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2015-2016学年高中数学 3.2第2课时 含参数一元二次不等式的解法练习 新人教A版必修5


2015-2016 学年高中数学 3.2 第 2 课时 含参数一元二次不等式的解 法练习 新人 A 教版必修 5

一、选择题 1 2 1.若 0<t<1,则不等式 x -(t+ )x+1<0 的解集是(

t

)

1 A.{x| <x<t}

t

1 B

.{x|x> 或 x<t}

t

1 C.{x|x< 或 x>t}

t

1 D.{x|t<x< }

t

[答案] D 1 [解析] 化为(x-t)(x- )<0,

t

1 1 ∵0<t<1,∴ >1>t,∴t<x< .

t

t

2.(2015·全国Ⅱ理,1)已知集合 A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0}, 则 A∩B=( ) B.{0,1} D.{0,1,2}

A.{-1,0} C.{-1,0,1}

[分析] 本题考查集合的运算;先解不等式求出集合 B,再按交集定义选择;也可以将

A 中元素依次代入 B 中不等式看不等式是否成立,作出判断.
[答案] A [解析] 由已知得 B={x|-2<x<1},故 A∩B={-1,0},故选 A. 3.若 a<0,则关于 x 的不等式 x -4ax-5a >0 的解是( A.x>5a 或 x<-a C.5a<x<-a [答案] B [解析] 化为:(x+a)(x-5a)>0,相应方程的两根 x1=-a,x2=5a, ∵a<0,∴x1>x2.∴不等式解为 x<5a 或 x>-a. ?x-2? ?x-3? 4.不等式 <0 的解集为( x+1 A.{x|-1<x<2 或 2<x<3} C.{x|2<x<3} [答案] A
1
2 2 2

)

B.x>-a 或 x<5a D.-a<x<5a

) B.{x|1<x<3} D.{x|-1<x<3}

?x-3??x+1?<0, ? ? [解析] 原不等式等价于?x+1≠0, ? ??x-2?2≠0, 解得-1<x<3,且 x≠2,故选 A. 5.若{x|2<x<3}为 x +ax+b<0 的解集,则 bx +ax+1>0 的解集为( A.{x|x<2 或 x>3} 1 1 C.{x| <x< } 3 2 [答案] D [解析] 由 x +ax+b<0 的解集为{x|2<x<3},知方程 x +ax+b=0 的根分别为 x1=2,
2 2 2 2

)

B.{x|2<x<3} 1 1 D.{x|x< 或 x> } 3 2

x2=3.
由韦达定理,得 x1+x2=-a,x1·x2=b, 即 a=-5,b=6. 1 1 2 2 所以不等式 bx +ax+1>0,即 6x -5x+1>0,解集为{x|x< ,或 x> },故选 D. 3 2 6.已知不等式 x +ax+4<0 的解集为空集,则 a 的取值范围是( A.-4≤a≤4 C.a≤-4 或 a≥4 [答案] A [解析] 欲使不等式 x +ax+4<0 的解集为空集,则△=a -16≤0,∴-4≤a≤4. 二、填空题 7.关于 x 的不等式:x -(2m+1)x+m +m<0 的解集是________. [答案] {x|m<x<m+1} [解析] 解法一:∵方程 x -(2m+1)x+m +m=0 的解为 x1=m,x2=m+1,且知 m<m +1. ∴二次函数 y=x -(2m+1)x+m +m 的图象开口向上,且与 x 轴有两个交点. ∴不等式的解集为{x|m<x<m+1}. 解法二:注意到 m +m=m(m+1),及 m+(m+1)=2m+1, 可先因式分解,化为(x-m)(x-m-1)<0, ∵m<m+1,∴m<x<m+1. ∴不等式的解集为{x|m<x<m+1}. 8.若集合 A={x|ax -ax+1<0}=?,则实数 a 的取值范围是________. [答案] 0≤a≤4 [解析] ①若 a=0,则 1<0 不成立,此时解集为空.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.-4<a<4 D.a<-4 或 a>4

2

?Δ =a -4a≤0, ? ②若 a≠0,则? ?a>0, ?

2

∴0<a≤4.综上知 0≤a≤4.

三、解答题 9.解下列不等式: 2x-1 (1) >0; 3x+1 (2)

ax <0. x+1

[解析] (1)原不等式等价于(2x-1)(3x+1)>0, 1 1 ∴x<- 或 x> . 3 2 1 1 故原不等式的解集为{x|x<- 或 x> }. 3 2 (2)

ax

x+1

<0?ax(x+1)<0.

当 a>0 时,ax(x+1)<0?x(x+1)<0?-1<x<0, ∴解集为{x|-1<x<0}; 当 a=0 时,原不等式的解集为?; 当 a<0 时,ax(x+1)<0?x(x+1)>0?x>0 或 x<-1,∴解集为{x|x>0,或 x<-1}. 10.当 a 为何值时,不等式(a -1)x +(a-1)x-1<0 的解集是 R? [解析] 由 a -1=0,得 a=±1. 当 a=1 时,原不等式化为-1<0 恒成立, ∴当 a=1 时,满足题意. 当 a=-1 时,原不等式化为-2x-1<0, 1 ∴x>- ,∴当 a=-1 时,不满足题意,故 a≠-1. 2 当 a≠±1 时,由题意,得
? ?a -1<0 ? 2 2 ?Δ =?a-1? +4?a -1?<0 ?
2 2 2 2



3 解得- <a<1. 5 3 综上可知,实数 a 的取值范围是- <a≤1. 5

一、选择题 11.若 f(x)=-x +mx-1 的函数值有正值,则 m 的取值范围是(
2

)
3

A.m<-2 或 m>2 C.m≠±2 [答案] A [解析] ∵f(x)=-x +mx-1 有正值, ∴△=m -4>0,∴m>2 或 m<-2.
2 2

B.-2<m<2 D.1<m<3

12.已知关于 x 的不等式 x -4x≥m 对任意 x∈(0,1]恒成立,则有( A.m≤-3 C.-3≤m<0 [答案] A B.m≥-3 D.m≥-4

2

)

[解析] 令 f(x)=x -4x=(x-2) -4,因为 f(x)在(0,1]上为减函数,所以当 x=1 时,f(x)取最小值-3,所以 m≤-3. 13.函数 y= A.[-4,1] C.(0,1] [答案] D [解析]
? ?-x -3x+4≥0 要使函数有意义,则需? ?x≠0 ?
2

2

2

-x -3x+4

2

x

的定义域为(

) B.[-4,0) D.[-4,0)∪(0,1]

,解得-4≤x≤1 且 x≠0,故定义

域为[-4,0)∪(0,1]. 2x +2mx+m 14.如果不等式 2 <1 对一切实数 x 均成立,则实数 m 的取值范围是( 4x +6x+3 A.(1,3) C.(-∞,1)∪(2,+∞) [答案] A 3 2 3 2 [解析] 由 4x +6x+3=(2x+ ) + >0 对一切 x∈R 恒成立, 2 4 从而原不等式等价于 2x +2mx+m<4x +6x+3(x∈R) ?2x +(6-2m)x+(3-m)>0 对一切实数 x 恒成立 ?Δ =(6-2m) -8(3-m)=4(m-1)(m-3)<0, 解得 1<m<3. 二、填空题 15.不等式[(a-1)x+1](x-1)<0 的解集为{x|x<1 或 x>2},则 a=________. [答案] 1 2
4
2 2 2 2 2

)

B.(-∞,3) D.(-∞,+∞)

[解析] 由题意 x=2 是方程(a-1)x+1=0 的根, 1 且 a-1<0,∴a= . 2 16.已知函数 y=(m +4m-5)x +4(1-m)x+3 对任意实数 x,函数值恒大于零,则实 数 m 的取值范围是__________. [答案] 1≤m<19 [解析] ①当 m +4m-5=0 时,m=-5 或 m=1, 若 m=-5,则函数化为 y=24x+3.对任意实数 x 不可能恒大于 0. 若 m=1,则 y=3>0 恒成立. ②当 m +4m-5≠0 时,据题意应有,
? ?m +4m-5>0 ? 2 2 ?16?1-m? -12?m +4m-5?<0 ? ?m<-5或m>1 ? ∴? ? ?1<m<19
2 2 2 2 2



,∴1<m<19.

综上可知,1≤m<19. 三、解答题 17.解关于 x 的不等式 x -(a+a )x+a >0. [解析] 原不等式可化为(x-a)(x-a )>0. 则方程 x -(a+a )x+a =0 的两根为 x1=a,x2=a , 由 a -a=a(a-1)可知, (1)当 a<0 或 a>1 时,a >a. ∴原不等式的解为 x>a 或 x<a. (2)当 0<a<1 时,a <a, ∴原不等的解为 x>a 或 x<a . (3)当 a=0 时,原不等式为 x >0,∴x≠0. (4)当 a=1 时,原不等式为(x-1) >0,∴x≠1. 综上可知: 当 a<0 或 a>1 时,原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a }; 当 0<a<1 时,原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a}; 当 a=0 时,原不等式的解集为{x|x≠0}; 当 a=1 时,原不等式的解集为{x|x≠1}.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3

x2+2x-3 18.解关于 x 的不等式: <0. 2 -x +x+6
?x+3??x-1? [解析] 原不等式? >0?(x+3)(x+2)(x-1)(x-3)>0. ?x+2??x-3?
5

令(x+3)(x+2)(x-1)(x-3)=0,则有 x1=-3,x2=-2,x3=1,x4=3. 如图.

由图可知,原不等式的解集为{x|x<-3 或-2<x<1 或 x>3}.

6


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