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台州中学2009-2010学年第二学期第一次统练试题高二数学(理)


台州中学 2009—2010 学年第二学期第一次统练试题 高二 数学(理)

校对:龙京 请按题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效;本试 卷满分 100 分,本卷不得使用计算器。 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.使 i 取正实数的最小正整数 n 的值为( A .1 2. 函数 y ?
5

/>n



B .2

C.4 D .8 )

x 4 的导数是 (
B
2

A

1 3 x 5
2

2 3 x 5

C

4 ?5 x 5

1

D

?

4 ?5 x 5
)

1

3.椭圆 5 x ? ky ? 5 的一个焦点是 (0, 2) ,那么实数 k 的值为( A. ?1 B. 1 C. ?25 D. 25 )

4.曲线 y ? x 3 ? 3x 2 ? 1 在点 (1,?1) 处的切线方程为( A. y ? ?3x ? 2 B. y ? 3x ? 4 C. y ? ?4 x ? 3 5.下列命题错误的是(
2

D. y ? 4 x ? 5
2


2 2

A.对于命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p 为: ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 B.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1”的逆否命题为“若 x ? 1 , 则 x ? 3x ? 2 ? 0 ” C.若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 D. x ? 2 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 “ x2 y 2 6. 已知点 F1 、F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1 的左、 右焦点,M 为椭圆上一点,MF1 垂直于 x 轴, a b
2

?F1MF2 ? 600 ,则该椭圆的离心率 e 为 (

) C. )

1 2 B. 2 2 7. 下面几种推理中是演绎推理的序号为( ....
A.

1 3

D.

3 3

A.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电; B.猜想数列
1 1 1 1 (n ? N ? ) ; , , ,? 的通项公式为 an ? n(n ? 1) 1? 2 2 ? 3 3 ? 4
2

C.半径为 r 圆的面积 S ? ? r ,则单位圆的面积 S ? ? ; D.由平面直角坐标系中圆的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,推测空间直角坐标系中
2 2 2

球的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? ( z ? c) ? r
2 2 2

2

.

8. 椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1、F2,短轴两端点 B1、B2,已知 F1、F2、B1、 a2 b2


B2 四点共圆 ,且点(0,3)到椭圆上的点的最远距离为 5 2 ,则此椭圆的方程是( A.

x2 y 2 ? ?1 32 16
x2 y2 ? ?1 2(5 2 ? 3) 2 (5 2 ? 3) 2
2

B.

x2 y 2 ? ?1 64 16

C.

D.

x2 y2 ? ?1 16 8

9.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有

f ( x ) ? 0 ,则
A. 3

f (1) 的最小值为( f '(0)
B.

)

3 2 ' 10. 已知函数 f (x) 的定义域为[—2,? ?) ,部分对应值如下表。 f ( x) 为 f (x) 的导函数, ' 函数 y ? f ( x) 的图象如右图所示:
C. 2 D.

5 2

x
f (x)

—2 1

0 —1

4 1

若两正数 a, b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 A. ( , )

6 4 7 3

b?3 的取值范围是( a?3 3 7 2 6 B. ( , ) C. ( , ) 5 3 3 5

) D. (? ,3)

1 3

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) 11.复数

3 ? 2i ? 2 ? 3i

x2 ? y 2 ? 1 交于 P , P2 ,线段 PP2 的中点为 P ,设直线 m 的 1 1 2 斜率为 k1 ? k1 ? 0 ? ,直线 OP 的斜率为 k 2 ,则 k1k2 的值为

12.过点 M ? ?2, 0 ? 的直线 m 与椭圆

13.设 x, y 满足

x2 ? y 2 ? 1 ,则 x ? 2 y 的最大值为 4



e x ? e? x e x ? e? x 和双曲线余弦函数 ch x ? , 2 2 而双曲线正弦函数和双曲线余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质, 比如关于正、余弦函数有 sin( x ? y) ? sin x cos y ? cos x sin y 成立,而关于双曲正、余弦函 数满足 sh( x ? y) ? shxchy? chxshy.请你运用类比的思想,写出关于双曲正弦、双曲余 弦的一个新关系式 .
14. 在技术工程上, 常用到双曲线正弦函数 sh x ?

15. 我们把离心率等于黄金比

5 ? 1 的椭圆称为优美椭圆,设 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 2

x2

y2

是优美椭圆,F,A 分别是它的左焦点和右顶点,B 是它短轴的一个端点,则∠ABF= ???? ???? ? x2 16. F1 , F2 分别是椭圆 ? y 2 ? 1 的左、右焦点, P 是该椭圆上的一个动点,则 PF1 ? PF2 的最大
4

值为



???? 3 ??? ? ? 17.已知P是圆x 2 ? y 2 ? 4上的动点,DP ? x轴于D点, ? DP,则点M的轨迹方程是 DM 2
三、解答题(共 42 分) 18. (本题 8 分)给定两个命题, P :关于 x 的方程 x 2 ? 4 x ? a ? 0 有实数根; Q :方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆;如果 P ? Q 为真命题, P ? Q 为假命题,求实 4?a a?2 数 a 的取值范围.
19. (本题 8 分)△ABC 一边的两个顶点为 B( ? 3,0) ,C(3,0)另两边所在直线的斜率 之积为 ? ( ? 为常数且 ? ? 0 ) ,求顶点 A 的轨迹。 20.(本题 12 分) 如下图(1)所示,定义在区间 D 上的函数 f (x) ,如果满足:对 ? x ? D , ? 常数 A,都有 f ( x) ? A 成立,则称函数 f ( x) 在区间 D 上有下界,其中 A 称为函数的下 .. ... .... .... 界. (提示:图(1)、 (2)中的常数 A 、 B 可以是正数,也可以是负数或零) . y=f(x)

y=A X1 D=[x1,x2] (1) (Ⅰ)试判断函数 f ( x) ? x ?
3

X2 (2)

48 在 (0, ??) 上是否有下界?并说明理由; x (Ⅱ)又如具有右图(2)特征的函数称为在区间 D 上有上界.请你类比函数有下界的定 义,给出函数 f ( x) 在区间 D 上有上界的定义,并判断(Ⅰ)中的函数在 (??,0) 上是否有
上界?并说明理由; (Ⅲ)若函数 f ( x) 在区间 D 上既有上界又有下界,则称函数 f ( x) 在区间 D 上有界,函 数 f ( x) 叫做有界函数.试探究函数 f ( x) ? x ?
3

( m ? 0, n ? 0, m 、 n 是常数)上的有界函数?

a ( a ? 0, a 是常数)是否是 [m, n] x

y2 x2 21. (本题 14 分)设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 )是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的两点,已知 a b x y x y 3 , 短轴长为 2, O 向量 m ? ( 1 , 1 ) , n ? ( 2 , 2 ) ,若 m ? n ? 0 ,且椭圆的离心率 e ? 2 b a b a
为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c)(c 为半焦距) , ,求直线 AB 的斜率 k 的值; (Ⅲ)试问:△ AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

班级__________________

姓名___________________

号次__________ 考试号________________

·················· ··················· ··················· ········· ··················装···················订···················线·········· ··················· ··················· ··················· ··········
答案 1 2 题号 11._______________ 3 14._______________

高二
4

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) 5 12._______________ 15._______________ 13._______________ 16._______________

一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)

数学(理)
6

17.__________________________________________________ 三、解答题(共 42 分) 18. 分) (8 7 8 9 10

台州中学 2009—2010 学年第二学期第一次统练试题

19. 分) (8

20. (12 分) (I)

(II) 定义: _____________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

(III)

21. (14 分)

2009—2010 学年第二学期第 1 次统练高二数学参考答案
一、选择题 题号 答案 二. 11.i 1 C 2 C 12. ?
1 2

3 B 13. 2 2

4 A

5 C

6 D

7 C

8 A

9 C

10 B

14. 因为 sinh 2 x ?

sh ? x ? y ? ? shxchy ? chxshy或ch ? x ? y ? ? chxchy ? shxshy

1 2x 1 1 1 (e ? 2 x ? 2) , cosh2 x ? (e 2 x ? 2 x ? 2) 4 4 e e c o s 2hx ? s i n 2 x ? 1 或 h

或sh 2 x ? 2 shxchx或ch 2 x ? sh 2 x ? 1等等(写对一个即可) 15. 90? x2 y2 16.1 17. ? ?1 4 9 三. 18.P: a ? 4 (2 分) Q: 2 ? a ? 3 (2 分)
由于 P ? Q 为真命题, P ? Q 为假命题,故 PQ 一真一假, 分) (2 故 a ? 2或3 ? a ? 4 (4 分)

x2 y2 ? ? 1, ( x ? ?3) ? ? ? ? ? ?4分 9 9? ? ? ?1时,是焦点在y轴上的椭圆 除去(-3,0)(3,0)--------1 分 , ? 1 ? ? ? 0时,是焦点在x轴上的椭圆 除去(-3,0)(3,0)--------1 分 , ? ? ?1时,是圆心在原点半径为3的圆 除去(-3,0)(3,0)--------1 分 , ? ? 0时,是焦点在x轴上的双曲线除去(-3,0)(3,0)----------1 分 , 48 48 2 2 20. (I) ∵ f ?( x) ? 3x ? 2 ,由 f ?( x) ? 0 得 3x ? 2 ? 0 , x x
19.

x 4 ? 16,

∵ x ? (0, ??) ,

∴ x ? 2,

∵当 0 ? x ? 2 时, f '( x) ? 0 ,∴函数 f (x) 在(0,2)上是减函数; 当 x ? 2 时, f '( x) ? 0 ,∴函数 f (x) 在(2,+ ? )上是增函数; ∴ x ? 2 是函数的在区间(0,+ ? )上的最小值点, f ( x)min ? f (2) ? 8 ? ∴对 ?x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 32 , 即在区间(0,+ ? )上存在常数 A=32,使得对 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? A 成立, ∴函数 f ( x) ? x ?
3

48 ? 32 2

48 在(0,+ ? )上有下界. x

(II)类比函数有下界的定义,函数有上界可以这样定义: 定义在 D 上的函数 f (x) ,如果满足:对 ? x ? D , ? 常数 B,都有 f ( x) ≤B 成立,则 称函数 f (x) 在 D 上有上界,其中 B 称为函数的上界. 设 x ? 0, 则 ? x ? 0 ,由(1)知,对 ?x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 32 , ∴ f (? x) ? 32 ,∵函数 f ( x) ? x3 ? ∴ ? f ( x) ? 32 ,∴ f ( x) ? ?32 即存在常数 B=-32,对 ? x ? (??, 0) ,都有 f ( x) ? B ,

48 为奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) x

48 在(- ? , 0)上有上界. x a ' 2 (III)∵ f ( x) ? 3x ? 2 , x
∴函数 f ( x) ? x ?
3

∵ a ? 0, b ? 0

由f ' ( x) ? 3x 2 ?

a a a ? 0得x ? ? 4 或x ? 4 2 3 3 x

∵ [m, n] ? (0, ??) ,

①当

m?4

a 3

时,函数 f (x) 在 [m, n] 上是增函数;

∴ f (m) ? f ( x) ? f (n) ∵ m 、 n 是常数,∴ f (m) 、 f (n) 都是常数 令 f (m) ? A, f (n) ? B , ∴对 ?x ? [m, n] , ? 常数 A,B,都有 A ? f ( x) ? B 即函数 f ( x) ? x ?
3

a 在 [m, n] 上既有上界又有下界 x

②当 n ?

4

a 时函数 f (x) 在 [m, n] 上是减函数 3

∴对 ?x ? [m, n] 都有 f (n) ? f ( x) ? f (m) ∴函数 f ( x) ? x ?
3

a 在 [m, n] 上有界. x

③当 m ?

4

a a 4 ? n 时,函数 f (x) 在 [m, n] 上有最小值 f min ? f ( 4 ) ? 4 3a 3 3 3 3



A?

44 3 3a ,令 B= f (m) 、 f (n) 中的最大者 3

则对 ?x ? [m, n] , ? 常数 A,B,都有 A ? f ( x) ? B

a 在 [m, n] 上有界. x a 综上可知函数 f ( x) ? x 3 ? 是 [m, n] 上的有界函数. x
∴函数 f ( x) ? x 3 ? 21 解: (Ⅰ) 2b ? 2.b ? 1, e ? 椭圆的方程为

c a 2 ? b2 3 ? ? ? a ? 2, c ? 3 a a 2
………………………………3 分

y2 ? x2 ? 1 4

(Ⅱ)由题意,设 AB 的方程为 y ? kx ? 3

? y ? kx ? 3 ? 2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2 3kx ? 1 ? 0.................4分 ?y 2 ? ? x ?1 ?4 x1 ? x2 ? ?2 3k ?1 , x1 x 2 ? 2 . 2 k ?4 k ?4 .................5分

由已知 m ? n ? 0 得:

x1 x2 y1 y2 1 ? 2 ? x1 x2 ? (kx1 ? 3)(kx2 ? 3) 2 b a 4 ? (1 ? k2 3k 3 ) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 4 4 .................6分

?

k2 ? 4 1 3k ?2 3k 3 (? 2 )? ? ? ? 0, 解得k ? ? 2 ……7 分 4 k ?4 4 k2 ? 4 4
(Ⅲ) (1)当直线 AB 斜率不存在时,即 x1 ? x2 , y1 ? ? y2 ,由 m ? n ? 0

x12 ?

y12 ? 0 ? y12 ? 4 x12 4

………………………………8 分

2 又 A( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 x1 ?

4 x12 2 ? 1 ? x1 ? , y1 ? 2 4 2

s?

1 1 x1 y1 ? y2 ? x1 2 y1 ? 1 2 2

所以三角形的面积为定值. ……………………………………9 分 (2)当直线 AB 斜率存在时:设 AB 的方程为 y=kx+b

?y ? kx? b ? 2k b ? 2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2k bx ? b 2 ? 4 ? 0得到x1 ? x 2 ? 2 ?y 2 k ?4 ? ? x ?1 ?4

b2 ? 4 x1 x 2 ? 2 k ?4

……………………………………10 分

x1 x2 ?

y1 y 2 (kx ? b)( kx2 ? b) ? 0 ? x1 x2 ? 1 ? 0代入整理得 : 4 4
………………………………………12 分

2b2 ? k 2 ? 4

1 b 1 | b | 4k 2 ? 4b 2 ? 16 2 S? AB ? | b | ( x 1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 2 1? k 2 2 k2 ? 4
4b 2 ? ?1 2|b|
所以三角形的面积为定值. ………………………………………14 分


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