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高中数学(人教版)选修2-3教学设计:1.3《二项式定理》素材2


求展开式系数的六种常见类型
求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例,对二项式定理试题中求展 开式系数的问题加以归类与解析,供读者参考。 一 、 (a ? b) n (n ? N ? ) 型 例 1. ( x ? 2 y)10 的展开式中 x6 y 4 项的系数是( (A)840 (B)-840 (C)210 (D)-210 )

r 解

析: 在通项公式 Tr ?1 ? C10 即得 ( x ? 2 y)10 的展开式中 x6 y 4 (? 2 y)r x10?r 中令 r =4, 4 项的系数为 C10 (? 2)4 =840,故选 A。

例 2. ( x ?

1 x

) 8 展开式中 x 5 的系数为



解析:通项公式 Tr ?1 ? C x
r 8

8? r

(?

1 x

) ? (?1) C x
r r r 8

3 8? r 2

,由题意得 8 ?

3 r ? 5 ,则 2

2 r ? 2 ,故所求 x 5 的系数为 (?1) 2 C8 ? 28 。

评注: 常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数, 由待定系数法确定 r 的值。 二 、 (a ? b) ? (c ? d ) (n, m ? N ) 型
n m ?

2 1 8 ) 的展开式中整理后的常数项等于 . x x 2 2 r r ( ? ) r ( x 3 ) 4 ? r ? C4 (?2) r x12? 4 r ,令 12 ? 4r ? 0 , ( x 3 ? ) 4 的通项公式为 Tr ?1 ? C4 解析; x x 2 1 3 4 3 3 则 r ? 3 , 这时得 ( x ? ) 的展开式中的常数项为 ?C4 2 = - 32, ( x ? )8 的通项公式为 x x 1 1 Tk ?1 ? C8k ( ) k x8? k ? C8k x8? 2 k ,令 8 ? 2k ? 0 ,则 k ? 4 ,这时得 ( x ? )8 的展开式中的常数 x x 2 4 1 8 3 4 项为 C8 =70,故 ( x ? ) ? ( x ? ) 的展开式中常数项等于 ? 32 ? 70 ? 38 。 x x
3 4 例 3. ( x ? ) ? ( x ?

例 4.在 (1 ? x) ? (1 ? x) 的展开式中,含 x 的项的系数是(
5 6
3



(A) ?5

(B) 5

(C) ? 10

(D) 10

3 5 3 3 解析: (1 ? x) 中 x 的系数 ?C5 ? ?10 , ? (1 ? x) 6 中 x 3 的系数为 ?C6 ? (?1)3 ? 20 ,

故 (1 ? x) ? (1 ? x) 的展开式中 x 的系数为 10 ,故选 D 。
5 6
3

评注:求型如 (a ? b) ? (c ? d ) (n, m ? N ) 的展开式中某一项的系数,可分别展开
n m

?

两个二项式,由多项式加减法求得所求项的系数。 三 、 (a ? b) n (c ? d ) m (n, m ? N ? ) 型

例 5. ( x 2 ? 1)(x ? 2) 7 的展开式中 x 项的系数是
3



1 3 解 析 : ( x ? 2) 7 的 展 开 式 中 x 、 x 的 系 数 分 别 为 C7 (?2) 6 和 C7 (?2) 4 , 故
3

1 3 ( x 2 ? 1)(x ? 2) 7 的展开式中 x 3 项的系数为 C7 (?2) 6 + C7 (?2) 4 =1008。

例 6. ? x ? 1?? x ? 1? 的展开式中 x 的系数是(
8

5

) (C )?28
8

(A )?14

(B )14
4 5

(D) 28

4 5 略解: ( x ? 1) 8 的展开式中 x 、 x 的系数分别为 C8 和 C8 ,故 ? x ? 1?? x ? 1? 展开式中

4 5 x 5 的系数为 C8 ? C8 ? 14 ,故选 B。

评注:求型如 (a ? b) n (c ? d ) m (n, m ? N ? ) 的展开式中某一项的系数,可分别展开两 个二项式,由多项式乘法求得所求项的系数。 四 、 (a ? b ? c) n (n ? N ? ) 型 例 7. (

x 1 ? ? 2 ) 5 的展开式中整理后的常数项为 2 x
5

.

k x 1 5? k x 1 ? x 1 ? k 5 解 法 一 : ( ? ? 2 ) = ?( ? ) ? 2 ? , 通 项 公 式 Tk ?1 ? C5 2 2 ( ? ) , 2 x 2 x ? 2 x ?

x 1 r ? r 5?k ?r ? ( ? )5? k 的 通 项 公 式 为 Tr ?1 ? C5 2 ?k x x 2 x

? ( k? 5r

r 5? ?)C5 ?k x

2 ?r

2 k? ?

k 5r

, 令

5 ? 2r ? k ? 0 ,则 k ? 2r ? 5 ,可得 k ? 1, r ? 2 或 k ? 3, r ? 1或 k ? 5, r ? 0 。
当 k ? 1, r ? 2 时,得展开式中项为 C5C4 2 2 2
1 2 1 ?2

?

15 2 ; 2

3 1 当 k ? 3, r ? 1时,,得展开式中项为 C5 C2 2 2 ? 2?1 ? 20 2 ; 5 当 k ? 5, r ? 0 时,得展开式中项为 C5 4 2 ?4 2。

综上, (

15 2 63 2 x 1 ? ? 2 ) 5 的展开式中整理后的常数项为 ? 20 2 ? 4 2 ? 。 2 x 2 2

x 1 x 2 ? 2 2x ? 2 5 ( x ? 2 ) 2 5 解法二: ( ? ? 2 ) = ( ) = 2 x (2 x) 5 2x

?

? = (x ?
5

2 )10 ,对于二项式 ( 2 x) 5

r 10?r x ( 2 ) r ,要得到常数项需 10 ? r ? 5 ,即 r ? 5 。所以,常数 ( x ? 2 )10 中, Tr ?1 ? C10
5 C10 ? ( 2 ) 5 63 2 。 ? 2 25

项为

x 1 x 1 ? ? 2 ) 5 是 5 个三项式 ( ? ? 2) 相乘。常数项的产生有三种情况: 2 x 2 x x 1 x 1 在 5 个相乘的三项式 ( ? ? 2) 中, 从其中一个取 , 从另外 4 个三项式中选一个取 , 2 x 2 x 1 1 1 3 3 从剩余的 3 个三项式中取常数项相乘,可得 C5 ? ? C4 ? C3 ? ( 2) ? 20 2 ;从其中两个取 2 x 1 ,从另外 3 个三项式中选两个取 ,从剩余的 1 个三项式中取常数项相乘,可得 2 x 1 15 x 1 C52 ? ( ) 2 ? C32 ? 2 ? 2 ;从 5 个相乘的三项式 ( ? ? 2) 中取常数项相乘,可得 2 2 2 x
解法三: (
5 C5 ? ( 2)5 = 4 2 。

综上, (

15 2 63 2 x 1 ? ? 2 ) 5 的展开式中整理后的常数项为 20 2 ? 。 ?4 2 ? 2 x 2 2

评注:解法一、解法二的共同特点是:利用转化思想,把三项式转化为二项式来解决。 解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题, 本质上是利用加法原理和乘法原理, 这种 方法可以直接求展开式中的某特定项。 五 、 (a ? b) ? (a ? b)
m m?1

? ? ? (a ? b)n (m, n ? N ? ,1 ? m ? n) 型
6
2

例 8.在 (1 ? x) ? (1 ? x) ? ? ? (1 ? x) 的展开式中, x 项的系数是
2

。 (用数

字作答)
2 2 2 2 2 解析:由题意得 x 项的系数为 C2 ? C3 ? C4 ? C5 ? C6 ? 35。
2

例 9.在(1-x) +(1-x) +(1-x) +(1-x) 的展开式中,含 x 的项的系数是( (A) 74
5

5

6

7

8

3

)

(B) 121
6 7

(C) -74
8

(D) -121

解析:(1-x) +(1-x) +(1-x) +(1-x) =

(1 ? x)5 [1 ? (1 ? x)4 ] (1 ? x)5 ? (1 ? x)9 ? 1 ? (1 ? x) x

(1 ? x) 5 中 x 4 的系数为 C54 ? 5 , ? (1 ? x) 9 中 x 4 的系数为- C94 ? ?126 ,-126+5= -121,
故选 D。 评注:例 8 的解法是先求出各展开式中 x 2 项的系数,然后再相加;例 9 则从整体出发, 把原式看作首相为(1-x) ,公比为(1-x)的等比数列的前 4 项和,用等比数列求和公式减
5

少 项 数 , 简 化 了 运 算 。 例

8

和 例

9

的 解 答 方 法 是 求

(a ? b)m ? (a ? b)m?1 ? ? ? (a ? b)n (m, n ? N ? ,1 ? m ? n) 的展开式中某特定项系数的两种
常规方法。 六 、求展开式中若干项系数的和或差 例 10.若 (1 ? 2x) 2004 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ... ? a2004 x 2004 ( x ? R) , 则 (a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? (a0 ? a3 ) ? ? ? (a0 ? a2004 ) ? _______ 。(用数字作答) 解析:在 (1 ? 2x) 2004 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ... ? a2004 x 2004 中,令 x ? 0 ,则 a0 ? 1 , 令 x ? 1 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2004 ? (?1) 2004 ? 1 故 (a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? (a0 ? a3 ) ? ? ? (a0 ? a2004 ) =2003 a0 + a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2004 ? 2004。 例 11. (2x ? 3)4 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ,则 (a0 ? a2 ? a4 ) 2 ? (a1 ? a3 ) 2 的 值为( ) (B) -1 (C) 0 (D) 2

(A) 1

解析:在 (2x ? 3)4 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 中, 令 x ? 1 ,可得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? (2 ? 3) 4 , 令 x ? ?1 ,可得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? (2 ? 3) 4 所以, (a0 ? a2 ? a4 ) 2 ? (a1 ? a3 ) 2 = (a0 ? a2 ? a4 ? a1 ? a3 )(a0 ? a2 ? a4 ? a1 ? a3 ) = (a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 )(a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) = (2 ? 3) 4 (2 ? 3) 4 =1, 故选 A。 。赋值法是给代数式(或方程或 评注:求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法” 函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值,从而达到便于解决问题的目的,它普遍适用 于恒等式,是一种重要的解题方法。实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想,在 高考题中屡见不鲜,特别是在二项式定理中的应用尤为明显,巧赋特值可减少运算量。 www.ks5u.com


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