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2016-2017学年广西桂林中学高三(下)2月月考数学试卷(解析版)(文科)


2016-2017 学年广西桂林中学高三(下)2 月月考数学试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1. (5 分)复数 z 为纯虚数,若(3﹣i)z=a+i(i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为( A.﹣3 B.3 C.﹣ D. ) )

2. (5 分)已知集合 A={1,2,3},B={y|y=2x﹣1,x∈A},则 A∩B=( A.{1,3} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3} 3. (5 分)已知命题 p:? x>0,x3>0,那么¬p 是( A.? x>0,x3≤0 B. C.? x<0,x3≤0 D. ﹣ )

4. (5 分) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 A. B.1 C.2 D.3

=1, 则数列{an}的公差是 (



5. (5 分) 若非零向量 , 满足| |= A.π B. C. D.

| |, 且 ( ﹣ ) ⊥ (3 +2 ) , 则 与 的夹角为 (



6. (5 分)函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区间为(



A. (kπ﹣ ,kπ+ ) ,k∈Z B. (2kπ﹣ ,2kπ+ ) ,k∈Z C. (k﹣ ,k﹣ ) ,k∈Z D. (2k﹣ ,2k+ ) ,k∈Z )

7. (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为(

1页

A.2

B.1

C.0

D.﹣1 ﹣ =1 (a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, ) ) ,且双曲线的

8. (5 分)已知双曲线 一个焦点在抛物线 y2=4 A. ﹣ =1 B. ﹣

x 的准线上,则双曲线的方程为( =1

C.



=1 D.



=1 )

9. (5 分)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是(

A.108cm3 B.100cm3 C.92cm3 10. (5 分)若 log4(3a+4b)=log2 A.6+2 B.7+2 C.6+4

D.84cm3 ,则 a+b 的最小值是( D.7+4 ) )

11. (5 分)数列{an}满足 an+1+(﹣1)nan=2n﹣1,则{an}的前 60 项和为( A.3690 B.3660 C.1845 D.1830

2页

12. (5 分)已知函数 f(x)=

,且 g(x)=f(x)﹣mx﹣m 在(﹣ )

1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是( A. (﹣ ,﹣2]∪(0, ] B. (﹣ ,﹣2]∪(0, ]

,﹣2]∪(0, ] C. (﹣ ,﹣2]∪(0, ] D . (﹣

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填写在答题卷的横线上.) 13. (5 分)设变量 x,y 满足 ,则 2x+3y 的最大值为 .

14. (5 分)若 θ∈[



],sin2θ=

,则 sinθ=



15. (5 分)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容 器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则 球的体积为 .

16. (5 分)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y﹣2=0 与圆(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 相切, 则 m+n 的取值范围是 .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 sinB (tanA+tanC) =tanAtanC. (Ⅰ)求证:a,b,c 成等比数列; (Ⅱ)若 a=1,c=2,求△ABC 的面积 S. 18. (12 分)某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组 区间是:[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]. (1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之
3页

比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数. 分数段 [50, 60) x:y 1:1 [60, 70) 2:1 [70, 80) 3:4 [80, 90) 4:5

19. (12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60° (Ⅰ)证明:AB⊥A1C; (Ⅱ)若 AB=CB=2,A1C= ,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积.

20. (12 分)已知函数

为常数,e=2.71828…是自然对数的底数) ,曲线 y=f(x)

在点(1,f(1) )处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)设 g(x)=xf′(x) ,其中 f′(x)为 f(x)的导函数.证明:对任意 x>0,g(x)<1+e
﹣2

. 的左右顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆上且异于 A,B

21. (12 分)设椭圆 两点,O 为坐标原点. (1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为

,求椭圆的离心率; .

(2)若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|>
4页

请考生在 22、23 两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第 一个题目计分,作答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修 4-4:坐 标系与参数方程] 22. (10 分)在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系,已知直线 l 上两点 M,N 的极坐标分别为(2,0) , ,圆 C 的参数方程为

(θ 为参数) .①设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; ②判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知关于 x 的不等式|x+a|<b 的解集为{x|2<x<4} (Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)求 + 的最大值.

5页

2016-2017 学年广西桂林中学高三(下)2 月月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1. (5 分) (2016?临沂一模)复数 z 为纯虚数,若(3﹣i)z=a+i(i 为虚数单位) ,则实数 a 的 值为( ) C.﹣ D.

A.﹣3 B.3

【分析】设出复数 z,然后利用复数相等的充要条件,求解即可. 【解答】解:设复数 z=bi,b≠0, ∴(3﹣i)z=a+i,化为(3﹣i)bi=a+i,即 b+3bi=a+i, ∴b=a= , 故选:D. 【点评】本题考查复数的基本运算,复数相等的充要条件的应用,考查计算能力.

2. (5 分) (2016?天津)已知集合 A={1,2,3},B={y|y=2x﹣1,x∈A},则 A∩B=( A.{1,3} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3}



【分析】根据题意,将集合 B 用列举法表示出来,可得 B={1,3,5},由交集的定义计算可 得答案. 【解答】解:根据题意,集合 A={1,2,3},而 B={y|y=2x﹣1,x∈A}, 则 B={1,3,5}, 则 A∩B={1,3}, 故选:A. 【点评】本题考查集合的运算,注意集合 B 的表示方法.

3. (5 分) (2016 秋?温江区期末)已知命题 p:? x>0,x3>0,那么¬p 是( A.? x>0,x3≤0 B. C.? x<0,x3≤0 D.
6页



【分析】利用全称命题的否定是特称命题,写出结果即可. 【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题 p:? x>0,x3>0,那么¬p 是 . 故选:D. 【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基础题.

4. (5 分) (2011?三亚校级模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 数列{an}的公差是( A. B.1 C.2 ) D.3 ﹣



=1,则

【分析】先用等差数列的求和公式表示出 S3 和 S2,进而根据 【解答】解:S3=a1+a2+a3=3a1+3d,S2=a1+a2=2a1+d, ∴ ﹣ = =1

= ,求得 d.

∴d=2 故选 C 【点评】本题主要考查了等差数列的性质.属基础题.

5. (5 分) (2016 春?楚雄州期末) 若非零向量 , 满足| |= 则 与 的夹角为( A.π B. C. ) D.

| |, 且 ( ﹣ ) ⊥ (3 +2 ) ,

【分析】设 与 的夹角为 θ,利用两个向量的数量积的定义,数两个向量垂直的性质,求得 cosθ 的值,可得 θ 的值. 【解答】解:设 与 的夹角为 θ,∵( ﹣ )⊥(3 +2 ) ,| |= ∴( ﹣ )?(3 +2 )=3 ∴cosθ= 故选:D. 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义,数两个向量垂直的性质,属于基础题. ,∴θ= , ﹣ ﹣2 =3? ﹣ | |, =0,

?| |cosθ﹣2

7页

6. (5 分) (2016 秋?芜湖期末)函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的 单调递减区间为( )

A. (kπ﹣ ,kπ+ ) ,k∈Z B. (2kπ﹣ ,2kπ+ ) ,k∈Z C. (k﹣ ,k﹣ ) ,k∈Z D. (2k﹣ ,2k+ ) ,k∈Z

【分析】根据图象求出函数的解析式,结合三角函数的性质即可得到结论. 【解答】解:从图象可以看出:图象过相邻的两个零点为( ,0) , ( ,0) , 可得:T=2× ∴ω= =π, +φ)=0, =2,

∴f(x)=cos(πx+φ) ,将点( ,0)带入可得:cos( 令 +φ= ,可得 φ= ) , ,单点递减(k∈Z) , ,

∴f(x)=cos(πx+ 由

解得:2k﹣ ≤x≤2k+ ,k∈Z. 故选 D 【点评】本题主要考查三角函数单调性的求解,利用图象求出三角函数的解析式是解决本题 的关键.

7. (5 分) (2015?福建)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为(



8页

A.2

B.1

C.0

D.﹣1

【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 i,S 的值,当 i=6 时满足条件 i>5, 退出循环,输出 S 的值为 0. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 i=1,S=0 S=cos ,i=2 +cosπ,i=3 +cosπ+cos +cosπ+cos +cosπ+cos ,i=4 +cos2π,i=5 +cos2π+cos =0﹣1+0+1+0=0,i=6

不满足条件 i>5,S=cos 不满足条件 i>5,S=cos 不满足条件 i>5,S=cos 不满足条件 i>5,S=cos

满足条件 i>5,退出循环,输出 S 的值为 0, 故选:C. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的 i,S 的值是解 题的关键,属于基础题.

8. (5 分) (2015?天津)已知双曲线 且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 A. ﹣ =1 B. ﹣ =1



=1 (a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, )

) ,

x 的准线上,则双曲线的方程为(

9页

C.



=1 D.



=1

【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程,从而可得双曲线的左焦点,再根据焦点在 x 轴 上的双曲线的渐近线方程渐近线方程,得 a、b 的另一个方程,求出 a、b,即可得到双曲线 的标准方程. 【解答】解:由题意, = ∵抛物线 y2=4 ∴c= , , ,双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 x 的准线上,

x 的准线方程为 x=﹣

∴a2+b2=c2=7, ∴a=2,b= , .

∴双曲线的方程为 故选:D.

【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质,考查学生的计算能力,属于 基础题.

9. (5 分) (2013?浙江)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积 是( )

A.108cm3 B.100cm3 C.92cm3

D.84cm3

【分析】由三视图可知:该几何体是一个棱长分别为 6,6,3,砍去一个三条侧棱长分别为 4, 4,3 的一个三棱锥(长方体的一个角) .据此即可得出体积. 【解答】解:由三视图可知:该几何体是一个棱长分别为 6,6,3,砍去一个三条侧棱长分 别为 4,4,3 的一个三棱锥(长方体的一个角) . ∴该几何体的体积 V=6×6×3﹣ =100.
10 页

故选 B.

【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键.

10. (5 分) (2014?重庆)若 log4(3a+4b)=log2 A.6+2 B.7+2 C.6+4 D.7+4

,则 a+b 的最小值是(



【分析】利用对数的运算法则可得 【解答】解:∵3a+4b>0,ab>0, ∴a>0.b>0 ∵log4(3a+4b)=log2 ,

>0,a>4,再利用基本不等式即可得出

∴log4(3a+4b)=log4(ab) ∴3a+4b=ab,a≠4,a>0.b>0 ∴ >0,

∴a>4, 则 a+b=a+ 当 a=4+2 故选:D. 【点评】本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质,属于中档题. =a+ 取等号. =a+3+ =(a﹣4)+ +7 +7=4 +7,当且仅

n 11. (5 分) (2012?新课标) 数列{an}满足 an+1+ (﹣1) an=2n﹣1, 则{an}的前 60 项和为 (



A.3690

B.3660

C.1845

D.1830

【分析】 由题意可得 a2﹣a1=1, a3+a2=3, a4﹣a3=5, a5+a4=7, a6﹣a5=9, a7+a6=11, …a50﹣a49=97, 变形可得 a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a7=2,a12+a10=40,a13+a11=2,a16+a14=56,…利用 数列的结构特征,求出{an}的前 60 项和.
11 页

【解答】解:由于数列{an}满足 an+1+(﹣1)n an=2n﹣1,故有 a2﹣a1=1,a3+a2=3,a4﹣a3=5, a5+a4=7,a6﹣a5=9,a7+a6=11,…a50﹣a49=97. 从而可得 a3+a1=2, a4+a2=8, a7+a5=2, a8+a6=24, a11+a9=2, a12+a10=40, a15+a13=2, a16+a14=56, … 从第一项开始,依次取 2 个相邻奇数项的和都等于 2, 从第二项开始,依次取 2 个相邻偶数项的和构成以 8 为首项,以 16 为公差的等差数列. {an}的前 60 项和为 15×2+(15×8+ 故选 D. 【点评】本题主要考查数列求和的方法,等差数列的求和公式,注意利用数列的结构特征, 属于中档题. )=1830,

12. (5 分) (2014?重庆)已知函数 f(x)=

,且 g(x)=f(x) )

﹣mx﹣m 在(﹣1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是( A. (﹣ ,﹣2]∪(0, ] B. (﹣ ,﹣2]∪(0, ]

,﹣2]∪(0, ] C. (﹣ ,﹣2]∪(0, ] D . (﹣

【分析】由 g(x)=f(x)﹣mx﹣m=0,即 f(x)=m(x+1) ,作出两个函数的图象,利用数形 结合即可得到结论. 【解答】解:由 g(x)=f(x)﹣mx﹣m=0,即 f(x)=m(x+1) , 分别作出函数 f(x)和 y=h(x)=m(x+1)的图象如图: 由图象可知 f(1)=1,h(x)表示过定点 A(﹣1,0)的直线, 当 h(x)过(1,1)时,m= 此时两个函数有两个交点,此时满足条件的 m 的取值范围是 0 < m≤ , 当 h(x)过(0,﹣2)时,h(0)=﹣2,解得 m=﹣2,此时两个函数有两个交点, 当 h(x)与 f(x)相切时,两个函数只有一个交点, 此时 ,

即 m(x+1)2+3(x+1)﹣1=0, 当 m=0 时,x= ,只有 1 解,

当 m≠0,由△=9+4m=0 得 m=﹣ ,此时直线和 f(x)相切,
12 页

∴要使函数有两个零点, 则﹣ <m≤﹣2 或 0<m≤ , 故选:A

【点评】本题主要考查函数零点的应用,利用数形结合是解决此类问题的基本方法.

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填写在答题卷的横线上.) 13. (5 分) (2017 春?秀峰区校级月考)设变量 x,y 满足 ,则 2x+3y 的最大值为

55



【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值. 【解答】解:作出不等式 对应的平面区域(阴影部分) ,

13 页

由 z=2x+3y,得 y=﹣ x+ z. 平移直线 y=﹣ x+ z,由图象可知当直线 y=﹣ x+ z 经过点 A 时,直线 y=﹣ x+ z 的截距 最大,此时 z 最大. 由 ,解得 A(5,15) .

此时 z 的最大值为 z=2×5+3×15=55, 故答案为:55. 【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

14. (5 分) (2017 春?秀峰区校级月考)若 θ∈[



],sin2θ=

,则 sinθ=



【分析】由 θ 的范围求出 2θ 的范围,再由平方关系求出 cos2θ,根据倍角的余弦公式变形求 出 sinθ 的值. 【解答】解:由 ∴ =﹣ 得, = , ,

∵cos2θ=1﹣2sin2θ,sinθ>0 ∴sinθ= 故答案为: . 【点评】本题考查了平方关系和倍角的余弦公式的应用,注意角的范围确定,以及三角函数 值的符号问题.
14 页

= ,

15. (5 分) (2014 秋?金台区期末)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果 不计容器的厚度,则球的体积为 cm3 .

【分析】根据图形的性质,求出截面圆的半径,即而求出求出球的半径,得出体积. 【解答】解:根据几何意义得出:边长为 8 的正方形,球的截面圆为正方形的内切圆, ∴圆的半径为:4, ∵球面恰好接触水面时测得水深为 6cm, ∴d=8﹣6=2,

∴球的半径为:R= R=5 ∴球的体积为 故答案为 π×(5)3= .



cm3

【点评】本题考查了球的几何性质,运用求解体积面积,属于中档题.

16. (5 分) (2014?大庆校级模拟)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y﹣2=0 与圆(x﹣ 1)2+(y﹣1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是 (﹣∞,2﹣2 ]∪[2+2 ,+∞) .

【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径 r,由直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于 圆的半径,利用点到直线的距离公式列出关系式,整理后利用基本不等式变形,设 m+n=x, 得到关于 x 的不等式,求出不等式的解集得到 x 的范围,即为 m+n 的范围.
15 页

【解答】解:由圆的方程(x﹣1)2+(y﹣1)2=1,得到圆心坐标为(1,1) ,半径 r=1, ∵直线(m+1)x+(n+1)y﹣2=0 与圆相切, ∴圆心到直线的距离 d= 整理得:m+n+1=mn≤( 设 m+n=x,则有 x+1≤ )2, ,即 x2﹣4x﹣4≥0, ,x2=2﹣2 , )≥0, =1,

∵x2﹣4x﹣4=0 的解为:x1=2+2 ∴不等式变形得: (x﹣2﹣2 解得:x≥2+2 或 x≤2﹣2

) (x﹣2+2 ,

则 m+n 的取值范围为(﹣∞,2﹣2 故答案为: (﹣∞,2﹣2 ]∪[2+2

]∪[2+2 ,+∞) .

,+∞) .

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:点到直线的距离公式,基本不等 式,以及一元二次不等式的解法,利用了转化及换元的思想,当直线与圆相切时,圆心到直 线的距离等于圆的半径,熟练掌握此性质是解本题的关键.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分) (2012?山东) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 sinB (tanA+tanC) =tanAtanC. (Ⅰ)求证:a,b,c 成等比数列; (Ⅱ)若 a=1,c=2,求△ABC 的面积 S. 【分析】 (I) 由已知, 利用三角函数的切化弦的原则可得, sinB (sinAcosC+sinCcosA) =sinAsinC, 利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得 sin2B=sinAsinC,由正弦定理可证 (II)由已知结合余弦定理可求 cosB,利用同角平方关系可求 sinB,代入三角形的面积公式 S= 可求.

【解答】 (I)证明:∵sinB(tanA+tanC)=tanAtanC ∴sinB( ∴sinB? )= =

∴sinB(sinAcosC+sinCcosA)=sinAsinc ∴sinBsin(A+C)=sinAsinC,
16 页

∵A+B+C=π ∴sin(A+C)=sinB 即 sin2B=sinAsinC, 由正弦定理可得:b2=ac, 所以 a,b,c 成等比数列. (II)若 a=1,c=2,则 b2=ac=2, ∴ ∵0<B<π ∴sinB= ∴△ABC 的面积 . ,

【点评】本题主要考查了三角形的切化弦及两角和的正弦公式、三角形的内角和定理的应用 及余弦定理和三角形的面积公式的综合应用.

18. (12 分) (2012?广东)某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示, 其中成绩分组区间是:[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]. (1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之 比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数. 分数段 [50, 60) x:y 1:1 [60, 70) 2:1 [70, 80) 3:4 [80, 90) 4:5

【分析】 (1)由频率分布直方图的性质可 10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解方程即可得到 a 的
17 页

值; (2)由平均数加权公式可得平均数为 55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05,计算出 结果即得; (3)按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数,从总人数中减去这些段内的人 数即可得出数学成绩在[50,90)之外的人数. 【解答】解: (1)依题意得,10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解得 a=0.005;

(2)这 100 名学生语文成绩的平均分为:55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73 (分) ;

(3)数学成绩在[50,60)的人数为:100×0.05=5, 数学成绩在[60,70)的人数为: 数学成绩在[70,80)的人数为: 数学成绩在[80,90)的人数为: , , ,

所以数学成绩在[50,90)之外的人数为:100﹣5﹣20﹣40﹣25=10. 【点评】本题考查频率分布估计总体分布,解题的关键是理解频率分布直方图,熟练掌握频 率分布直方图的性质,且能根据所给的数据建立恰当的方程求解.

19. (12 分) (2013?新课标Ⅰ)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60° (Ⅰ)证明:AB⊥A1C; (Ⅱ)若 AB=CB=2,A1C= ,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积.

【分析】 (Ⅰ)由题目给出的边的关系,可想到去 AB 中点 O,连结 OC,OA1,可通过证明 AB ⊥平面 OA1C 得要证的结论; (Ⅱ)在三角形 OCA1 中,由勾股定理得到 OA1⊥OC,再根据 OA1⊥AB,得到 OA1 为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高,利用已知给出的边的长度,直接利用棱柱体积公式求体积.
18 页

【解答】 (Ⅰ)证明:如图, 取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB,所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1, 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C? 平面 OA1C,故 AB⊥A1C; (Ⅱ)解:由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形, 所以 又 ,则 . ,故 OA1⊥OC. ,故△AA1B 为等边三角形,

因为 OC∩AB=O,所以 OA1⊥平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高. 又△ABC 的面积 ,故三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 .

【点评】题主要考查了直线与平面垂直的性质,考查了棱柱的体积,考查空间想象能力、运 算能力和推理论证能力,属于中档题.

20. (12 分) (2012?山东)已知函数

为常数,e=2.71828…是自然对数的底数) ,

曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)设 g(x)=xf′(x) ,其中 f′(x)为 f(x)的导函数.证明:对任意 x>0,g(x)<1+e
﹣2

. 的导数,再由曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处

【分析】 (Ⅰ)由题意,求出函数

的切线与 x 轴平行可得出 f′(1)=0,由此方程即可解出 k 的值;

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(II)由(I)知, 区间即可;

=

,x∈(0,+∞) ,利用导数解出函数的单调

(III)先给出 g(x)=xf'(x) ,考查解析式发现当 x≥1 时,g(x)=xf'(x)≤0<1+e﹣2 一定成 立,由此将问题转化为证明 g(x)<1+e﹣2 在 0<x<1 时成立,利用导数求出函数在(0,1) 上的最值,与 1+e﹣2 比较即可得出要证的结论. 【解答】解: (I)函数 为常数,e=2.71828…是自然对数的底数) ,

∴ 由已知,

=

,x∈(0,+∞) , ,∴k=1.

(II)由(I)知,

=

,x∈(0,+∞) ,

设 h(x)=1﹣xlnx﹣x,x∈(0,+∞) ,h'(x)=﹣(lnx+2) , 当 x∈(0,e﹣2)时,h'(x)>0,当 x∈( e﹣2,1)时,h'(x)<0, 可得 h(x)在 x∈(0,e﹣2)时是增函数,在 x∈( e﹣2,1)时是减函数,在(1,+∞)上 是减函数, 又 h(1)=0,h(e﹣2)>0,又 x 趋向于 0 时,h(x)的函数值趋向于 1 ∴当 0<x<1 时,h(x)>0,从而 f'(x)>0, 当 x>1 时 h(x)<0,从而 f'(x)<0. 综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1) ,单调递减区间是(1,+∞) . (III)由(II)可知,当 x≥1 时,g(x)=xf'(x)≤0<1+e﹣2,故只需证明 g(x)<1+e﹣2 在 0<x<1 时成立. 当 0<x<1 时,ex>1,且 g(x)>0,∴ 设 F(x)=1﹣xlnx﹣x,x∈(0,1) ,则 F'(x)=﹣(lnx+2) , 当 x∈(0,e﹣2)时,F'(x)>0,当 x∈( e﹣2,1)时,F'(x)<0, 所以当 x=e﹣2 时,F(x)取得最大值 F(e﹣2)=1+e﹣2. 所以 g(x)<F(x)≤1+e﹣2. 综上,对任意 x>0,g(x)<1+e﹣2. 【点评】本题考查利用导数研究函数的最值及曲线上某点处的切线方程,解题的关键是灵活 利用导数工具进行运算及理解导数与要解决问题的联系,此类题运算量大,易出错,且考查
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了转化的思想,判断推理的能力,综合性强,是高考常考题型,学习时要严谨认真,注意总 结其解题规律.

21. (12 分) (2012?天津)设椭圆 上且异于 A,B 两点,O 为坐标原点. (1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为

的左右顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆

,求椭圆的离心率; . ,即可求

(2)若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|> 【分析】 (1)设 P(x0,y0) ,则 得椭圆的离心率;

,利用直线 AP 与 BP 的斜率之积为

( 2 )依题意,直线 OP 的方程为 y=kx ,设 P ( x0 , kx0 ) ,则

,进一步可得

,利用 AP|=|OA|,A(﹣a,0) ,可求得 的范围. 【解答】 (1)解:设 P(x0,y0) ,∴ ①

,从而可求直线 OP 的斜率

∵椭圆

的左右顶点分别为 A,B,∴A(﹣a,0) ,B(a,0)



, ,∴

∵直线 AP 与 BP 的斜率之积为 代入①并整理得 ∵y0≠0,∴a2=2b2 ∴ ∴ ∴椭圆的离心率为 ;

21 页

(2)证明:依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,设 P(x0,kx0) ,∴

∵a>b>0,kx0≠0,∴ ∴ ②

∵|AP|=|OA|,A(﹣a,0) , ∴ ∴ ∴ 代入②得 ∴k2>3 ∴直线 OP 的斜率 k 满足|k|> .

【点评】本题考查椭圆的几何性质,考查直线的斜率,考查学生的计算能力,属于中档题.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第 一个题目计分,作答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修 4-4:坐 标系与参数方程] 22. (10 分) (2017 春?扶沟县校级月考)在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线 l 上两点 M, N 的极坐标分别为 (2, 0) , 圆 C 的参数方程为 ,

(θ 为参数) .①设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平

面直角坐标方程;②判断直线 l 与圆 C 的位置关系. 【分析】①利用极坐标化为直角坐标的公式 即可得到点 M,N 的直角坐标,再利

用中点坐标公式即可得到点 P 的坐标,进而得到直线 l 的方程. ②把圆 C 的参数方程化为直角坐标方程,利用点到直线的距离公式可得圆心 C 到直线 l 的距 离 d,与半径 r 比较即可得出位置关系. 【解答】解:①直线 l 上两点 M,N 的极坐标分别为(2,0) , 坐标:M(2,0) ,N .
22 页

,分别化为直角

∴线段 MN 的中点 P 的坐标为 . ②由圆 C 的参数方程为 可得圆心 C ,半径 r=2.

,∴

.∴直线 OP 的平面直角坐标方程为:

(θ 为参数)消去参数 θ 可得



∴圆心 C 到直线 l 的距离 d= 因此直线 l 与圆 C 相离.



【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、中点坐标公式、点斜式方程、参数方程化 为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系的判定等基础知识与基本技能 方法,属于中档题.

[选修 4-5:不等式选讲] 23. (2015?陕西)已知关于 x 的不等式|x+a|<b 的解集为{x|2<x<4} (Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)求 + 的最大值.

【分析】 (Ⅰ)由不等式的解集可得 ab 的方程组,解方程组可得; (Ⅱ)原式= + = + ,由柯西不等式可得最大值.

【解答】解: (Ⅰ)关于 x 的不等式|x+a|<b 可化为﹣b﹣a<x<b﹣a, 又∵原不等式的解集为{x|2<x<4}, ∴ ,解方程组可得 + ; = +

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 = =2 当且仅当 + ≤

=4, = 即 t=1 时取等号,

∴所求最大值为 4 【点评】本题考查不等关系与不等式,涉及柯西不等式求最值,属基础题.

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