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高中数列通项公式的十种求法


数列通项公式的十种求法
一、公式法 例 1 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? 3 ? 2 , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

an?1 an 3 a a a 3 ? n ? ,则 n?1 ? n ? ,故数列 { n } 是 n ?1 n ?1 n 2 2 2 2 2 2 2n a 3 a 2

3 以 1 ? ? 1 为首项, 以 为公差的等差数列, 由等差数列的通项公式, n ? 1 ? (n ? 1) , 得 n 1 2 2 2 2 2 3 1 n 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ( n ? )2 。 2 2
解:an ?1 ? 2an ? 3 ? 2 两边除以 2n?1 ,得
n

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an ?1 ? 2an ? 3 ? 2 转化为
n

an?1 an 3 ? ? ,说明数列 2n?1 2n 2 a a 3 { n } 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 n ? 1 ? (n ? 1) ,进而求出数列 n n 2 2 2

{an } 的通项公式。
二、累加法

, 例 2 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ? 2n ? 1 a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。
解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ? 1 ? 1) ? 1 ? 2[( n ? 1) ? ( n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? ( n ? 1) ? 1 (n ? 1) n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)( n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n 。
2

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? an ? 2n ? 1 转化为 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,进而求 出 (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。

, 例 3 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1 a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

1







an?1 ? an ? 2 ?

n

? 3



1

an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1



an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3 3(1 ? 3n ?1 ) ?2 ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ? 3n ? n ? 1
所以 an ? 3 ? n ? 1.
n

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an ?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1 转化为 an ?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1 ,
n n

进而求出 an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 , 即得数列 {an } 的通 项公式。 例4

, 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 3an ? 2 ? 3 ? 1 a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n n

n?1 解: an ?1 ? 3an ? 2 ? 3 ? 1 两边除以 3 ,得

an?1 an 2 1 , ? ? ? 3n?1 3n 3 3n?1



an?1 an 2 1 ,故 ? ? ? 3n?1 3n 3 3n ?1

an an a a an ? 2 an ? 2 an ?3 a2 a1 a ? ( n ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ? 2 ) ? ( n ? 2 ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? 1 n 3 3 an ?1 an ?1 3 3 3 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 (1 ? 3n?1 ) an 2(n ? 1) 3n 2n 1 1 因此 n ? , ? ?1 ? ? ? 3 3 1? 3 3 2 2 ? 3n
则 an ?

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? . 3 2 2
n

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an ?1 ? 3an ? 2 ? 3 ? 1 转化为

an?1 an 2 1 , ? ? ? 3n?1 3n 3 3n ?1

2

进而求出 (

an an ?1 an ?1 an ?2 an ?2 an ?3 a2 a1 a ? an ? ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ?2 ) ? ( n ?2 ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? 1 ,即得数列 ? n ? n 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ?3 ?

的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。 三、累乘法 例 5 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2(n ? 1)5 ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

解:因为 an ?1 ? 2(n ? 1)5 ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则
n

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2( n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n( n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1)? ( n ? 2) ??? 2?1 ? 3 ? 3? 2
n ?1 n ( n ?1) 2

?5

? n!
n ( n ?1) 2

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2n?1 ? 5

? n!.
n

评注: 本题解题的关键是把递推关系 an ?1 ? 2(n ? 1)5 ? an 转化为

an ?1 ? 2(n ? 1)5n , 进而求 an



an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 an ?1 an ? 2 a2 a1

例 6 (2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题)已知数列 {an } 满足

a1 ? 1,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an ?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。
解:因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an?1 (n ? 2) 所以 an ?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an ?1 ? nan 用②式-①式得 an ?1 ? an ? nan . 则 an ?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) ② ①

3



an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an an an ?1 a n! ? ?? ? 3 ? a2 ? [n(n ? 1) ?? ? 4 ? 3]a2 ? a2 . an ?1 an ? 2 a2 2

所以 an ?



由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an?1 (n ? 2) ,取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 ,则 a2 ? a1 ,又知

a1 ? 1 ,则 a2 ? 1 ,代入③得 an ? 1? 3 ? 4 ? 5 ?? ? n ?
所以, {an } 的通项公式为 an ?

n! 。 2

n! . 2
an ?1 ? n ? 1(n ? 2) , an

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an ?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) 转化为

进而求出

an an ?1 a ? ?? ? 3 ? a2 , 从而可得当 n ? 2时,an 的表达式, 最后再求出数列 {an } 的 an ?1 an ? 2 a2

通项公式。 四、待定系数法 例 7 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? 3 ? 5 ,a1 ? 6 ,求数列 ? an ? 的通项公式。
n

解:设 an ?1 ? x ? 5

n ?1

? 2(an ? x ? 5n )


n?1

将 an ?1 ? 2an ? 3 ? 5 代入④式,得 2an ? 3? 5 ? x ? 5
n
n

? 2 n ? 2 ? 5 ,等式两边消去 a x n

2an , 得 3 ? 5n ? x ? 5n?1 ? 2 ? 5 , 两 边 除 以 5n , 得 3 ? 5x ? 2x 则 x ? ? 1, 入 ④ 式 得 , 代 x n
an?1 ? 5n ?1 ? 2(an ? 5n )


an ?1 ? 5n ?1 ? 2 ,则数列 {an ? 5n } 是以 由 a1 ? 5 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及⑤式得 an ? 5 ? 0 ,则 n an ? 5
1
n

a1 ? 51 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 an ? 5n ? 2n?1 ,故 an ? 2n?1 ? 5n 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an ?1 ? 2an ? 3 ? 5 转化为 an ?1 ? 5
n n n
n ?1

? 2(an ? 5n ) ,

从而可知数列 {an ? 5 } 是等比数列,进而求出数列 {an ? 5 } 的通项公式,最后再求出数列

4

{an } 的通项公式。
例 8 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 3an ? 5 ? 2 ? 4,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

解:设 an ?1 ? x ? 2

n ?1

? y ? 3(an ? x ? 2n ? y )



将 an ?1 ? 3an ? 5 ? 2 ? 4 代入⑥式,得
n

3an ? 5 ? 2n ? 4 ? x ? 2n ?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y)
整理得 (5 ? 2 x) ? 2 ? 4 ? y ? 3x ? 2 ? 3 y 。
n n

令?

?5 ? 2 x ? 3 x ?x ? 5 ,则 ? ,代入⑥式得 ?4 ? y ? 3 y ?y ? 2


an ?1 ? 5 ? 2n ?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2)
由 a1 ? 5 ? 2 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 ? 0 及⑦式,
1

an ?1 ? 5 ? 2n ?1 ? 2 ? 3, 得 an ? 5 ? 2 ? 2 ? 0 ,则 an ? 5 ? 2n ? 2
n

故数列 {an ? 5 ? 2 ? 2} 是以 a1 ? 5 ? 2 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 为首项,以 3 为公比的等比数列,
n 1

因此 an ? 5 ? 2 ? 2 ? 13 ? 3
n

n ?1

,则 an ? 13 ? 3

n ?1

? 5 ? 2n ? 2 。
n

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an ?1 ? 3an ? 5 ? 2 ? 4 转化为

an ?1 ? 5 ? 2n ?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2) ,从而可知数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是等比数列,进而求
出数列 {an ? 5 ? 2 ? 2} 的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。
n

例 9 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。
2

解:设 an ?1 ? x(n ? 1) ? y (n ? 1) ? z ? 2(an ? xn ? yn ? z )
2 2



将 an ?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5 代入⑧式,得
2

5

2an ? 3n 2 ? 4n ? 5 ? x(n ? 1) 2 ? y (n ? 1) ? z ? 2(an ? xn 2 ? yn ? z ) ,则 2an ? (3 ? x)n 2 ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2an ? 2 xn 2 ? 2 yn ? 2 z
等式两边消去 2an ,得 (3 ? x)n ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2 xn ? 2 yn ? 2 z ,
2 2

?3 ? x ? 2 x ?x ? 3 ? ? 解方程组 ? 2 x ? y ? 4 ? 2 y ,则 ? y ? 10 ,代入⑧式,得 ?x ? y ? z ? 5 ? 2z ? z ? 18 ? ?
an ?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2(an ? 3n 2 ? 10n ? 18)
2



由 a1 ? 3 ?1 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及⑨式,得 an ? 3n ? 10n ? 18 ? 0
2



an ?1 ? 3(n ? 1) 2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2 ,故数列 {an ? 3n 2 ? 10n ? 18} 为以 2 an ? 3n ? 10n ? 18

a1 ? 3 ?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为首项,以 2 为公比的等比数列,因此 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 32 ? 2n?1 ,则 an ? 2n? 4 ? 3n2 ? 10n ? 18 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an ?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5 转化为
2

an ?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2(an ? 3n 2 ? 10n ? 18) ,从而可知数列
2 {an ? 3n 2 ? 10n ? 18} 是等比数列, 进而求出数列 {an ? 3n ? 10n ? 18} 的通项公式, 最后再

求出数列 {an } 的通项公式。 五、对数变换法 例 10 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2 ? 3 ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。
n 5

解:因为 an ?1 ? 2 ? 3 ? an,a1 ? 7 ,所以 an ? 0,an ?1 ? 0 。在 an ?1 ? 2 ? 3 ? an 式两边取
n 5

n

5

常用对数得 lg an ?1 ? 5lg an ? n lg 3 ? lg 2 设 lg an?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y )



11 ○

6

? 2 ? 将 ⑩ 式 代 入 ○ 式 , 得 5 lgan ? n lg 3 lg ? x n( 11

?y? 1)

5(lg xn ? y , 两 边 消 去 an ? )

5 lgan 并整理,得 (lg3 ? x)n ? x ? y ? lg 2 ? 5xn ? 5 y ,则

lg 3 ? ?x ? 4 lg 3 ? x ? 5 x ? ? ,故 ? ? ? x ? y ? lg 2 ? 5 y ? y ? lg 3 ? lg 2 ? 16 4 ?
代入○式,得 lg an ?1 ? 11 由 lg a1 ? 得 lg an ?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) 4 16 4 4 16 4

12 ○

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 12 ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 及○式, 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? ? 0, 4 16 4

lg an ?1 ?


lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4 ?5, lg 3 lg 3 lg 2 lg an ? n? ? 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 为首项,以 5 为公比的等 n? ? } 是以 lg 7 ? ? ? 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n?1 比数列,则 lg an ? n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ,因此 4 16 4 4 16 4
所以数列 {lg an ?

lg an ? (lg 7 ?

lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
1 1 1 n 1 1

? (lg 7 ? lg 3 4 ? lg 3 6 ? lg 2 4 )5n ?1 ? lg 3 4 ? lg 316 ? lg 2 4 ? [lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )]5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7 ? lg(7
则 an ? 7
5n?1
5 n ?1 1 1 1 n 1 1 1 1 1 n 1 1

?3 ?3

5n?1 ? n 4

?3

5n?1 ?1 16

?2 )

5n?1 ?1 4

)

5 n ?1

5 n ? 4 n ?1 16

?2

5n?1 ?1 4

?3

5 n ? 4 n ?1 16

?2

5n?1 ?1 4


n 5

评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 an ?1 ? 2 ? 3 ? an 转化为

7

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) ,从而可知数列 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 {lg an ? n? ? } 是等比数列,进而求出数列 {lg an ? n? ? } 的通项 4 16 4 4 16 4 lg an ?1 ?
公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。 六、迭代法 例 11 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an 解:因为 an ?1 ? an
3 ? an ?(2n ?1)?n?2
2

3( n ?1)2n

,a1 ? 5 ,求数列 {an } 的通项公式。
3( ? [an ?n2?1)?2 ]3n?2
n?2 n?1

3( n ?1)2n

,所以 an ? an ?1

3 n?2n?1

( n? 2 )?( n?1)

3( ? [an ?n ? 2)?2 ]3 3
3

n ?3

2

( n ?1)?n?2( n?2 )?( n?1)
( n?3)?( n ? 2 )?( n ?1)

3 ? an ?(3n ? 2)( n ?1) n?2

?? ? a13 ?a
n?1

?2?3??( n ? 2)?( n ?1)?n?21? 2????( n?3)?( n?2 )?( n?1)
n ( n?1) 2

3n?1 ?n!?2 1

又 a1 ? 5 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 5

3n?1 ?n!?2

n ( n?1) 2


3( n ?1)2n

评注: 本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。 即先将等式 an ?1 ? an 两边取常用对数得 lg an ?1 ? 3(n ? 1) ? 2 ? lg an , 即
n

lg an ?1 ? 3(n ? 1)2n ,再由累乘法可推知 lg an
n ( n?1) 2

lg an ?

n?1 lg an lg an ?1 lg a3 lg a2 ? ?? ? ? ? lg a1 ? lg 53 ?n!?2 lg an ?1 lg an ? 2 lg a2 lg a1

,从而 an ? 5

3n?1 ?n!?2

n ( n ?1) 2



七、数学归纳法 例 12 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? , 求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 及 a1 ? ,得 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

8

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ? 1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?
由此可猜测 an ?

(2n ? 1) 2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1) 2 (2 ?1 ? 1) 2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1) 2 9 (2k ? 1) 2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1) 2

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

? ? ? ? ? ?

(2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 [(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2( k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1)(2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。 ,
*

评注: 本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项, 进而猜出数列的通项 公式,最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法

9

例 13 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 求数列 {an } 的通项公式。 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 , 16 1 2 (bn ? 1) 24

解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 故 an ?1 ?

1 2 1 (bn ?1 ? 1) ,代入 an ?1 ? (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 24 16

1 2 1 1 2 (bn?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24
即 4bn ?1 ? (bn ? 3)
2 2

因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 ,故 bn ?1 ? 1 ? 24an ?1 ? 0 则 2bn ?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? 可化为 bn ?1 ? 3 ?

1 3 bn ? , 2 2

1 (bn ? 3) , 2
1 为公比的等比数 2

所以 {bn ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为首项,以 列,因此 bn ? 3 ? 2( )

1 2

n ?1

1 1 1 ? ( ) n ?2 ,则 bn ? ( ) n ?2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n?2 ? 3 ,得 2 2 2

2 1 1 1 an ? ( )n ? ( ) n ? 。 3 4 2 3
评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化

1 3 从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列, 进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式, bn ?1 ? bn ? 形式, 2 2
最后再求出数列 {an } 的通项公式。 九、不动点法 例 14 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

解:令 x ?

21x ? 24 21x ? 24 2 ,得 4 x ?20 x ? 的 24 ? ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? 0 4x ? 1 4x ?1

两个不动点。因为

10

21an ? 24 ?2 an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 。所以数列 ? ? ? ? an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 4an ? 1
? an ? 2 ? a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ? 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 n ? 2( ) n?1 , ? ? 是以 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9 ? an ? 3 ?
则 an ?

1 ?3。 13 n ?1 2( ) ? 1 9

评注:本题解题的关键是先求出函数 f ( x) ? 个根 x1 ? 2,x2 ? 3 ,进而可推出

21x ? 24 21x ? 24 的不动点,即方程 x ? 的两 4x ?1 4x ? 1

?a ? 2? an ?1 ? 2 13 an ? 2 ? ? ,从而可知数列 ? n ? 为等比数 an ?1 ? 3 9 an ? 3 ? an ? 3 ?

列,再求出数列 ?

? an ? 2 ? ? 的通项公式,最后求出数列 {an } 的通项公式。 an ? 3 ? ?

例 15 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

解:令 x ?

7x ? 2 3x ? 1 2 ,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7
7an ? 2 5a ? 5 ?1 ? n ,所以 2an ? 3 2an ? 3

因为 an ?1 ? 1 ?

2 1 1 1 an ? ( )n ? ( ) n ? 。 3 4 2 3
评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化

1 3 从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列, 进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式, bn ?1 ? bn ? 形式, 2 2
最后再求出数列 {an } 的通项公式。 九、不动点法 例 14 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

11

解:令 x ?

21x ? 24 21x ? 24 2 ,得 4 x ?20 x ? 的 24 ? ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? 0 4x ? 1 4x ?1

两个不动点。因为

21an ? 24 ?2 an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 。所以数列 ? ? ? ? an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 4an ? 1
? an ? 2 ? a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ? 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 n ? 2( ) n?1 , ? ? 是以 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9 ? an ? 3 ?
则 an ?

1 13 2( )n ?1 ? 1 9

?3。

评注:本题解题的关键是先求出函数 f ( x) ? 个根 x1 ? 2,x2 ? 3 ,进而可推出

21x ? 24 21x ? 24 的不动点,即方程 x ? 的两 4x ?1 4x ? 1

?a ? 2? an ?1 ? 2 13 an ? 2 ? ? ,从而可知数列 ? n ? 为等比数 an ?1 ? 3 9 an ? 3 ? an ? 3 ?

列,再求出数列 ?

? an ? 2 ? ? 的通项公式,最后求出数列 {an } 的通项公式。 ? an ? 3 ?

例 15 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

解:令 x ?

7x ? 2 3x ? 1 2 ,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7
7an ? 2 5a ? 5 ?1 ? n ,所以 2an ? 3 2an ? 3

因为 an ?1 ? 1 ?

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