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17-1第1讲 复数的概念与运算


第 17 章

第 1 讲 复数的概念与运算

一、选择题 1.(2009· 深圳一模)如果复数(2+ai)i(a∈R)的实部与虚部互为相反数,则 a 的值等于 ( A.-1 B.1 C.-2 D.2 ) )

2.(2008· 广东卷)已知 0<a<2,复数 z 的实部为 a,虚部为 1,则|z|的取值范围是( A.(1,5) B.(1,3) ) C.12-13i ) D.12+13i C.(1, 5) D.(1, 3)

3+2i 3.(2010· 全国Ⅰ,1)复数 =( 2-3i A.i B.-I

4.(2010· 陕西,2)复数 z= A.第一象限

i 在复平面上对应的点位于( 1+i B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 )

z 5. (2010· 湖北, 1)若 i 为虚数单位, 图中复平面内点 Z 表示复数 z, 则表示复数 的点是( 1+i

A.E

B.F

C.G

D.H )

1+7i 6.(2009· 安徽卷理)i 是虚数单位,若 =a+bi(a,b∈R),则乘积 ab 的值是( 2-i A.-15 C.3 7.( 1+i 2 005 ) 等于( 1-i A.i C.22 005 ) B.-i D.-22 005 B.-3 D.15

1

二、填空题 8.(2008· 北京)已知(a-i) =2i,其中 i 是虚数单位,那么实数 a=________.
2

9.(2009· 惠州市第二次调研考试)在复平面内,若 z=m2 (1+i)-m(4+i)-6i 所对应的点在第 二象限,则实数 m 的取值范围是________.
2

10.(2009· 福建卷文)复数 i (1+i)的实部是________.

y 11.已知复数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为 3,则 的最大值是________. x

12.对于非零实数 a,b,以下四个命题都成立: 1 ①a+ ≠0; a ②(a+b)2 =a2 +2ab+b2 ; ③若|a|=|b|,则 a=± b; ④若 a =ab,则 a=b. 那么,对于非零复数 a,b,仍然成立的命题的所有序号是________.
2

亲爱的同学请写上你的学习心得 1.判定复数是实数,仅注重虚部等于 0 是不够的,还需考虑它的实部是否有意义. 2.对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解,判别式不再成立.因此解此 类方程的解,一般都是将实根代入方程,用复数相等的条件进行求解. 3.两个虚数不能比较大小. 4.利用复数相等 a+bi=c+di 列方程时,注意 a,b,c,d∈R 的前提条件. 5.z2 <0 在复数范围内有可能成立,例如:当 z=3i 时 z2 =-9<0.

2

第 17 章

第 1 讲 复数的概念与运算

一、选择题 1.(2009· 深圳一模)如果复数(2+ai)i(a∈R)的实部与虚部互为相反数,则 a 的值等于 ( A.-1 [解析] [答案] B.1 (2+ai)i=2i+ai2 =-a+2i D ) C.-2 由-a+2=0 得 a=2. D.2 )

2.(2008· 广东卷)已知 0<a<2,复数 z 的实部为 a,虚部为 1,则|z|的取值范围是( A.(1,5) [解析] B.(1,3) C.(1, 5) D.(1, 3) [答案] C

|z|= a2 +1,而 0<a<2,即 1<a2 +1<5, ∴1<|z|< 5. ) C.12-13i

3+2i 3.(2010· 全国Ⅰ,1)复数 =( 2-3i A.i [答案] A B.-I

D.12+13i

4.(2010· 陕西,2)复数 z= A.第一象限 [解析] z=

i 在复平面上对应的点位于( 1+i B.第二象限

) D.第四象限

C.第三象限

i?1-i? 1+i 1 1 i = = = + i. 1+i 1-i2 2 2 2 [答案] A )

1 1 ∴复数 z 在复平面内的对应点的坐标为? , ?在第一象限.故选 A. ?2 2?

z 5. (2010· 湖北, 1)若 i 为虚数单位, 图中复平面内点 Z 表示复数 z, 则表示复数 的点是( 1+i

A.E [解析]

B.F

C.G

D.H

3+i z 由图示可知 z=3+i,∴ = =2-i,再结合图示知点 H 对应复数 2-i, 1+i 1+i
3

故选 D. [答案] D )

1+7i 6.(2009· 安徽卷理)i 是虚数单位,若 =a+bi(a,b∈R),则乘积 ab 的值是( 2-i A.-15 C.3 [解析] [答案] 7.( B.-3 D.15 1+7i ?1+7i??2+i? = =-1+3i,∴a=-1,b=3,ab=-3,选 B. 2-i 5 B ) B.-i D.-22 005 1+i 2 004 1+i 原式=( ) ( )=i,故选 A. 1-i 1-i A

1+i 2 005 ) 等于( 1-i A.i C.22 005 [解析] [答案]

二、填空题 8.(2008· 北京)已知(a-i) =2i,其中 i 是虚数单位,那么实数 a=________. [解析] [答案] a2 -2ai-1=a2 -1-2ai=2i,a=-1. -1
2 2

9.(2009· 惠州市第二次调研考试)在复平面内,若 z=m (1+i)-m(4+i)-6i 所对应的点在第 二象限,则实数 m 的取值范围是________. [解析] 限,则?
2

z=m2 (1+i)-m(4+i)-6i=(m2 -4m)+(m2 -m-6)i,它所对应的点在第二象 ??
? ?0<m<4 ?m<-2或m>3 ?

? 2 ?m -4m<0 ?m -m-6>0 ?

?3<m<4.

[答案]

(3,4)

10.(2009· 福建卷文)复数 i2 (1+i)的实部是________. [解析] [答案] i2 (1+i)=-1-i,所以实部是-1. -1

y 11.已知复数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为 3,则 的最大值是________. x [解析] 由 ?x-2?2 +y2= 3得(x-2)2 +y2 =3.

y 设 k= ,得 y=kx,代入上式,整理得(1+k 2)x2 -4x+1=0, x ∵x∈R ∴△=(-4)2 -4(1+k 2)≥0,解得- 3≤k≤ 3
4

∴k max= 3. [答案] 3

12.对于非零实数 a,b,以下四个命题都成立: 1 ①a+ ≠0; a ②(a+b) =a +2ab+b ; ③若|a|=|b|,则 a=± b; ④若 a2 =ab,则 a=b. 那么,对于非零复数 a,b,仍然成立的命题的所有序号是________. [答案] ②④
2 2 2

亲爱的同学请写上你的学习心得 1.判定复数是实数,仅注重虚部等于 0 是不够的,还需考虑它的实部是否有意义. 2.对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解,判别式不再成立.因此解此 类方程的解,一般都是将实根代入方程,用复数相等的条件进行求解. 3.两个虚数不能比较大小. 4.利用复数相等 a+bi=c+di 列方程时,注意 a,b,c,d∈R 的前提条件. 5.z2 <0 在复数范围内有可能成立,例如:当 z=3i 时 z2 =-9<0.

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