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2012年数学一轮复习精品试题第28讲 等差数列


第二十八讲

等差数列

班级________ 姓名 姓名________ 考号 考号________ 日期 日期________ 得分 得分________ 班级 一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的 选择题: 本大题共 小题, 括号内. 括号内.) 的值是一个确定的常数, 则数列{a 1. . 等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn, a2+a4+a15 的值是一个确定的常数, 等差数列 的前 若 则数列 n} 中也为常数的项是( 中也为常数的项是 A.S7 . C.S13 . ) B.S8 . D.S15 .

解析: 常数), 来源 来源:学 科 网 解析:设 a2+a4+a15=p(常数 ,[来源 学_科_网 Z_X_X_K] 常数 1 ∴3a1+18d=p,解 a7=3p. = , 13×(a1+a13) × 13 ∴S13= =13a7= 3 p. 2 答案: 答案:C 1 2.等差数列{an}中,已知 a1= ,a2+a5=4,a n=33,则 n 为( .等差数列 中 , , 3 A.48 B.49 . . C.50 D.51 . . 1 2 1 2 解析: 解析:∵a2+a5=2a 1+5d=4,则由 a1=3得 d=3,令 an=33=3+(n-1)×3,可解得 = , = = - × n=50.故选 C. = 故选 答案: 答案:C 3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4≥10,S5≤15,则 a4 的最大值为 .设等差数列 的最大值为( 的前 , , A.2 B.3 . . C.4 . D.5 . ) )

a 3+ a 5 解析: 解析:a5=S5-S4≤5,S5=a1+a2+…+a5=5a3≤15,a3≤3,则 a4= 2 ≤4,a4 的 , , , , 最大值为 4.故选 C. 故选 答案:C 答案: a5 4.设 Sn 是等差数列 n}的前 n 项和,S5=3(a2+a8),则 的值为 . 是等差数列{a 的前 项和, , a 的值为(
3

)

1 A. 6 3 C. 5

1 B. 3 5 D. 6

解析: 是等差数列, 解析:∵{an}是等差数列, 是等差数列

a 2+ a 8 S5 5 S 2 6 6 5 5 a5 ∴a = = ×5= S =6,故选 D. = a1+a5 (a1+a5)×5 × 3 5 2 2 答案:D 答案: a11 5.(2011·济宁市模拟 已知数列 n}为等差数列,若 <-1,且它们的前 n 项和 Sn 有最 . 济宁市模拟)已知数列 为等差数列, 济宁市模拟 已知数列{a 为等差数列 a - ,
10

大值, 的最大值为( 大值,则使 Sn>0 的 n 的最大值为 A.11 B.19 . . C.20 D.21 . .

)

a11 有最大值, 解析: 解析:∵a < -1,且 Sn 有最大值, , 10 ∴a10>0,a11<0,且 a10+a11<0, , , , 19(a1+a19) ∴S19= =19·a10>0, , 2 20(a1+a20) S20= =10(a10+a11)<0. 2 所以使得 Sn>0 的 n 的最大值为 19,故选 B. , 答案: 答案:B 6.如图,坐标纸上的每个单元格的边长为 1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6 的横纵坐 .如图, ,由下往上的六个点: 标分别对应数列{a 如下表所示: 标分别对应数列 n}(n∈N*)的前 12 项,如下表所示: ∈ 的前

a11[来
源:学。

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a10

科。网

a12

Z。X。 X。K]

x1

y1

x2

y2

x3

y3

x4

y4 )

x5

y5

x6

y6

按如此规律下去, 等于( 按如此规律下去,则 a2009+a2010+a2011 等于

A.1003 B.1005 . . C.1006 D.2011[来源 学科网 . 来源:学科网 . 来源 学科网] 解析:依题意得, 为首项, 解析:依题意得,数列 a2,a4,a6,…,a2k,…,是以 a 2=1 为首项,1 为公差的等差 数列,因此 a2010=a2×1005=1+(1005-1)×1=1005.数列 a1,a3,a5,a7,…,a2k-1,…,即 数列, + - × = 数列 ,-1,2,- 的规律呈现, 是以 1,- ,- ,…,的规律呈现,且 a2009 是该数列的第 1005 项,且 1005=2×502+ ,- ,-2, = × + 1,因此 a2009=503,a2011=- ,a2009+a2010+a2011=1005,选 B. , =-503, , , 答案: 答案:B 填空题: (本大题共 小题, 把正确答案填在题后的横线上. )[来 二、 填空题:本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 24 分, 共 把正确答案填在题后的横线上. 来 源:Z.xx.k.Com] 是等差数列{a 的前 项和, =-8, =-9, 7.设 Sn 是等差数列 n}的前 n 项和,a12=- ,S9=- ,则 S16=________. . 解析: =-9, 解析:S9=9a5=- , =-72. ∴a5=-1,S16=8(a5+a12)=- =- , =- 答案: 答案:-72 + An 7n+45 a6 和 的前 ,则 = 8.已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且B = .已知两个等差数列 b6 n+3 + n ________. an A2n-1 解析:本题考查等差数列的基础知识, 求得. 解析:本题考查等差数列的基础知识,由于这是选择题 可直接由结论b = 求得. B2n-1 n 61 答案: 来源: 答案: 7 [来源:学科网 ZXXK] 1 9.设 f(x)= x . 项和的公式的方法, = ,利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法,可求得 f(-5) - 2+ 2 的值为________. +f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为 - + + + 的值为 . 1 解析: 解析:∵f(x)= x = , 2+ 2 1 x ·2 2 2 1 ∴f(1-x)= 1-x - = = = , 2+2x 2 + 2 2+ 2·2x + +
x

1 x 1 ·2 1+ ·2x + 2 2 1 2 + ∴f(x)+f(1-x)= x + - = x= x = 2 . 2+ 2 2+2 2+2 + + 设 S=f(-5)+f(-4)+…+f(6), = - + - + , 则 S=f(6)+f(5)+…+f(-5), = + + - , ∴2S=[f(6)+f(-5)]+[f(5)+f(-4)]+…+ = + - + + - + [f(-5)+f(6)]=6 2, - + = , ∴S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=3 2. = - + - + + + = 答案: 答案:3 2

Sn 10.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a4-a2=8,a3+a5=26,记 T n= 2,如果存在 .等差数列 的前 , , n 正整数 , 都成立, 的最小值是________. 正整数 M,使得对一切正整数 n,Tn≤M 都成立,则 M 的最小值是 , . 解析:设等差数列 解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 的首项为 ∵a4-a2=8 ,∴d=4. = 又 ∵a3+a5=26,即 2a1+6d=26,∴a1=1. , = , n(n-1) - ∴Sn=n+ + ×4=2n2-n, = , 2 Sn 1 则 Tn=n2=2-n<2. - 恒成立, ≥ ∵对一切正整数 Tn≤M 恒成立,∴M≥2. ∴M 的最小值为 2. 答案: 答案:2 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 解答题: 本大题共 小题, 、 来源:Z+xx+k.Com] 骤.)[来源 来源 11.已知:f(x)=- .已知: =- 1 1 4+ 2,数列{an}的前 n 项和为 S n,点 Pn?an,-a ?在曲线 y= + 数列 的前 = x ? n+1?

f(x)上(n∈N*),且 a1=1,an>0. 上 ∈ , , (1)求数列 n}的通项公式; 求数列{a 的通项公式 的通项公式; 求数列 Tn+1 Tn (2)数列 n}的前 n 项和为 Tn,且满足 2 = 2 +16n2-8n-3,问:当 b1 为何值时, 数列{b 的前 为何值时, 数列 - , an an+1 是等差数列. 数列{b 是等差数列 数列 n}是等差数列. 解:(1)由 y=- 由 =- 点 Pn?an,-a 1 4+ 2, + x

?

n+1

1 ? 在曲线 y=f(x)上, = 上 +

?

1 ∴- =f(an)=- =- an+1 1 并且 an>0,∴ , = an+1

1 4+ 2 , + an 1 4+ 2 , + an

1 1 ∴ 2 -a2 =4(n∈N*). ∈ . an+1 n 1 1 数列{ 是等差数列 是等差数列, 来源:学科网 数列 a2 }是等差数列,首项a2=1,公差 d 为 4,[来源 学科网 ZXXK] , , 来源 n 1 1 1 ∴ 2 =1+4(n-1)=4n-3,a2 = + - = - , n . an 4n-3 - , ∵an>0,∴an= 1 (n∈N*). ∈ . 4n-3 -

(2)由 an= 由

Tn+1 Tn 1 , a2 = 2 +16n2-8n-3 得 - an+1 n 4n-3 -

(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n-3)(4n+1), - + - + , Tn+1 Tn = +1. 4n+1 4n-3 + - Tn 令 cn= ,如果 c1=1,此时 b1=T1=1, , , 4n-3 -
* ∴cn=1+(n-1)×1= n,n∈N , + - × = , ∈ 2 * 则 Tn=(4n-3)n=4n -3n,n∈N , - = , ∈ * 时数列{b 是等差数列 来源 学科网] 是等差数列. 来源:学科网 ∴bn=8n-7,n∈N ,∴b1=1 时数列 n}是等差数列.[来源 学科网 - , ∈

12.数列{an}满足 an=3an-1+3n-1(n∈N*,n≥2),已知 a3=95. .数列 满足 ∈ ≥ , (1)求 a1,a2; 求 1 (2)是否存在一个实数 t,使得 bn= n(an+t)(n∈N*),且{bn}为等差数列 ?若存在,则求 是否存在一个实数 , 为等差数列? ∈ , 为等差数列 若存在, 3 的值;若不存在,请说明理由. 出 t 的值;若不存在,请说明理由.
2 解:(1)n=2 时,a2=3a1+3 -1 =

n=3 时,a3=3a2+33-1=95, = = , ∴a2=23. ∴23=3a1+8,∴a1=5. = , (2)当 n≥2 时, 当 ≥ 1 1 bn-bn-1= n(an+t)- n-1(an-1+t) - 3 3 1 =3n(an+t-3an-1-3t) - 1+2t + 1 =3n(3n-1-2t)=1- 3n . - = - 1 要使{b 为等差数列 为等差数列, 要使 n}为等差数列,则必须使 1+2t=0,∴t=-2, + = , =- 1 为等差数列. 即存在 t=-2,使{bn}为等差数列. =- 为等差数列 ax 13.设 f(x)= . (a≠0),令 a1=1,an+1=f(an),又 bn=an·an+1,n∈N*. = ≠ , , , ∈ x+a +
?1? (1)证明数列?a ?是等差数列; 证明数列 是等差数列; ? n?

(2)求数列 n}的通项公式; 求数列{a 的通项公式 的通项公式; 求数列 (3)求数列 n}的前 n 项和. 求数列{b 的前 项和. 求数列 分析:将题设中函数解析式转化为数列的递推关系, 分析:将题设中函数解析式转化为数列的递推关系,再将递推关系通过整理变形转化 为等差数列,从而求数列的通项公式,本题在求 前 项和时运用了裂项相消法, 为等差数列,从而求数列的通项公式,本题在求{bn}前 n 项和时运用了裂项相消法,这是数

列求和的常用方法. 列求和的常用方法. a·an 1 证明: = = , 解:(1)证明:an+1=f(an)= 证明 an+a 1 1 +a a n 1 1 1 1 1 1 ∴ = a+ a , 即 -a =a. an+1 an+1 n n
?1? 1 的等差数列. ∴?a ?是首项为 1,公差为a的等差数列. , ? n? ?1? (2)由(1)知?a ?是等差数列, 由 知 是等差数列, ? n?

a 1 1 .[来源 学科网 来源:学科网 ∴a =1+( n-1)a.整理得 an= + - 整理得 来源 学科网] (a-1)+n - + n 1 1 a a (3)bn=an·an+1= · =a2?n+a-1-n+a?. + - + ? (a-1)+n (a-1)+n+1 ? - + - + + 设数列{b 的前 设数列 n}的前 n 项和为 Tn, 1 1 1 1 则 Tn=a2??a-1+a?+?1+a-2+a?+ + + +

??

? ?

?

1 1 …+?n+a-1-n+a?? + ?? ? + - 1 1 n+a-a na + - . =a2?a-n+a?=a2· = + ? a(n+a) n+a ? + + na . 的前 ∴数列{bn}的前 n 项和为 数列 n+a +


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