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导数与微分计算题1


计算题(共 200 小题)
1、设 f ( x ) ? e ,试直接利用导数定义求 f ?(x ) 。
3x

2、设 f ( x ) ? x ? 2 x ,试用导数定义求 f ?(x ) 。
3

3、设   f ( x ) ?

1 x

,试用导数定义求 f ?(1

). 。

x 4、设 f ( x ) ? 2 ,试直接利用导数定义求 f ?(x ) 。

x 5、设 f ( x ) ? e ,试利用导数定义求 f ?(x ) 。
2

6、设 f ( x ) ? ln 1 ? 5 x ,试利用导数定义求 f ?(x ) 。

7、设 f ( x ) 在 x ? 1 处可导且 f ?(1) ? 2 ,求极限 lim

f (1 ? x ) ? f (1 ? x )

x?0

。 。

8、设 f ( x ) 在 x ? a 处可导且 f ?( a ) ? b ,求极限 lim

x f ( a ? h ) ? f ( a ? 2 hx) h f (1 ? 2t ) ? f (1) sin 3t


x?0

9、设 f ( x ) 在 x ? 1 处可导,且 f ?(1) ? 2 ,求极限 lim 10、

x?0

已知  f ( x )在 x ? 1可导,且 f (1) ? 0, f ?(1) ? 3,试求 lim
11、

f ( x tan x ? e x 2 ) sin 2 x

x?0

1 ? ? f ( x ) 在 x 0 处可导,且 f ? ( x 0 ) ? a,求极限 lim n ? f ( x 0 ? ) ? f ( x0 )? . n? ? 2n ? ?
12、

设  f ( x )在 x ? x 0 处可导,求极限 lim
13、

xf ( x 0 ) ? x 0 f ( x ) x ? x0

x ? x0



已知  f ? ( x 0 ) ? ?5,求 lim
x?0

x f ( x0 ? 2 x) ? f ( x0 ? x)



14、

设  f ( x ) ?
15、

? ( x ) sin x
(1 ? e 2 x ) x

,其中 ? ( x ) 在 x ? 0 处可导,且 ? ( 0) ? 0, 求 lim f ( x ) .
x?0

?ln( x 2 ? a 2 )  , x ? 1, 设f ? x? ? ? 试确定常数 a , b 使 f ( x ) 在 x ? 1处可导. ?sin b ( x ? 1)  , x ? 1,

16、

?sin ax  , x ? 0  , 设  f ( x ) ? ? 2 x 试确定 ?e ? b  ,   x ? 0  , 常数 a , b , 使 f ( x ) 在 x ? 0 处可导.
17、

试确定常数 a , b的值 , 使函数 ?cos 3 x , x ? 0 ,    f ( x ) ? ? x ?be ? a, x ? 0 , 在 x ? 0 处可导.
18、

?e 2 x  , x ? 0, 求  a , b 的值,使 f ( x ) ? ? 在 x ? 0处可导. ? ax ? b , x ? 0,
19、

?ax ? b    x ? 0 设  f ( x ) ? ? 确定 a , b 的值使 f ( x ) 在 x ? 0 处可导. ln(1 ? x )   x ? 0 ?
20、

设 f ( x ) ? ln(1 ? 2 x ) .试直接利用导数定义求 f ? ( x ) .
21、

设 f ( x ) ? tan x .试直接利用导数定义求 f ? ( x ) .
22、

设  f ( x ) ? cos 3 x.试用导数定义求 f ? ( x ) .
23、

设  ? ( x ) ? lim
t ?0

e x ? f ( x ? t ) ? f ( x )? sin t

,且 f ( x ) 可导,求 ? ( x )

24、

设  ? ( x ) ? lim
t ?0

x 2 ? f ( x ? 2t ) ? f ( x )? t

,其中 f ( x ) 二阶可导 , 求 ? ? ( x ) .

25、

?arctan x  , x ? 0 , 设  f ( x ) ? ? x 求 f ?( x ) e ? 1 , x ? 0 , ?
26、

1 ? 2 ? x cos  , x ? 0 , 设f ( x) ? ? 求 f ?( x ) . x ?    0   , x ? 0 , ?

27、

设  f ( x ) ? ? ( a ? bx ) ? ? ( a ? bx ) ,其中 ? ( x ) 在 ( ?? , ? ? ) 有定义 且在 x ? a可导 , 求 f ? ( 0) 的值.
28、

?sin x    x ? c 设f ( x) ? ? c 为常数 , 试确定 a , b 的值 , 使 f ( x ) 在 x ? c 处可导 ?ax ? b   x ? c
29、

? x 2 ? x      , x ? 0, ? 设 f ( x ) ? ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d , ? x ? 1, 0 试确定 ? 2 1 ? x ? x      , ? x , 常数 a , b, c , d值 , 使 f ( x )处为可导.
30、

?e ax   ? 0, ? ,x 求  a , b 之值,使 f ( x ) ? ? 在 t ? 0点可微. ?b (1 ? x ) 2 , x ? 0 ?
31、

? g ( x ) ? cos x ,x ? 0 ? 设f ( x) ? ? 其中 g ( x ) 有连续的二阶导数 , g ( 0) ? 1 x ?    0   , x ? 0 , ? 求 a 的值 , 使 f ( x ) 在 x ? 0 处可导 , 并求 f ? ( x ) .
32、

设函数 f ( x )处可微 , 且有 f ?( 0 ) ? 1, 并对任意实数 x和 y恒有 f ( x ? y) ? e x
33、

f ( y ) ? e y f ( x ) .试求 f ?( x ).

1 ? ? g ( x ) cos  , x ? 0 , f ( x) ? ? 且 g ( 0) ? g ? ( 0) ? 0, 求 f ? ( 0) . x ?    0    ,   x ? 0 . ?
34、

设? ( x ) 在x ? a点连续 , f ( x ) ? ? ( x ) ln(1 ? x ? a ), 试求f ? ( a ) .
35、

? ? f (a ? 设 f ?( a ) 存在 , f ( a ) ? 0.试求 lim ? n ? ?? ? f (a ? ? ?
36、

1 ? ) n ? , 其中 n为正整数。 ? 1 ? ) n ? ?

n

设  f ( x ) ? g ( x )? ( x ) ,其中 ? ( x ) 在点 a的某邻域内连续 , g ( x ) 在点 a 可导,且 g ? ( a ) ? A , g ( a ) ? 0 .试求 f ? ( a ) .
37、

设函数 f ( x ) 对任意 x均满足 f (1 ? x ) ? 2 f ( x ), 在 0点可导   且 f (0) ? 1. f ?(0) ? c ( c为已知常数 ).求 f ?(1).
38、 设y ? ln 2 ? 2 ? x ,求 y ?
x x 2

39、

设  y ? sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? csc x.求y ?
40、

设  y ? arcsin x ? thx,求 y ? ( x )
41、

设  y ? arctan x ? tan x ? sec x.求 y ? ( x )
42、

设  y ? 3e x chx ? sec x.求 y ?( x ).
43、

设  y ?
44、

a x

?

x2 b

? x ln x.求 y ? ( x ) .

设 y ? ln 3 x ? arcsin x ? tan x.求y ?.
45、

设  y ? x a ? a x    ( a ? 0, 是常数 ) .求 y ?
46、

设 y ? sin x ? cos x ? a x . ( a ? 0,a ? 1) ,求y ? ( x )
47、

设  y ?
48、

1 ax

? arctan x ? csc x ?

x ( a ? 0), 求 y ?.

设  y ?
49、

cos x x ? x3

? cot x.求 y ?.

设y ?

1+ sin x 1 ? ln x

  求 y ?.

50、

设  y ? e x ( 3 sin x ) ?
51、

1 ln x

,求 y ? ( x ) .

设  y ?
52、

sin x ? ln x x

  求 y ? ( x ) .

设   y ? ? tan x ? x
53、

2

5

? cos x ?

sin x x

  求 y ?

设   y ? x ln x ?
54、

ln x x

? e x   .求 y ?.

设   y ?
55、

ln 4 x 3x ? x 2

,求 y ?

设  y ?
56、

t sin t 1 ? sin t t cos t 1 ? cos t

  , 求y ?(t ) .

设  y ?
57、

,求 y ? ( t ) .

设  y ?
58、

1 ? cot x 1 ? tan x
x3 shx

 , 求 y ?.

设  y ?
59、

.求 y ?.

设  y ?
60、

tan x x
ax

? e x ? cos x ? thx 求 y ?.

设  y ?
61、

x ? sin x

( a ? 0) ,求 y ?.

设  y ?
62、

ax ? bx x

( a ? 0, b ? 0), 求 y ?.

设  x ? ( 3t 2 ? 2 t ) log 2 .求 x ? ( t ) .
t

63、

设  y ? 3 x 3 ? log 10 ? tan x 求 y ? ( x ) . 
x

64、

设 y ? e x sin x ? log 2 .求 y ?.
x

65、

设  y ?
66、

1 shx ? tan x

? log 3 ? 3 x  求 y ?.
x

设  y ? sec x ? ln x ?
67、

x ? 2 x  求 y ?.

设  y ? arctan x ? arccos x ? 2 x  求 y ?.
68、

设  y ? 3 x ? csc x ? arc cot x,求 y ?.
69、

设  y ? arccos x ? 2 x ? ln x.求 y ?.
70、

设  y ? csc x ? ln x ? arcsin x ? a x ( a ? 0), 求 y ?( x ).
71、

设  y ? a x e x ? ln( ax) ? tan x ( a ? 0), 求y ?.
72、

设  y ?
73、

1 1? x

? ln x ? sin x ? a x ( a ? 0) .求 y ?.

设  y ? ( x ? 1)( 2 x ? 3)( 4 x ? 5) ,求 y ?.
74、

设  y ? arctan x ? chx ? sin x 求 y ?.
75、

设  y ?
76、

e x tan x 1? x

? sin e.求 y ?.

设  y ? tan x ? 3 x 2 ? sin e.求 y ? ( x ) .
77、

设  y ? tan x ? ln x ? x 2 ? 2 x ? sec x ? arctan e.求 y ?.

78、

设  y ?
79、

x?

ln x x

?

1 x ?1

? cos

?
3

.求 y ?. 

设 y ? thx ? tan x ? ln 3. 求 y ?.
80、

设  y ?
81、

sin x x

? sin

?
3

. 求 y ?.

设  y ?
82、

x ? 1? x2 x

 ,求 y ? ( x ) .

设  y ?
83、

( x 2 ? 1) e x x

.求 y ?.

设  y ?
84、

ax ? b cx ? d
1
3

? e x .求 y ?( x ) .

设  y ?
85、

x?

,求 y ?. x

设  y ?
86、

1? 1?

x x

,求 y ?.

设  y ?
87、

x? x?

x x

,求 y ?.

设  y ? a x e ? x ? ch ( 3 x )   ( a ? 0) 求 y ?.
2

88、

设  y ? ash
89、

x a

? sin

x a

,求 y ?.

设  y ? th
90、

x 3

? cos 5 x,求 y ?.

设  y ? ash

x a

,求 y ?.

91、

设  y ? sin e x ? ( 3 x ) 2 ? ch ( 3 x ) .求 y ?.
92、

设  y ? csc(cot x ) ,  求 y ?.
93、

设  y ? csc(sec 2 x ) ,求 f ? .
94、

设  y ? sin 2
95、

x 2

cos 2 x.求 y ?.

设  y ? ( x ? 1) 3 ? ( 2 x ? 3) 2 ? cos x.求 y ?.
96、

设 y ? e
97、

?

x 2

sin 2 x,求y ?.

设  y ? tan(cos x ) ,求 y ?.
98、

设  y ? ( x 2 ? x ? 2 )
99、

3

2

,求 y ?.

设  y ? e 2 x ?1 ? tan( 3 x ) .求 y ?. 
100、

设  y ? sin 3 x ? cos
101、

x 5

? tan x 2  ,求 y ?.

设  x ? 3 sin( 2 t ? 1) ,求 x ? ( t ) .
102、

设 y ? 2 ( 3 x ? csc x ) 2 ,求y ?.
103、

设  y ? sin 3 x ? cos
104、

x 5

? tan x 2 .求 y ?.

设 y ? cos x 2 ? 1 ? tan 2
105、

x 2

,求 y ?.

设  y ? sin nx ? sin n x,求 y ? ( x ) .

106、

设  y ? e
107、

x

,求 y ?.

设  y ? 1 ? sin x ? e x .求`y ?.
108、

2

设  y ? ( 2 x ? 2 ) 4 ? 8 x 3 ? e 2 x .求 y ?.
109、

设  x ? t 2 ? tan t ? t ? sin(ln t ) ,求 x ? ( t ) .
110、

设  y ?
111、

sin

x 2

? tan( 3 x ) ,求 y ?.

设  y ? tan
112、

1 x2

? cot x  求 y ?.

设  y ? log 3
113、

(2 x)

?

sin e x e
x

? e x ,求 y ? ( x ) .

设  y ? sin(ln x ) ? e sin x ? cos
114、

?
3

,求 y ?.

设  y ? cos
115、

1 1? x

,求 y ?.

设  y ?
116、

3x 4 ? x2

,求 y ?.

设  y ?
117、

3t 2 1? t2

? tan(2t ),求 y ?(t ).

设  y ?
118、

1 x ? a2 ? x2

,求 y ?.

设  y ?
119、

a 3x ? b 4 x ex

, ( a ? 0 , b ? 0) 求 y ?.

设y ?
120、

ln( x 2 ? 3) 1? x

,求 y ?.

设  y ? cos sin x .求 y ?.
121、

设  y ? sin cos x ,求 y ?.
122、

设  y ? th sin( x 2 ) ? arctan 2 x ,求 y ?.
123、

设  y ? arcsin x ?
124、

1 x

,求y ?.

设  y ?
125、

a 3x ? b 2 x x

? arctge x ( a ? 0, b ? 0),求 y ?.

设  y ? arctan( ax 2 ? b ) .求 y ?.
126、

设  x ? sin t ? sec t 2 ? arcsin t .求 x ? ( t ) .
127、

设  y ? ln(1 ? tan x ) ,求 y ?,
128、

设  y ? ln 2 (1 ? tan 2 x ) ,求 y ?.
129、

设  y ? a ? x ? ln 1 ? x . ? 0), 求 y ?. (a
130、

设  y ? x 2 ? ln cos 2 x.求 y ?.
131、

设  y ? ln(tan 2 ( 3 x )) .求y ?.

132、

设  y ? cot x ? sin a x ( a ? 0常数 ), 求 y ?.
133、

设  y ? 2 3 x ? ln( 2 x ) ? 1 ? x 2 , 求 y ?.
134、

设  y ? ln tan x ? e 3 x ,求 y ?.
135、

设  y ? ln cosh x,求 y ?.
136、

设 y ? ln(ln x ) ? sec 2 ( 2 x ) .求y ?.
137、

设  y ? ln cos x ,求 y ?.
138、

设  y ? e
139、

3

x

? ln sin x ,求 y ?.

设  y ? ln 3 x 2 ,求 y ?.
140、

设 y ? ln( 2 x ) ? cos 3 x ? arctan
141、

2

?

,求y ?.

3 x 设  y ? ( ) 2 x ? tan ? sin e,求 y ?. 2 2
142、

设 y ? 10 x tan 2 x ,求 y ? ( x ) .
143、

设  y ? sin 2
144、
ln x

x 2

cos 2 x ? 2 x ,求 y ?.

设 y ? 3
145、

x

.求y ?.

设  y ? ln(1 ? sh 2 x ) 2 ? arctan e 2 ,求 y ?.
146、

设 y ? ln cos 2 (tan 3x ) ? chx ? cot( x ? 1) ,求y ? ( x ) .

147、

设  y ? ln cos e x ? 1 ? cos x ? csc 3 x,求 y ?.
148、

设  y ? ln( x ?
149、

x 2 ? a 2 )   ? 0), 求 y ?. (a

设  y ? ln
150、

1 ? cos 2 x x2

,求 y ?.

设  y ? log 2 ( x 3 ? 2 x ) ? sin
151、

1 x

, 求 y ?( x ).

设  y ?
152、

sh ( e x ) 2? x

? ln(1 ? x 2 ) ,求 y ?.

设  y ? ln
153、

x ?1 x ?1

,求 y ?.

设  y ? sin 2
154、

x 2

?(

x2 ? x

x ?1

) 2 ? tan

x 3

,求 y ?.

设  y ? cos
155、

1? 1?

x x

? e sec x ,求 y ?.

2

设  y ? tan( x ?
156、

1 3

sh 3 x ) ? th ( 2 x ) .求 y ?. 

设  y ? 2 sin( 3t ? 1) ? cot(cos t ) ,求 y ? ( t ) .
157、

设  y ?
158、

3

x ? 1 ? x 2 ,求 y ?.

设  y ? cosh(sinh x ) ? e 3 x ,求 y ? ( x ) .
159、

设  y ?
160、

cos x 2 2 sin x
2

?

1 2

ln tan

x 2

,求 y ?.

设  y ? ln
161、

1 ? sin x 1 ? sin x

? e tan x ,求 y ? ( x ) .

设  y ? sin(cos 2 x ) ? cos(sin 2 x ) ,求 y ?.
162、

?

??

?

设  y ? x 2 1 ?
163、

x ? e sin

x

,求 y ?.

设  y ? x cos x ? ln(cos 2 x ? 1 ? cos 4 x ) ,求 y ?.
164、

设  y ? ln( ? e 2 x ? e 4 x ? 1 ) ? x 3 x ,求 y ?.
165、

设  y ? (sin x ) cos x ? 2 tan x ,求 y ?.
166、

设  y ? (sin x ) x ? csc(2 x ), 求y ?. 
167、

设  y ? (cos x ) sin x ? sec 3 x ,求 y ?.
168、

设  f ( x ) ? e x , g ( x ) ? sin x g? f ( x ) ? dx 求 dx ?d ? ?d ? g? f ( x)? ? f ? g ( x)? ? dx ? ? dx ?
169、

d

? f ( g ( x )) ? ?

d

设  f ( x ) ? 1 ? e ? x ,讨论 f ( x ) 在 x ? 0 处的可导性并求 f ? ( x ) .
2

170、

设  f ( x ) ? e d dx

sin x

1 1 ? 2 ? x (sin 2 ) 3  , x ? 0, , g ( x) ? ? x ?    ? 0,   , x ? 0.



f ?g ( x ) ? x ? 0

171、

设  y ?
172、

3 ln x

  x ? 0 ,求函数的导数 x ? ( y ) .

设  y ? 3 x ,求的函数的导数 x ? ( y ) .
173、

设  y ? x 3 ? sin 5 x ( ?
174、

?
10

?x?

?
10

), 求反函数的导数 x ?( y ).

设  y ? 3 x 3 ? 4e x , 求反函数的导数 x ?( y ).
175、

设  y ? e x ? 3 x 2 ? 1, x ? 0, 求反函数的导数 x ?( y ).
176、

设 y ? e ? x ? x 3 ,求反函数的导数 x ? ( y ) .
177、

设  y ? sin x ? x 3 ,
178、

?
2

?x?

3? 2

,求函数的导数 x ? ( y ) .

设 y ? cos x ? x 5    0 ? x ? ?,求函数的导数x ? ( y ) ,
179、

设  y ? sin x ? cos x, ? ? x ?
180、

3? 2

,求反函数的导数x ? ( y ) .

设  y ?
181、

1 3 x ? cos x
x

,求反函数的导数 x ? ( y ) .

设  y ? log 2 ( x ? 0), 求反函数的导数 x ?( y ).
182、

设  y ? ln
183、

2 ? cos x 2 ? cos x

  (0 ? x ?

?
2

) 求反函数的导数 x ? ( y ) .

设y ?
184、

x2 2x

, x ? 0 ,求反函数的导数 x ? ( y ) .

设  y ?

x x ? 100

, ? x ? 100 , 求反函数的导数 x ?( y ). 0

185、

设  y ?
186、

x ?1 1? x 2x ln x 1 2

? e ? x 求反函数的导数 x ?( y ).

设  y ?
187、

, x ? e求反函数的导数 x ?( y ).

设  y ?
188、

x 2 e ? x  , 0 ? x ? 2 ,求反函数的导数x ? ( y ) .

设 y ? x n e ? x   ( 0 ? x ? n) ,求反函数的导数x ? ( y ) .
189、

设 y ? ln(1 ? x ) ? x ? chx  ( x ? 0) 求反函数的导数 x ? ( y ) .
190、

设  y ? x ? ln x,x ? 0, 求反函数的导数 x ?( y ). 
191、

设  y ?
192、

4 3 3

arctg

2x ? 1 3

,求反函数的导数 x ?( y ). 

设  y ? e arcsin x ,求反函数的导数x ? ( y ) .
193、

设  x ? a ln
194、
1

a ? a2 ? y2 y

 , ? y ? a , 求反函数的导数 y ?( x ). 0

设  y ? x x ( x ? e), 求反函数的导数 x ?( y ).
195、
sin x

设  y ? 2
196、

x

,? x ? 0

?
2

, 求反函数的导数 x ?( y ).

设  y ? arctan( x 3 ? 2) ? ln
197、

x ?1 x ?1

  ? 1)求反函数的导数 x ?( y ). (x

设  ? ( x )是 y ? arcsin( 2 x )   x ? ( ?? ,)的反函数 , 求 ? ?( x ). 0
198、

? x ,   x ? 1 设  f ( x ) ? ? 2 求 f ?? (1) 及 f ?? (1) . ? ? x ? 2 x, x ? 1
199、

?ln(1 ? x ) ,   x ? 0 设  f ( x ) ? 求 f ?( x ) . ?   sin x ,   x ? 0
200、

? ?1 x 2 ? 设  f ( x ) ? ? xe , x ? 0求 f ?(0). ?    x ? 0 ? 0,


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