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解题发挥 融会贯通


杭州市朝晖中学

程银富

杭州

原题展示
如图,分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方 形AEDB和正方形ACFG,连结CE、BG。 潜在价值 求证:BG=CE E
D
本题考查 (1)正方形、三 角形全等的知识; (2)基本的几何 分析推理能力。

A

/>
(1)知识点丰富; (2)智能性功能; G (3)心理训练功效; (4)丰富的数学思想 与数学方法; (5)体现数学的整体 性。 F

B

C

来源

浙教版八下课本第147页作业题第3题

变式一:条件不变、增加探究结论
(2)观察图形猜想CE与BG之间的位置关系,并证明 你的猜想。 (3)图中哪个三角形是由哪个三角形变换得到?请 说出是怎样的变换?
E G D A

(1)经历观察猜想到验证 的解决问题方法; B (2)培养观察能力、语言 表达能力、空间想象能力。

F C

变式二:添加条件,探索新结论
(4)如上图,AB=11,AC=7,连结EG, (1)添加辅助线构 2 2 求BC +EG 的值 造直角三角形
(2)转化思想

E G D A

O
F B C

(2007甘肃陇南中考题) 练习1
四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG. (1)求证:AE=CG; (2)观察图形,猜想AE与CG之间的位置关系, 并证明你的猜想
G F

A B D C

加强知识 的巩固

E

变式三:改变条件,探究原结论
把“正方形ABCD、DEFG”改为“矩 形ABCD、DEFG(长宽不等)”,上面两 个结论还成立吗?若不成立,请问在什 么条件下成立? G

F

A
(1)通过类比,加深全等与相似 知识的理解与巩固 (2)培养学生的探索、创新精神

D B C

E

变式四:图形旋转,探究原结论
四边形 ABCD、ABCD DEFG都是正方形,连接 AE、CG. AD (3)正方形 绕点D顺时针方向旋转,使 ( 1GD )求证: AE=CG1 ; 与 重合如图( )时,上述两个结论是否成立? (2)观察图形,猜想AE与CG之间的位置关系, (4)正方形ABCD 绕点D顺时针方向旋转,如 并证明你的猜想 .

图( 2),上述两个结论是否成立? (1) 从图形变化中探求规律。培养学生用 G G G 运动变换的观点和由特殊图形到一般图 F F 形去观察、研究几何图形的性质,添加 辅助线,提高学生分析问题与解决问题 的能力; A A C (B 2)渗透转化思想与数形结合思想; (3)激发学生求知欲与信心; (4)培养学生思维的准确性和创新性。 B C E ED D D
C 图(1)

F

B E A

图(2)

(5)如图(2),连结BF,求CG:BF:AE的值. 旋转演示

2008年浙江省义乌市中考题

练习2

如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与 C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG, 连结BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系 及所在直线的位置关系: (1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线 的位置关系; ②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转 任意角度,得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方 法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断.

2008年浙江省义乌市中考题
(2)将原题中正方形改为矩形(如图4—6),且AB=a, BC=b,CE=ka, CG=kb (a≠b,k>0),第(1)题①中得到 的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图5为例简要 说明理由.
(3)在第(2)题图5中,连结DG、BE,且a=3,b=2, k=0.5,求的BE2+DG2值.

变式五:根据图形或变式图形,求面积
1.如图,A在线段BG上,ABCD和DEFG都是正方形, 面积分别为7和11,则△CDE的面积等于 。
E C D A G F

B

2.如图,直线上有三个正方形a、b、c,若a、c的 面积分别为5和11,则b的面积为( ) A.4 B.6 C.16 D.55
a b c

变式五:根据图形或变式图形,求面积
3.如图,梯形ABCD中,AB∥DC, ∠ADC+ ∠BCD=90°,且DC=2AB,分别以DA、AB、 BC为边向梯形外作正方形,其面积分别为S1、 S2、S3,则S1,S2,S3之间的关系是______.

S2 S1

A

B

S3

D (1)补形法,旋转法 (2)数形结合思想和转 化思想

C

练习3
1. (05年温州市中考题)在直线l上依次摆放着七个正 方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积 (1)启发学生寻找基本图 分别是 1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次 形,利用基本图形解题, . S1+S2+S3+S4=______. 是S1培养图形识别和观察能力 、S2、S3、S4,则
(2)方程思想
1 2 3
S3 S4

S1

S2

2.如图,分别以Rt△ABC的三边向形 外作正方形ABGH、BCEF、ACDI, 若直角边BC=1,AC=2,则六边形 G DEFGHI的面积。

H A I

B F

C E

D

变式六:图形改变,探究定点定值问题
如图,已知C为定线段AB外一动点,分别以 AC、BC为边在△ABC外作正方形CADF和 CBEG,求证:不论点C的位置在AB的同侧 怎样变化,线段DE的中点M为定点。
从图形运动中找出规律, 转化为一般的几何证明 问题,探究解决新问题 D 的策略,训练思维的灵 活性。
A F G C B E

演示

变式七:变换条件结论,提高探索能力
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以AC、BC为边向 △ABC外分别作正方形CBHF和正方形ACDE,连结DF,过点 C作CG⊥AB,垂足为G,且CG的反向延长线与DF交于点I。 1 1 (3)当∠ ACB 为钝角,且分别向△ (1)求证: CI ? AB ? DF ABC内作正方 2 2CI与AB间的数量关 形CBHF和ACDE,问:此时线段 (2)当∠ACB≠90°时,以上结论成立吗? 1 系如何?CI是否平分DF?线段CI与 AB是否相等? 2 若不成立,关系又怎样?
第(1)小题是常规题,第 D (2)(3)小题又是探索 题,第(3)小题图形变化, I 寻找基本图形,培养识图 E 能力、探究能力和发散思 C 维能力。
A G B
E C A B F G I H D

F H

变式八:改变条件,挖掘内在联系
(1)万变不离其宗, 如图,分别以△ABC的边AB、AC 为一边向外作正 揭示问题的实质; 三角形ABD和正三角形ACE,连结 、BE。 (CD 2)使知识进一步理 (1)求证:BE=DC 解和内化,培养思维 的准确性,提高解决 (2)求直线猜想CD与直线BE的夹角 问题的能力以及应变 能力。
D

A

E

B

C

如图,在△ABC中,分别以AB,AC,BC为边在BC 的同侧作等边三角形ABD,ACE,BCF (1)求证:四边形DAEF是平行四边形; (2)探究下列问题 ①当△ABC满足什么条件时,四边形DAEF是矩形? ②当△ABC满足什么条件时,四边形DAEF是菱形? ③当△ABC满足什么条件时,以D,A,E,F为顶点的四 边形不存在? F
(1)考查知识点丰富 D (2)培养学生思维的全 面性与创新性,空间想象 能力、逻辑推理能力; (3)渗透分类与转化的 数学思想方法。 (4)体现数学的整体性
E A

变式九:根据结论,探究条件

B

C

变化演示

练习4

2008年广东佛山市中考题
如图,△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等 边三角形. (1) 当AB≠AC时,证明四边形ADFE为平行四边形; (2) 当AB = AC时,顺次连结A、D、F、E四点所构成的 图形有哪几类?直接写出构成图形的类型和相应的条件.
F

分类思想

D E A B C

变式十:添加背景材料,与函数相结合
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°∠ACB=30°, BC=2,四边形ABDE和ACFG均为正方形.

( 2)在( 3 1)的情况下,求经过 2 )的图形中,如果点 A、 是一次函数 B、O三点 (1) 以点C为坐标原点, BC与x轴重合,画出直角坐 标系,并求点 F、G的坐标. 的抛物线的解析式。 上的一个动点,点 A运动到什么 y ? ?0.5 x ? E 2、 位置时,正方形ABCD和AOEF的面积和最小?最 (1)充分运用数形结合和建立函 小面积是多少?
数模型求面积和的最小值,(2) G 提高学生的知识、能力和心理等 综合素质

F

A C B

E D

练习5
如图,⊙M与y轴相切于点C,与x轴交于A,B两点, A,B两点的横坐标是一元二次方程x2-4x+3=0的两 个根,以AB为边向x轴下方作正方形. (1)tan∠ABC=? (2)正方形ABDE的边上是否存在点P,使 △ABP∽△AOC,求此时P点的坐标. (3)若⊙M以1个单位每秒的速度竖直向下匀速移动, 第(2)小题是探究存在 当⊙M与正方形ABDE重叠部分的面积等于六分之一 性问题,渗透分类思想; ⊙M的面积时,求移动的时间. 第(3)小题几何动态性
问题。培养学生对知识的 综合应用能力。





三角形 相似

三角形 全等 三角 函数

等腰 三角形

等边 三角形

方程

函数
数与式

图形 运动
平行 四边形 矩形 转化 数形 结合

菱形
正方形 梯形 建模

圆 三角形 四边形

直角 三角形

添辅助 线方法 解决问 题策略

综合 应用

思想 方法

分类

方程

教材习题

感悟与反思
1.通过教材一题的变式,使初中知识融会贯通。 2.培养了学生数学素质和思维的灵活性、深刻性和创造性 。 3.增强学生应考心理的稳定性。 4.掌握数学思想与方法。 5.体现数学的整体性,一个模块可以转化为多个模块。 具有较强代表性和典型性的习题是数学问题的 精华,教学中尤其在初三总复习时,要善于“借题 发挥”,使知识网络化,整合思维模式,培养学生 复合思维,形成网络技能。走出题海战术,真正做 到轻负高质 。


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