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高2013届高三数学优化设计第二轮复习专题5-2点、直线、平面之间的位置关系


第2讲 点、直线、平面之间的位置关系

【考情快递】 考点统计 点、直线、平面的位 置关系 空间平行关系 4 考查频度 考例展示 2012· 大纲全国8,2012· 重庆 6,2012· 浙江5 2012· 山东19,2012· 辽宁 5 18,2012· 浙江20 2012· 新课标全国19,2012· 安徽 8 19,2012· 北京16

r />空间垂直关系

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1.点、直线、平面的位置关系 思考1:解决空间线面位置关系的判断常用什么方法?
研讨:(1)借助空间线面位置关系中的线面平行、面面平行、 线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理判断解决问题. (2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型 中观察线面位置关系,结合有关定理作出正确的判断.

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2.空间平行关系 思考2:证明空间平行关系的常用方法有哪些?
研讨:(1)证明线线平行的常用方法有:①利用平行公理;② 利用平行四边形的性质;③利用三角形中位线定理;④利用 线面平行、面面平行的性质定理. (2)证明线面平行的常用方法有:①利用线面平行的判定定 理;②利用面面平行的性质定理. (3)证明面面平行的常用方法有:①依据判定定理,只要找到 一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可,从而将证面 面平行转化为证线面平行,再转化为证线线平行;②两平面 垂直于同一直线,则它们互相平行.
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3.空间垂直关系 思考3:证明空间线面、面面垂直的常用方法有哪些?
研讨:(1)证明线面垂直的常用方法有:①利用线面垂直的判 定定理;②利用面面垂直的性质定理;③利用教材中常见结 论,如:两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也 垂直于这个平面等. (2)证明面面垂直的常用方法有:面面垂直的判定定理,即证 明一个面过另一个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证 明线面垂直,一般先从现有的直线中寻找,若图中不存在这 样的直线,则借助中点、高线或添加辅助线来解决.
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1.(2012· 浙江)设l是直线,α,β是两个不同的平面 A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β

(

).

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解析

利用线与面、面与面的关系定理判定,用特例法.

设α∩β=a,若直线l∥a,且l?α,l?β,则l∥α,l∥β,因此α 不一定平行于β,故A错误;由于l∥α,故在α内存在直线l′∥ l,又因为l⊥β,所以l′⊥β,故α⊥β,所以B正确;若α⊥β, 在β内作交线的垂线l,则l⊥α,此时l在平面β内,因此C错 误;已知α⊥β,若α∩β=a,l∥a,且l不在平面α,β内,则l∥ α且l∥β,因此D错误.

答案 B

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2.(2012· 四川)下列命题正确的是

(

).

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平 行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两 个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平 面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

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解析 利用线面位置关系的判定和性质解答. A错误,如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等,但两条 母线相交;B错误,△ABC的三个顶点中,A、B在α的同侧, 而点C在α的另一侧,且AB平行于α,此时可有A、B、C三点到 平面α距离相等,但两平面相交;D错误,如教室中两个相邻 墙面都与地面垂直,但这两个面相交,故选C.
答案 C

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3.(2012· 安徽)设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α 内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ).

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当α⊥β时,由于α∩β=m,b?β,b⊥m,由面面垂直 的性质定理知,b⊥α.又∵a?α,∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥ b”的充分条件.而当a?α且a∥m时,∵b⊥m,∴b⊥a.而此 时平面α与平面β不一定垂直,∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必 要条件,故选A. 答案 A
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4.(2012· 济宁模拟)若l为一条直线,α,β,γ为三个互不重合的 平面,给出下面三个命题: ①α⊥γ,β⊥γ?α⊥β;②α⊥γ,β∥γ?α⊥β;③l∥α,l⊥β?α ⊥β. 其中正确的有 A.① B.①② C.②③ D.①②③ ( ).

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解析

正方体中一个对角面和一个侧面都与底面垂直,但这

两个面不垂直,故命题①不正确;若α⊥γ,在平面α内作平面 α与平面γ的交线的垂线m,根据面面垂直的性质定理,m⊥γ, 又β∥γ,故m⊥β,这样平面α过平面β的一条垂直,故α⊥β, 命题②正确;过直线l作平面δ交平面α于直线n,根据线面平行 的性质定理,l∥n,又l⊥β,故n⊥β,这样平面α就过平面β的 一条垂线,故α⊥β,故命题③正确.故选C.

答案 C

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类型一 点、线、面的位置关系 【例1】 对于四面体ABCD,下列命题正确的是________(写出 所有正确命题的编号). ①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线;②由顶点A作四面 体的高,其垂足是△BCD三条高线的交点;③若分别作△ABC 和△ABD的边AB上的高,则这两条高的垂足重合;④任何三 个面的面积之和都大于第四个面的面积;⑤分别作三组相对 棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点.
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[思路点拨] 画出四面体ABCD的直观图,根据点、线、面的位 置关系进行分析. [尝试解答] 若AB与CD共面,ABCD就成了平面图形,故①
对; 若垂足为△BCD高线的交点,必推出对 棱垂直,故②错; 只有当以AB为底的三角形是等腰三角 形时,垂足才能重合,故③错; 设垂足为O,过O作OE⊥CD于E,连接AE,则OE<AE. 1 1 ∴S△COD=2CD· OE<S△ACD=2CD· AE.
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同理可得S△ABD>S△BOD,S△ABC>S△BOC, ∴S△ACD+S△ABC+S△ABD>S△BCD.故④对. 如图,点E、F、G、H、M、N为各边 中点,这样可得到?EFGH和?ENGM它 们的对角线EG和FH互相平分,EG和 MN也互相平分. 因此,三条线段EG,FH,MN交于一 点,故⑤对.

答案 ①④⑤

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[规律方法]

准确画出相应的几何体,结合该几何体来研究各

命题的真假.若判定一个命题为假,只需举一反例(特殊状 态、特殊位置、特殊图形)即可.有时用反证法来判断也可 以.

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【变式训练1】 设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下 列命题正确的是 A.若l⊥m,m?α,则l⊥α B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α C.若l∥α,m?α,则l∥m D.若l∥α,m∥α,则l∥m ( ).

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解析 对于A,由l⊥m及m?α,可知l与α的位置关系有平行、 相交或在平面内三种,故A不正确.B正确.对于C,由l∥α, m?α知,l与m的位置关系为平行或异面,故C不正确.对于 D,由l∥α,m∥α知,l与m的位置关系为平行、异面或相交, 故D不正确.
答案 B

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类型二 平行关系与垂直关系 【例2】 如图,在四棱锥P-ABCD中,平 面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD= 60° ,E,F分别是AP,AD的中点. 求证:(1)直线EF∥平面PCD; (2)平面BEF⊥平面PAD.

[思路点拨] (1)证明线面平行,可以先证线线平行.(2)证明面 面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面.

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[尝试解答] (1)如图,在△PAD中,因为 E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥ PD.又因为EF?平面PCD,PD?平面 PCD, 所以直线EF∥平面PCD. (2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60° ,所以△ABD为正三角 形.

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因为F是AD的中点,所以BF⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD,BF?平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD. 又因为BF?平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.

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[规律方法]

在立体几何的平行关系问题中,“中点”是经常

使用的一个特殊点,无论是试题本身的已知条件,还是在具 体的解题中,通过找“中点”,连“中点”,即可出现平行 线,而线线平行是平行关系的根本.在垂直关系的证明中, 线线垂直是问题的核心,可以根据已知的平面图形通过计算 的方式证明线线垂直,也可以根据已知的垂直关系证明线线 垂直.

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【变式训练2】 (2012· 江苏)如图,在直三 棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1, D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不 同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中 点. 求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1; (2)直线A1F∥平面ADE.

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证明

(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,

所以CC1⊥平面ABC. 又AD?平面ABC,所以CC1⊥AD. 又因为AD⊥DE,CC1,DE?平面BCC1B1,CC1∩DE=E,所 以AD⊥平面BCC1B1. 又AD?平面ADE, 所以平面ADE⊥平面BCC1B1.

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(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点, 所以A1F⊥B1C1. 因为CC1⊥平面A1B1C1,且A1F?平面A1B1C1, 所以CC1⊥A1F. 又因为CC1,B1C1?平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1, 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD. 又AD?平面ADE,A1F?平面ADE, 所以直线A1F∥平面ADE.
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类型三

探索性问题

【例3】 如图所示,四边形ABCD为矩 形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC,F 为CE上的点,且BF⊥平面ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)设M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一 点N,使得MN∥平面DAE.

[思路点拨] (1)通过线面垂直证明线线垂直.(2)这是一道探索 性问题,先确定点N的位置,再进行证明.要注意解题的方向 性,通过寻找到的条件,证明MN∥平面DAE成立.
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[尝试解答] (1)证明:∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC,∴BC⊥平面ABE, AE?平面ABE. ∴AE⊥BC. 又∵BF⊥平面ACE, AE?平面ACE.∴AE⊥BF, ∵BC∩BF=B,∴AE⊥平面BCE,又BE?平面BCE, ∴AE⊥BE.

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(2)在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点,在△BEC中过G 点作GN∥BC交EC于N点,连接MN,则由比例关系易得CN= 1 3CE. ∵MG∥AE,MG?平面ADE,AE?平面ADE, ∴MG∥平面ADE. 同理,GN∥平面ADE.又∵GN∩MG=G, ∴平面MGN∥平面ADE. 又MN?平面MGN,∴MN∥平面ADE. ∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.
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[规律方法]

解决探究某些点或线的存在性问题,一般方法是

先研究特殊点(中点、三等分点等)、特殊位置(平行或垂直), 再证明其符合要求,一般来说与平行有关的探索性问题常常 寻找三角形的中位线或平行四边形.

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【变式训练3】 如图(1)所示,在直角梯形ABCP中,BC∥AP, AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD=2,E,F,G分别为线段 PC,PD,BC的中点.现将△PDC折起,使平面PDC⊥平面 ABCD(如图(2)).

(1)求证:AP∥平面EFG; (2)在线段PB上确定一点Q,使PC⊥平面ADQ,试给出证明.
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(1)证明 ∵E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD∥AB. 又EF?平面PAB,AB?平面PAB, ∴EF∥平面PAB. 同理:EG∥平面PAB.又EF∩EG=E. ∴平面EFG∥平面PAB. ∵AP?平面PAB,AP?平面EFG, ∴AP∥平面EFG.

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(2)解

取 PB 的中点 Q,连接 AQ,QD,

则 PC⊥平面 ADQ. 连接 DE,EQ, ∵E,Q 分别是 PC,PB 的中点, ∴EQ∥BC∥AD. ∵平面 PDC⊥平面 ABCD,PD⊥DC, ∴PD⊥平面 ABCD. ∴PD⊥AD,又 AD⊥DC,PD∩DC=D,

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∴AD⊥平面PDC.又PC?平面PDC,∴AD⊥PC. 在△PDC中,PD=CD,E是PC的中点. ∴DE⊥PC,又AD∩DE=D. ∴PC⊥平面ADEQ,即PC⊥平面ADQ.

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立体几何中的“翻折”问题

高考中,本讲的考查重点是空间线面的平行关系与垂直关 系的证明问题,题型主要是解答证明题,分值12分左右,属于 中等难度的试题,其中,“翻折”问题是一种较新颖的题目, 值得关注.

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【典例仿真】 (满分12分)如图,在△ π ABC中,∠B= 2 ,AB=BC=2,P为 AB边上一动点,PD∥BC交AC于点 D,现将△PDA沿PD翻折至△ PDA′,使平面PDA′⊥平面PBCD. (1)当棱锥A′-PBCD的体积最大时,求PA的长. (2)若点P为AB的中点,E为A′C的中点,求证:A′B⊥DE.

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[规范解答] (1)令PA=x(0<x<2),则A′P=PD=x,BP=2-x. 因为A′P⊥PD,且平面A′PD⊥平面PBCD,故A′P⊥平面 1 1 1 PBCD.所以VA′-PBCD=3Sh=6(2-x)· (2+x)x=6(4x-x3). 1 令f(x)=6(4x-x3),(4分) 1 2 2 由f′(x)=6(4-3x )=0,得x=3 3(负值舍去).(5分)
? 2 当x∈?0,3 ? ?2 当x∈?3 ? ? 3?时,f′(x)>0,f(x)单调递增; ?

? 3,2?时,f′(x)<0,f(x)单调递减.(7分) ?
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2 所以当x=3 3时,f(x)取得最大值. 2 3 故当VA′-PBCD最大时,PA= 3 .(8分)
(2)证明:设F为A′B的中点,如图所示,连接PF,FE, 1 1 则有EF綉2BC,PD綉2BC.(10分)

所以EF綉PD.

所以四边形EFPD为平行四边形.
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所以DE∥PF. 又A′P=PB,所以PF⊥A′B, 故DE⊥A′B.(12分)

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易错提示:平面几何图形翻折前后的位置关系或数量关系是否 改变把握不准而致误. 防范措施:(1)解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关 系和数量关系改变,哪些不变,抓住翻折前后不变的量,充 分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口.(2)把平面图 形翻折后,经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥,从而把 问题转化到我们熟悉的几何体中解决.

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