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上海市闸北区2013届高三下学期期中练习(二模)数学文试题


闸北区 2013 学年度第二学期高三数学(文科)期中练习卷
本试卷共有 17 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(54 分)本大题共有 9 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 6 分,否则一律得零分. 1 . 设 为 虚 数 单 位 , 集 合 A ? ? ,?1, i,?i? , 集 合 B ? ?i ,1 ?

i , (1 ? i)(1 ? i), 1
4

A? B ?

? 10 ?

1? i? ? ,则 1? i?



2.在平面直角坐标系 xOy 中,以向量 a ? ?a1 , a 2 ? 与向量 b ? ?b1 ,b2 ? 为邻边的平行四边形 的面积为 . 3. ?1 ? 2 x ? ?1 ? x ? 展开式中 x 6 的系数为
3 4



4.过原点且与向量 n ? ? cos(?

? ?

?

? ? ), sin(? ) ? 垂直的直线被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 所截得的弦 6 6 ?

长为 . 5.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法 共有 种. 6.设 0 ? ? ?

?
2

, a1 ? 2 cos ? , a n ?1 ?

2 ? a n ,则数列 ?a n ? 的通项公式 a n ?
若 f ( f ( x 0 )) ? 3 ,则 x 0 ? .



7.已知函数 f ( x) ? ?

?2 sin x,0 ? x ? 2? ,
2 ? x ,  x ? 0.

8.设对所有实数 x ,不等式 x log 2 则 a 的取值范围为 .

2

4(a ? 1) 2a (a ? 1) 2 ? 2 x log 2 ? log 2 ? 0 恒成立, a a ?1 4a 2

9.现有一个由长半轴为 2 ,短半轴为的椭圆绕其长轴按一定方向旋转 180 ? 所形成的“橄榄 球面”.已知一个以椭圆的长轴为轴的圆柱内接于该橄榄球面,则这个圆柱的侧面积的 最大值是 . 二、选择题(18 分)本大题共有 3 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确 的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 6 分,否则一律得零分. 10.命题“对任意的 x ? R , f ( x) ? 0 ”的否定是 A.对任意的 x ? R , f ( x) ? 0 C.存在 x 0 ? R , f ( x 0 ) ? 0 B.对任意的 x ? R , f ( x) ? 0 D.存在 x 0 ? R , f ( x 0 ) ? 0 【 D. ? 】 【 】

11.若 0 ? ? ? 2? ,sin ? ? 3 cos ? ,则 ? 的取值范围是 A. ?

?? ? ? , ? ?3 2?

B. ?

? ? 4? ? , ? ?3 3 ?

C. ?

?? ? ,? ? ?3 ?

? ? 3? ? , ? ?3 2 ?

12.某商场在节日期间举行促销活动,规定: (1)若所购商品标价不超过 200 元,则不给予优惠; (2)若所购商品标价超过 200 元但不超过 500 元,则超过 200 元的部分给予 9 折优惠; (3)若所购商品标价超过 500 元,其 500 元内(含 500 元)的部分按第(2)条给予优 惠,超过 500 元的部分给予 8 折优惠. 某人来该商场购买一件家用电器共节省 330 元,则该件家电在商场标价为 【 】 A.1600 元 B.1800 元 C.2000 元 D.2200 元 三、解答题(本题满分 78 分)本大题共有 5 题, 解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤. 13.本题满分 14 分

已知 a ? (cos ? , sin ? ) 和 b ? ( 2 ? sin ? , cos ? ) ,? ? (? ,2? ) ,且 | a ? b |?

sin ? 的值.
14.本题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 某粮仓是如图所示的多面体, 多面体的棱 称为粮仓的“梁”.现测得底面 ABCD 是矩 形,AB ? 16 米,AD ? 4 米, 腰梁 AE 、BF 、 CF 、 DE 分 别 与 相 交 的 底 梁 所 成 角 均 为 60 ? . (1)求腰梁 BF 与 DE 所成角的大小; (2)若不计粮仓表面的厚度,该粮仓可 储存多少立方米粮食? 15.本题满分 16 分,第 1 小题满分 10 分,第 2 小题满分 6 分 设定义域为 R 的函数 f ( x) ?

8 2 ,求 5

2 x ?1 为偶函数,其中 a 为实常数. a ? 4x
?1

(1)求 a 的值,指出并证明该函数的其它基本性质; (2)请你选定一个区间 D ,求该函数在区间 D 上的反函数 f 16.本题满分 16 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 8 分
n

?x ? .

设数列 ?an ? 与 {bn } 满足: 对任意 n ? N ? ,都有 ban ? 2 ? ? b ? 1? S n ,bn ? a n ? n ? 2 n ?1 . (1)当 b ? 2 时,求 {bn } 的通项公式,进而求出 ?an ? 的通项公式; (2)当 b ? 2 时,求数列 ?an ? 的通项 a n 以及前 n 项和 S n .

其中 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和.

17.本题满分 18 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 10 分

2 2 , ) 的距离与到定直线 2 2 l1 : x ? y ? 2 ? 0 的距离相等的动点 P 的轨迹,曲线 C 2 是由曲线 C1 绕坐标原点 O 按顺时 针方向旋转 45 ? 形成的. (1)求曲线 C1 与坐标轴的交点坐标,以及曲线 C 2 的方程; (2)过定点 M (m,0) (m ? 0) 的直线 l 2 交曲线 C 2 于 A 、 B 两点,点 N 是点 M 关于原
在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 为到定点 F ( 点的对称点.若 AM ? ? MB ,证明: NM ? ( NA ? ? NB ) .

高三数学(文科)练习卷答案
一、1. ?? 1, i?; 4. 2 3 ; 2. a1b2 ? a 2 b1 ; 5.30; 3. ?20 6. 2 cos

? 2 n ?1

7.

4? 5? 与 ; 3 3

8. 0 ? a ? 1 ; 12.C.

9. 4? .

二、10. D;

11.B;

三、13. a ? b ? (cos ? ? sin ? ?

2 , cos ? ? sin ? )

| a ? b |? (cos ? ? sin ? ? 2 ) 2 ? (cos ? ? sin ? ) 2
? 4 ? 2 2 (cos ? ? sin ? )

?? ? ? 2 1 ? cos?? ? ? . 4? ?
由 | a ? b |?

(6 分)

8 2 ?? 7 ? . ,得 cos?? ? ? ? 5 4 ? 25 ?

(2 分) (2 分)

?? ?? 24 ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? . 4? 4? 25 ? ?

31 2 17 2 ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? sin ? ? ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? cos ? cos?? ? ? sin ? ? 或 (2 分) 50 4 4? 4? 4 4? 4 50 ? ? ? ? ? ? ? ? 2? , 31 2 ? sin ? ? ? . (2 分) 50 ? ? 另解:? a ? b ? ( 2 ? sin ? ? cos ? ,sin ? ? cos ? ) ? ?2 128 ? a ? b ? ( 2 ? sin ? ? cos ? ) 2 ? (sin ? ? cos ? ) 2 ? 4 ? 2 2(sin ? ? cos ? ) ? 25 7 2 ? sin ? ? cos ? ? ? ① (6 分) 25 98 527 由 (sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? 2sin ? cos ? ? ,得 2sin ? cos ? ? ?0, 625 625 3 (4 分) ?? ? (? , ? ) 2 24 2 ? sin ? ? cos ? ? ? 1 ? 2sin ? cos ? ? ? ② 25 31 2 由①、②得 sin ? ? ? (4 分) 50 14.解:(1)过点 E 作 EK // FB 交 AB 点 K ,则 ?DEK 为异面直线 DE 与 FB 所成
的角, (2 分)

? DE ? FB ? 4 , AK ? 2 ? (4 cos 60o ) ? 4 ,

DK ? 4 2 (4 分) o ??DEK ? 90 ,即 DE ? BF . (1 分) (2) 过点 E 分别作 EM ? AB 于点 M ,EN ? CD 于点 N ,连接 MN ,则 AB ⊥平面 EMN , ? 平面 ABCD ⊥平面 EMN ,过点 E 作 EO ? MN 于点 O ,则 EO ⊥平面 ABCD 由题意知, AE ? DE ? AD ? 4 ,

AM ? DN ? 4 cos 60 ? ? 2 , EM ? EN ? 2 3 ,
(2 分) ? O 为 MN 中点,? EO ? 2 2 即四棱锥 E ? AMND 的高, 同理,再过点 F 作 FP ? AB 于点 P , ENFQ ? CD 于点 Q ,连接 PQ , 原多面体被分割为两个全等的四棱锥和一个直棱柱,且 MP ? 16 ? 2 ? 2 ? 12 (2 分)

1 1 176 2 (2 分) ?V多面体 =2V四棱锥 +V直棱柱 =2 ? ? 2 ? 4) 2 2 +( ? 4 ? 2 2) 12= ( ? ? 3 2 3
答:该粮仓可储存

176 2 立方米的粮食 3

(1 分)

2 ? x ?1 2 x ?1 15.解:(1)由题意,对于任意的 x ? R ,都有 , ? a ? 4?x a ? 4 x x 即, ?a ? 1? 4 ? 1 ? 0 对 x ? R 恒成立, 所以, a ? 1. (2 分) 另解:对任意的 x ? R ,都有 f (? x) ? f ( x) 成立,所以 f (?1) ? f (1) ,解得 a ? 1 .(2

?

?

分)

2 2 x2 ? 2 x1 2 x1 ? x2 ? 1 2 x1 ?1 2 x2 ?1 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? 1 ? 4 x1 1 ? 4 x2 1 ? 4 x1 1 ? 4 x2
设 x1 ? x 2 ? 0 ,则 2

?

? 2 ? 0 , 1? 4 1? 4 ? 0 , 所以,对任意的 x1 , x 2 ? ?? ?,0 ? , x1 ? x 2 , 2 x1 ? x2 ? 1 ? 0 有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) . 故, f (x) 在 ?? ?,0 ? 上是单调递增函数.
x2 x1

?

?

x1

??

?? ??

x2

?

?

?

(2 分)

又,对任意的 x1 , x 2 ? ?0,?? ? , x1 ? x 2 , 2 故, f (x) 在 ?0,?? ? 上是单调递减函数. 对于任意的 x ? R , f ( x) ?

x1 ? x2

?1 ? 0
(2 分)

有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) .

故,当 x ? 0 时, f (x) 取得最大值 1. 因为方程 f ( x) ?
x ?1

2 x ?1 2 ? x ? 1, x 1? 4 2 ? 2?x
(2 分)
x ?1

2 2 ? 0 无解,故函数 f ( x) ? 无零点. x 1? 4 1? 4x (2)选定 D ? ?0,?? ? ,
y? 2 x ?1 , 1? 4x
2

(2 分) (1 分)

y ? 2x
2x ?

? ?

? 2? 2x ? y ? 0

1? 1? y2 , y

f

?1

?x ? ? log 2 1 ?

1? x2 , x ? ?0,1? . x

(5 分)

16.解:由题意知 a1 ? 2 ,且

ban ? 2n ? ? b ? 1? S n

ban ?1 ? 2n ?1 ? ? b ? 1? S n ?1

两式相减得 b ? an ?1 ? an ? ? 2 ? ? b ? 1? an ?1
n

即 an ?1 ? ban ? 2n
n


n

(2 分)

(1)当 b ? 2 时,由①知 an ?1 ? 2an ? 2
n

于是 an ?1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2 an ? n ? 2n ?1
n

又 a1 ? 1 ? 2

n ?1

? 1 ? 0 ,所以 ?an ? n ? 2
n ?1

n ?1

? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列.
(4 分) . (2 分)

?

?

故知, bn ? 2


n ?1

再由 bn ? a n ? n ? 2

,得 an ? ? n ? 1? 2

n ?1

(2)当 b ? 2 时,由①得

1 1 1 b ? ? ? 2n ? (2 分) ? 2n ?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 ? ban ? ? 2n ? b ? an ? 2?b 2?b 2?b 2?b ? ? ?2, n ? 1, n 若 b ? 0 , a n ? ? n ?1 , Sn ? 2 (1 分) ?2 , n ? 2.
an ?1 ?
若 b ? 1 , an ? 2 , S n ? 2
n n ?1

?2

(1 分)

1 若 b ? 0、,数列 ?a n ?

1 2(1 ? b) ? ? 2 n ? 是以 为首项,以 b 为公比的等比数列,故 2?b 2?b ? 1 2(1 ? b) n ?1 an ? ? 2n ? ?b , 2?b 2?b 1 (2 分) ?2 n ? ?2 ? 2b?b n?1 ? an ? 2?b 1 ?b ?2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? ? ? 2 n ? ? 2(1? b ) ?1 ? b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n?1 ? Sn ? 2?b 2 n n 2(2 ? b ) Sn ? 2?b b ? 1 时, Sn ? 2n ?1 ? 2 符合上式

? ?

所以,当 b ? 0 时, S n ?

2(2n ? b n ) 2?b

(2 分)

17.解(1)设 P ( x, y ) ,由题意,可知曲线 C1 为抛物线,并且有

x? y? 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? , 2 2 2 2 2 化简,得抛物线 C1 的方程为: x ? y ? 2 xy ? 4 2 x ? 4 2 y ? 0 . (x ?
令 x ? 0 ,得 y ? 0 或 y ? 4 2 , 令 y ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 4 2 , 所以,曲线 C1 与坐标轴的交点坐标为 ?0,0 ? 、 0,4 2 和 4 2 ,0 .

?

? ?

?

(3 分)

2 2 ? ? 2 2 2 2 2 , ) 到 l1 : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 ? 2, 点 F( 2 2 12 ? 12

(2 分)

所 以 C 2 是 以 ?1,0 ? 为 焦 点 , 以 x ? ?1 为 准 线 的 抛 物 线 , 其 方 程 为 :

(3 分) y 2 ? 4x . (2)设 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,由题意知直线 l 2 的斜率 k 存在且不为零,设直线 l 2 的方程 为 y ? k ( x ? m) ,代入 y ? 4 x 得
2

4 y ? 4m ? 0 ,? y1 y 2 ? ?4m . k 由 AM ? ? MB 得 ?m ? x1 ,? y1 ? ? ? ? x 2 ? m, y 2 ? y ??? 1 y2 y2 ?

(3 分)

N ?? m,0 ? , NM ? ?2m,0 ?
NM ? ( NA ? ? NB ) ? 2m?x1 ? ?x 2 ? (1 ? ? )m? NA ? ? NB ? ? x1 ? m, y1 ? ? ? ? x 2 ? m, y 2 ? ? ? x1 ? ?x 2 ? (1 ? ? )m, y1 ? ?y 2 ?

? y2 y y2 ? y ? 2m ? 1 ? 1 ? 2 ? (1 ? 1 )m? y2 4 y2 ? ? 4 y y ? 4m ?4m ? 4m ? 2m ? y1 ? y2 ? ? 1 2 ? 2m ? y1 ? y2 ? ? ?0. 4 y2 4 y2
故 NM ? ( NA ? ? NB ) .

(4 分) (1 分)


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