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双曲线几何性质的应用


双曲线几何性质的应用举例
1. 双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍, 且一个顶点的 坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为( x 2 y2 A. - =1 4 4 答案:B x y 2.设 P 是双曲线 2- =1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程 a 9 为 3x-2y=0,F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2| 等

于( A.7 答案:A x2 y2 3.(2011· 湖南高考)设双曲线 2- =1(a>0)的渐近线方程为 3x± 2y a 9 =0,则 a 的值为( A.4 答案 :C B.3 ) C.2 D.1 ) B.6 C.5 D.3
2 2

A.1 答案:C

B.2

C. 3

D.2 3

) y2 x2 D. - =1 8 4

y2 x2 x2 y2 B. - =1 C. - =1 4 4 8 4

x2 2 5.直线 y=k(x+ 2)与双曲线 -y =1 有且只有一个公共点,则 k 4 的不同取值有( A.1 个 答案:D x2 y2 6.已知点 F1、F2 分别是双曲线 2- 2=1 的左、右焦点,过 F2 且垂 a b 直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ABF1 是锐角三角形,则 该双曲线的离心率的取值范围是( A.( 2+1,+∞) 答案:C x2 y2 7.已知圆 C 过双曲线 - =1 的一个顶点和一个焦点,且圆心在 9 16 此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是________.答案: 16 3 ) D.( 3,+∞) ) B.2 个 C.3 个 D.4 个

B.(1, 3) C.(1,1+ 2)

4.如图 1 所示,在△ABC 中,∠CAB=∠CBA=30° ,AC、BC 边 上的高分别为 BD、AE,则以 A、B 为焦点,且过 D、E 的椭圆与双曲 线 的 离 心 率 的 倒 数 和 为 ( )

x2 y2 8.设双曲线 - =1 的右顶点为 A,右焦点为 F,过点 F 平行于 9 16 双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为

________.

若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于点 B、C,且|AB|= |BC|,求双曲线 M 的离心率. 12.(15 分)直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于不 同的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右 图3 焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由.

答案:

32 15

9.双曲线中心在原点,一个焦点坐标为 F( 7,0),直线 y=x-1 2 与其相交于 M,N 两点,MN 中点的横坐标为- ,则双曲线的方程为 3 ________. x2 y2 答案: - =1 2 5 10.(10 分)双曲线的两条渐近线的方程为 y=± 2x,且经过点(3, -2 3). (1)求双曲线的方程; (2)过双曲线的右焦点 F 且倾斜角为 60° 的直线交双曲线于 A、B 两 点,求|AB|. y2 11. 分)过双曲线 M: - 2=1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l, (15 x b
2

双曲线几何性质的应用举例
1. 双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍, 且一个顶点的 坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为( x 2 y2 A. - =1 4 4 x 2 y2 C. - =1 8 4 y2 x2 B. - =1 4 4 y2 x2 D. - =1 8 4
2 2

C.5

D.3

3 3 3 解析:由方程可得渐近线为 y=± x,∴ = . a a 2 ∴a=2.又∵|PF1|=3 小于两顶点间的距离 4, ∴点 P 只能在双曲线的左支上. ∴由|PF2|-|PF1|=2a,得|PF2|=|PF1|+2a=3+4=7. 答案:A x2 y2 3.(2011· 湖南高考)设双曲线 2- =1(a>0)的渐近线方程为 3x± 2y a 9 =0,则 a 的值为( A.4 C.2 B.3 D.1 )

)

y x 解析: 由已知可知双曲线的焦点在 y 轴上, 从而可设方程为 2- 2= a b 1(a>0,b>0). ∵顶点为(0,2),∴a=2. 又∵实轴长与虚轴长之和等于焦距的 2倍, ∴2a+2b=2 2c. 又∵a2+b2=c2,∴解得 b2=4. y x ∴所求方程为 - =1. 4 4 答案:B x2 y2 2.设 P 是双曲线 2- =1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程 a 9 为 3x-2y=0,F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2| 等于( A.7 ) B.6
2 2

x2 y2 x2 y2 解析:双曲线 2- =1 的渐近线方程为 2- =0,整理得 3x± ay= a 9 a 9 0,故 a=2,选 C. 答案:C

图1 4.如图 1 所示,在△ABC 中,∠CAB=∠CBA=30° ,AC、BC 边

上的高分别为 BD、AE,则以 A、B 为焦点,且过 D、E 的椭圆与双曲 线的离心率的倒数和为( A.1 C. 3 B.2 D.2 3 )

x2 y2 6.已知点 F1、F2 分别是双曲线 2- 2=1 的左、右焦点,过 F2 且垂 a b 直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ABF1 是锐角三角形,则 该双曲线的离心率的取值范围是( A.( 2+1,+∞) C.(1,1+ 2) )

解析:如题图,设 AB=2c, 由于∠CAB=∠CBA=30° , 则 AE=BD=c,BE=AD= 3c. 则椭圆的离心率为 2 2 ,双曲线的离心率为 , 3+1 3-1

B.(1, 3) D.( 3,+∞)

故两个离心率的倒数和为 3. 答案:C x 5.直线 y=k(x+ 2)与双曲线 -y2=1 有且只有一个公共点,则 k 4 的不同取值有( A.1 个 C.3 个 ) B.2 个 D.4 个
2

图2 解析:如图 2 所示.由于∠F1AB=∠F1B A,△ABF1 为锐角三角形, 故∠AF1B 为锐角.故只需要∠AF1F2<45° 即可 b2 a c2-a2 |AF2| 即 <1,∴ = <1 即 c2-a2<2ac. |F1F2| 2c 2ac 即 e2-2e-1<0,解得 1- 2<e<1+ 2,又因为 e>1,故 1<e<1+ 2 答案:C x2 y2 7.已知圆 C 过双曲线 - =1 的一个顶点和一个焦点,且圆心在 9 16 此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是________. 解析:由双曲线的几何性质,易知圆 C 过双曲线同一支上的顶点和

1 解析:由已知可得,双曲线的渐近线方程为 y=± x,顶点(± 2,0), 2 而直线恒过(- 2,0),故有两条与渐近线成平行,有两条切线,共 4 条 直线与双曲线有一个交点,故选 D. 答案:D

4 7 焦点,所以圆 C 的圆心的横坐标为± 4.故圆心坐标为(4,± )或(-4, 3 4 7 16 ± ).易求得它到双曲线中心的距离为 . 3 3 16 答案: 3 x2 y2 8.设双曲线 - =1 的右顶点为 A,右焦点为 F,过点 F 平行于 9 16 双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为 ________.

?y=4?x-5? ? 3 由? 2 x y2 ? 9 -16=1 ?
x2 ?x-5? - =1, 9 9
2



即 10x=34,x=

17 32 ,y=- , 5 15

而|AF|=c-a=5-3=2, 1 1 32 32 ∴S△AFB= · |y|= ×2× = . |AF|· 2 2 15 15 答案: 32 15

9.双曲线中心在原点,一个焦点坐标为 F( 7,0),直线 y=x-1 2 与其相交于 M,N 两点,MN 中点的横坐标为- ,则双曲线的方程为 3 图3 解析:如图 3,双曲线渐近线方程为 4 y= x,F(5,0), 3 4 ∴直线过 F 且斜率为 , 3 4 ∴方程是 y= (x-5), 3 ________. 2 5 解析:由题意知中点坐标为(- ,- ), 3 3 x2 y2 设双曲线方程为 2- =1. a 7-a2 x2 y2 1 1 M(x1,y1),N(x2,y2),则 2- =1 ①, a 7-a2 x2 y2 2 2 - =1 a2 7-a2 ②,①-②得 ?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? = ,即 a2 7-a2

x1+x2 a2 y1-y2 = · , y1+y2 7-a2 x1-x2 4 3 a2 所以 = ,解得 a2=2, 10 7-a2 - 3 - x2 y2 故双曲线方程为 - =1. 2 5 x2 y2 答案: - =1 2 5 10.(10 分)双曲线的两条渐近线的方程为 y=± 2x,且经过点(3, -2 3). (1)求双曲线的方程; (2)过双曲线的右焦点 F 且倾斜角为 60° 的直线交双曲线于 A、B 两 点,求|AB|. 解:(1)∵双曲线的两条渐近线方程为 y=± 2x, ∴可设双曲线的方程为 2x2-y2=λ(λ≠0) 又∵双曲线经过点(3,-2 3),代入方程可得 λ=6, x2 y2 ∴所求双曲线的方程为 - =1. 3 6 (2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 过 F 且倾斜角为 60° 的直线方程为 y= 3(x-3),

?y= 3?x-3? ? 联立? 2 2 , ? ?2x -y =6

得 x2-18x+33=0,由韦达定理得 x1+x2=18,x1x2=33, ∴|AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+3· ?x1+x2?2-4x1x2 =2 324-132=16 3,即弦长|AB|=16 3. y2 11. 分)过双曲线 M: - 2=1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l, (15 x b
2

若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于点 B、C,且|AB|= |BC|,求双曲线 M 的离心率. y2 解:由双曲线 M 为 x - 2=1, b
2

∴左顶点 A 的坐标为(-1,0), 两条渐近线为 y=± bx. 又∵直线 l 的斜率为 1, ∴l 的方程为 y=x+1. 1 从而可求得直线 l :y=x+1 与渐近线 y=bx 的交点为 C( , b-1 b ), b-1 2-b b AC 的中点为( , ), 2?b-1? 2?b-1? 且在渐近线 y=-bx 上,

2-b b 则 =-b· ,得 b=3, 2?b-1? 2?b-1? c c= 1 +3 = 10,e= = 10. a
2 2

?x +x =2-k , ? 2 x·= x . ? k -2
2k
1 2 2 1 2 2



∴双曲线的离心率为 10. 12.(15 分)直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于不 同的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右 焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由. 解:(1)将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 2x2-y2=1 后,整理得, (k2-2)x2+2kx+2=0.① 依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,故

假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦 点 F(c,0). 则由 FA⊥FB 得 (x1-c)(x2-c)+y1y2=0, 即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0. 整理得 (k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.③ 把②式及 c= 6 代入③式化简得 2

5k2+2 6k-6=0. 解得 k=- 可知 k=- 点 F. 6+ 6 6- 6 或 k= (舍去). 5 5

?Δ=?2k? -8?k -2?>0, ? ?-k 2k >0, -2 ? 2 ?k -2>0.
k2-2≠0,
2 2 2 2

6+ 6 时使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦 5

解得 k 的取值范围是-2<k<- 2. (2)设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则由①式得


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