1)记“他答对 5 道题”为事件 A1 ,由分析过程已知在这 C20 种结果中,他答对 5 题的结果有 6 5 1 C8 ? C8 C12 ? 700 种,故事件 A1 的概率为 P ? A1 ? ?

700 35 ? . 6 1938 C20 5320 7 ? 6 51 C20

(2)记“他至少答对 4 道题”为事件 A2 ,由分析知他答对 4 道题的可能结果为
6 5 1 4 2 C8 ? C8 C12 ? C8 C12 ? 5320 种,故事件 A2 的概率为: P ? A2 ? ?

答:他获得优秀的概率为

35 7 ,获得及格以上的概率为 . 1938 51

变式训练 4:有 5 个指定的席位,坐在这 5 个席位上的人都不知道指定的号码,当这 5 个人随 机地在这 5 个席位上就坐时. (1) 求 5 个人中恰有 3 人坐在指定的席位上的概率; (2) 若在这 5 个人侍在指定位置上的概率不小于 , 则至多有几个人坐在自己指定的席位上?
1 6

-3-

解:(1) P( A) ?

3 C5 5 A5

?

1 12

(2)由于 3 人坐在指定位置的概率

1 1 < ,故可考虑 2 人坐在指定位置上的概率,设 5 人中 12 6
2 2C 5 5 A5

有 2 人坐在指定位置上为事件 B,则 P ( B ) ?
1 6

?

1 ,又由于坐在指定位置上的人越多其概率 6

越少,而要求概率不小于 ,则要求坐在指定位置上的人越少越好,故符合题中条件时,至多 2 人坐在指定席位上. 小结归纳 1.实际生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件及随机事件.随机事件在现实世界中 是广泛存在的.在一次试验中,事件是否发生虽然带有偶然性,当在大量重复试验下,它的 发生呈现出一定的规律性,即事件发生的频率总是接近于某个常数,这个常数就叫做这个事 件的概率. 2.如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结果,其中事件 A 包含的结果有 m 种,那么事件 A 的概率 P ? A? ? m . 从集合的角度看,一次试验中等可能出现的所有结果组成一个集合 I,其中事
n

件 A 包含的结果组成 I 的一个子集 A,因此 P ? A? ?

Card ? A? Card ? I ?

?

m . 从排列、组合的角度看,m、n n

实际上是某些事件的排列数或组合数.因此这种“古典概率”的问题,几乎使有关排列组合 的计算与概率的计算成为一回事. 3.利用等可能性的概率公式,关键在于寻找基本事件数和有利事件数.

-4-


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