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高一(下)周练数学试卷(6)


龙泉中学高一(下)周练数学试卷(6)
班级 姓名 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.设 {an } 是首项为 1 ,公差为 3 的等差数列,如果 an ? 2005 ,则序号 n 等于 A.667 B.668 C.669 D.670 2.在各项都为正数的等比数列 {an } 中,

首项 a1 ? 3 ,前三项和为 21 ,则 a3 ? a4 ? a5 ? A.33 B.72 C.84 3.如果 a1 , a2 ,?, a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则 A. a1a8 ? a4 a5 B. a1a8 ? a4 a5 C. a1 ? a8 ? a4 ? a5 D.189 D. a1a8 ? a4 a5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 8 27 13.在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为 2 3 14.在等差数列 {an } 中, 3(a3 ? a5 ) ? 2(a7 ? a10 ? a13 ) ? 24 ,则此数列前13 项之和为 15.数列 ?an ? 的通项公式 an ? n cos

. .

16.设平面内有 n 条直线 (n ? 3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若

n? ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,则 S2015 ? ___________. 2

4.已知方程 ( x2 ? 2 x ? m)( x2 ? 2x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为 A. 1 B.

3 4

C.

1 2

1 的等差数列,则 | m ? n |? 4 3 D. 8

用 f ( n) 表示这 n 条直线交点的个数,则 f (4) ? ;当 n ? 4 时, f (n) ? 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)



17.(本小题满分 10 分) (1)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 3n2 ? 2n ,求证数列 {an } 成等差数列. (2)已知数列 {an } 是首项为 a 且公比不等于 1 的等比数列, Sn 为其前 n 项和,且 a1 , 2a7 , 3a4 成 等差数列,求证: 12S3 , S6 , S12 ? S6 成等比数列.

a S 5 5.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 5 ? ,则 9 ? a3 9 S5
A.1 B.-1 C.2 D.

a2 ? a1 的值是 b2 1 1 1 1 1 A. B. ? C. ? 或 D. 2 2 2 2 4 2 7.在等差数列 {an } 中, an ? 0 , an?1 ? an ? an?1 ? 0(n ? 2) ,若 S2n?1 ? 38 ,则 n ? A. 38 B. 20 C. 10 D. 9 8.设 S n 是公差为 d (d ? 0) 的无穷等差数列 {an } 的前 n 项和,则下列命题错误 的是 ..
6.已知数列 ?1, a1 , a2 , ?4 成等差数列, ?1, b1 , b2 , b3 , ?4 成等比数列,则 A.若 d ? 0 ,则数列 {Sn } 有最大项 B.若数列 {Sn } 有最大项,则 d ? 0 C.若数列 {Sn } 是递增数列,则对任意的 n ? N * ,均有 Sn ? 0 D.若对任意的 n ? N * ,均有 Sn ? 0 ,则数列 {Sn } 是递增数列 9.若数列 1, 2cos? , 2 cos
2

1 2

18.(本小题满分 12 分)设 {an } 是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列. (1)求 q 的值; (2)设 {bn } 是以 2 为首项, q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn ,当 n ? 2 时,比较 Sn 与 bn 的大 小,并说明理由.

(k ? Z ) 3 3 c b a 10.设 2 ? 3 , 2 ? 6 , 2 ? 12 ,则数列 a, b, c 为
A.等差数列 A. 3690 B.等比数列
n

A. k? ?

?

? , 2 cos ? ,??, 前 100 项之和为 0,则 ? 的值为 ? 2? (k ? Z ) D.以上的答案均不对 B. 2k? ? ( k ? Z ) C. 2k? ?
2 3 3

3

11.数列 ?an ? 满足 an?1 ? (?1) an ? 2n ?1 ,则 ?an ? 的前 60 项的和为 B. 3660 C. 1845 12 . 设 a ? 1 , 定 义 f (n) ?

C.非等差数列也非等比数列 D.既是等差数列也是等比数列 D. 1830

1 1 1 ? ??? ,如果对任意的 n? N * 且 n ? 2 ,不等式 n ?1 n ? 2 2n 12 f (n) ? 7loga b ? 7loga?1 b ? 7 恒成立,则实数 b 的取值范围是
A. ? 2,

? 29 ? ? ? 17 ?

B. ? 0,1?

C . ? 0, 4 ?

D. ?1, ?? ?

19.(本小题满分 12 分) 知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? 2n2 ? n, n ? N * ,数列 {bn } 满足

21.(本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 的各项均为正数,a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn ,{bn } 为等比数列,

an ? 4log2 bn ? 3,n ? N *. (1)求 an , bn ; (2)求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Tn .

b1 ? 1 ,且 b2 S2 ? 64, b3S3 ? 960 . (1)求 an 与 bn ; 1 1 1 3 (2)证明: ? ??? ? . S1 S2 Sn 4

20.(本小题满分 12 分) 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50% .预计以后每年资金年增长率与第一年的 相同. 公司要求企业从第一年开始, 每年年底上缴资金 d 万元, 并将剩余资金全部投入下一年生产. 设 第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (Ⅰ)用 d 表示 a1 , a2 ,并写出 an ?1 与 an 的关系式; (Ⅱ)若公司希望经过 m( m ? 3 )年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示) .

22. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足 an ? 2Sn ? Sn?1 ? 0(n ? 2) ,a1 ? (1)求证: {

1 . 2

1 } 是等差数列; Sn

(2)求 an 表达式; (3)若 bn ? 2(1 ? n) an ( n ? 2) ,求证: b22 ? b32 ? ? ? bn 2 ? 1 .

龙泉中学 2014 级高一(下)周练数学试卷(6)参考答案
题号 答案 1 C 2 C 14. 26 ; 3 B 4 C 5 A 命题: 郑胜 6 7 A C 8 C 9 C 10 A 11 D 12 D

1 (n ? 1)(n ? 2) . 2 17.解: (1)证明: (1) n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ? 2 ? 1 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 6n ? 5 , n ? 1 时,亦满足,∴ an ? 6n ? 5 . an?1 ? an ? 6 (常数)( n ? N * ),
13. 216 ; 15. 1007 ;16. 5 ; ∴数列 {an } 是首项为 1 ,公差为 6 的等差数列. (2)证明:设 {an } 的公比为 q ,由 a1 , 2a7 , 3a4 成等差数列得 4a7 ? a1 ? 3a4 , 即 4a1q6 ? a1 ? 3a1q3 ,由于 a1 ? 0 变形得 (4q3 ? 1)(q3 ?1) ? 0 ,∴ q ?
3

3 3 a1 ? d , an ?1 ? an (1 ? 50%) ? d ? an ? d ; 2 2 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? an ?1 ? d 2 3 3 3 3 3 3 ? 3 3 ? ? ( ) 2 an ? 2 ? d ? d ? ( an ? 2 ? d ) ? d ? ? ? ( )n?1 a1 ? d ?1 ? ? ( )2 ? ? ? ( ) n?2 ? 2 2 2 2 2 2 ? 2 2 ? 3 n ?1 3 ? 3 ? 整理得: an ? ( )n?1 (3000 ? d ) ? 2d ?( ) n?1 ? 1? ? ( ) (3000 ? 3d ) ? 2d . 2 2 ? 2 ? a2 ? a1 (1 ? 50%) ? d ?
由题意, am ? 4000,? ( )

3 2

m ?1

(3000 ? 3d ) ? 2d ? 4000 ,解得 d ?

1000(3m ? 2m?1 ) . 3m ? 2m

1 或 q3 ? 1 (舍). 4

1000(3m ? 2m ?1 ) 万元,经过 m(m ? 3) 年企业的剩余资金为 4000 万元. 3m ? 2m 21 解 (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d ? 0 , q ? 0 , an ? 3 ? (n ? 1)d , bn ? qn?1 ,
答:该企业每年上缴资金为 依题意有

a1 (1 ? q12 ) a1 (1 ? q 6 ) 3 S S ? S6 S 1 1 1? q 1? q 1? q 由 6 = = = ; 12 = 12 -1= -1=1+q6-1= ; 3 6 12a1 (1 ? q ) S6 S6 12S 3 a1 (1 ? q ) 16 16 12 1? q 1? q



1 S ? S6 S6 = 12 .∴ 12S3 , S6 , S12 ? S6 成公比为 等比数列. S6 12S 3 16

18.解: (1)由题设 2a3=a1+a2,即 2a1q2=a1+a1q,∵a1≠0,∴2q2-q-1=0, 1 ∴q=1 或- . 2 n(n-1) n 2+3n (2)若 q=1,则 Sn=2n+ = . 2 2 (n- 1)(n+2) 当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1= >0,故 Sn>bn. 2 - n 2+9 n n(n-1) 1 1 若 q=- ,则 Sn=2n+ (- )= . 4 2 2 2 (n- 1)(10-n) 当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1= , 4 故对于 n∈N+,当 2≤n≤9 时,Sn>bn;当 n=10 时,Sn=bn;当 n≥11 时,Sn<bn. 19.解 (1)由 Sn ? 2n2 ? n ,得当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 4n ? 1,对 n ? 1 时也成立 ∴ an ? 4n ? 1( n ? N * ). 由 an ? 4log2 bn ? 3 ? 4n ?1 ,得 bn ? 2n?1 ( n ? N * ) . (2)由(1)知 an ? bn ? (4n ?1) ? 2n?1 , n ? N * , ∴ Tn= 3+7 ? 2+ 11? 2 +?+(4n- 1) ? 2
2 n-1

6 ? d ?? ? d ? 2 ?(6 ? d )q ? 64 ? ? 5 或? (舍去) .故 an ? 2n ? 1, bn ? 8n?1 . ?? ? 2 ?(9 ? 3d )q ? 960 ?q ? 8 ? q ? 40 ? 3 ? (3 ? 2n ? 1) n 1 1 1 1 ? n(n ? 2) , ? ( ? (2)证明:由(1)知 S n ? ), 2 Sn 2 n n ? 2 1 1 1 1 1 1 ∴ ? ??? ? ? ??? S1 S2 S n 1? 3 3 ? 5 n(n ? 2) 1 1 1 1 1 1 1 3 2n ? 3 2n ? 3 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? ? ?0 ,∵ 2 3 2 2 4 n n ? 2 4 2(n ? 1)(n ? 2) 2(n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 3 ∴ ? ??? ? . S1 S2 Sn 4 22.解:(1)∵ -an ? 2Sn Sn-1 ,∴ -Sn ? Sn-1 ? 2Sn Sn- ( ) 1 n?2 1 1 1 1 1 ? 2 ,又 ? ? 2 ,∴ { } 是以 2 为首项,公差为 2 的等差数列. Sn ? 0 ,∴ ? Sn Sn?1 S1 a1 Sn 1 1 1 (2)由(1) 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn-1 ? ? ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ,∴ S n ? 2n 2n(n ? 1) Sn


n-1

2Tn=3? 2+7 ? 22+?+(4n-5) ? 2n-1+(4n- 1) ? 2n .
∴ 2Tn-Tn= (4n- 1) ? 2 - [3+4(2+2 +?+2
n 2

]=(4n-5)2n+5 .

故 Tn=(4n-5)2n+5 . 20.解: (Ⅰ)由题意得 a1 ? 2000(1 ? 50%) ? d ? 3000 ? d ,

?1 (n ? 1) ? 1 ?2 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ,∴ an ? ? 1 2 ?? (n ? 2) ? ? 2n(n ? 1) 1 (3)由(2)知 bn ? 2(1 ? n)an ? n 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ? ??? ∴b22+b32+…+bn2= b2 ? b3 ? ? ? bn ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 3 n 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? 1. 2 2 3 n ?1 n n


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