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云南省玉溪一中2011-2012学年高二下学期期末考试 文科数学试题(人教A版选修1-1)


玉溪一中 2013 届高二年级下学期期末考试

数学(文科)试卷
一、选择题(12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。每题只有一个答案符合要求。 )
1.设 U ? R , M ? x x 2 ? 2 x ? 0 ,则 CU M ? A. ?0,2? B. ?0,2? C. ( ??,0) ? (2,??) D. ?? ?,0? ? ?2,???

?

?

2.已知函数 y ? f (x) 的反函数 f ?1 ( x) ? 2 x ?1 ,则 f (1) 等于 A.0 B.1 C. ? 1 D.4

3.若复数 (a 2 ? 4a ? 3) ? (a ? 1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为 A.1 B.3 C.1 或 3 D. ? 1 4.已知 A(3,0) , B(0,4) ,点 P( x, y) 在线段 AB 上,则 xy 的最大值为 A.

12 5

B.

144 49

C.3

D.4

5.方程 2 x ? x ? 4 ? 0 的解所在的区间为 A. ? 1 ,0) ( B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3)

6.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 9n ,第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? A.9 7.下列说法错误的是 A. n ? ? “i s B.8 C.7 D.6

1 ”是“ ? ? 30? ”的充分不必要条件 2 B.命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是: “若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”
C.若命题 p : ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 D.如果命题“ ?p ”与命题“ p 或 q ”都是命真题,那么命题 q 一定是真命题 8.一个组合体的三视图如图,则其体积为 A.12 ? B.16 ? C.20 ? D.28 ? 9.已知抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 M 与该抛物线的焦点 F 的距离 MF ? 4 ,则点 M 的横坐标

x?
A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示,则甲、乙两人在这十场 比赛中得分的平均数与方差的大小关系为
第 1 页 共 8 页

A. x甲 ? x乙 B. x甲 ? x乙 C. x甲 ? x乙 D. x甲 ? x乙

2 2 S甲 ? S乙 2 2 S甲 ? S乙 2 2 S甲 ? S乙 2 2 S甲 ? S乙

11.关于 x 的不等式 x3 ? 3x 2 ? 9 x ? 2 ? m 对任意 x ? ?? 2,2? 恒成立,则 m 的取值范围是 A. ?? ?,7? B. ?? ?,?20? C. ?? ?,0? D. ?? 12,7?

12.已知 f (x) 是 R 上的偶函数, g (x) 是 R 上的奇函数,且 g ( x) ? f ( x ? 1) ,若 g (1) ? 2 ,则 f (2012) 的值为 A.2 B.0 C. ? 2 D. ? 2

二、填空题(4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知 a ? 1 , b ? 6 , a ? (b ? a ) ? 2 ,则向量 a 与 b 的夹角等 于 。 14 . 执 行 下 列 程 序 框 图, 如 果 输 入 的 N 是 6 , 那么 输 出 的 P 是 。
开始 输入 N k=1,p=k p=p·k k=k+1 k<N



4 ? ? ? 15.已知 ? ? ? ? ,0 ? , cos ? ? ,则 tan 2? ? 5 ? 2 ?



? x ? 2 cos ? ? 16.在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? (? ? y ? 3 sin ? ?
为参数) ,在极坐标系(与直角坐标系 xoy 以相同长度单位,且 以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C2 的方程为

输出 p 结束

? (cos? ? sin ? ) ? 1 ? 0 ,则 C1 与 C2 的交点个数为



三、解答题(6 个小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤。 )
17. (10 分)设平面向量 a m ? (m,1) , bn ? ( 2, n ) ,其中 m, n ? ? ,2,3,4? 。 1 (1)请列出有序数组 (m, n) 的所有可能结果; (2)记“使得 a m ? ( a m ? bn ) 成立的 (m, n) ”为事件 A,求事件 A 发生的概率。

第 2 页 共 8 页

18. 分) ?ABC 中, A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,B ? (12 在 角 (1)求 sin C 的值; (2)求 ?ABC 的面积。

?
3

,cos A ?

4 ,b ? 3 。 5

a ? ? 1? ? 19. (12 分)已知函数 f ( x) ? a x 的图象过点 ?1, ? ,且点 ? n ? 1, n ? 在函数 f ( x) ? a x 的图 n2 ? ? 2? ?
象上。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? an ?1 ?

1 an ,若数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,求证: Sn ? 5 。 2

20. 分) (12 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为直角梯形, 其中 BA ? AD ,CD ? AD , CD ? AD ? 2 AB , PA ? 底面 ABCD , E 是 PC 的中点。 (1)求证: BE // 平面 PAD ; P (2)若 AP ? 2 AB ,求证: BE ? 平面 PCD 。

E

D

C

A

B

第 3 页 共 8 页

21. (12 分)设 F1 、 F2 分别是椭圆 E : x 2 ?

y2 ? 1 ( 0 ? b ? 1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l b2

与 E 相交于 A 、 B 两点,且 AF2 、 AB 、 BF2 成等差数列。 (1)求 AB ; (2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值。

22. (12 分)已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? ln x ( a ? R ) 。

?1 ? (1)当 a ? 3 时,求函数 f (x) 在 ? ,2? 上的最大值和最小值; ?2 ? ?1 ? (2)当函数 f (x) 在 ? ,2 ? 上单调时,求 a 的取值范围。 ?2 ?

玉溪一中 2013 届高二年级下学期期末考试 数学(文科)参考答案
一、选择题 1.A 由 x2 ? 2x ? 0 得 x ? 2 或 x ? 0 ∴ Cu M ? ?0,2? 。

2.C 令 2 x ?1 ? 1 得 x ? 1 ? 0

∴ x ? ?1 。

?a 2 ? 4 a ? 3 ? 0 3.B 由 ? ?a ? 1 ? 0
4.C 线段 AB 方程为

∴ a ? 3。

x y x y 。∵点 P 在 AB 上,∴ ? ? 1 ? ?1( x ? 0, y ? 0 ) 3 4 3 4
xy 3
,从而 xy ? 3(当且仅当

由均值不等式

x y xy ? ?2 ? 3 4 3? 4

x y 1 3 ? ? ,即 x ? , 3 4 2 2

第 4 页 共 8 页

。 y ? 2 时取=) 5.C 令 f ( x) ? 2 x ? x ? 4 6.B 7.A ∵ f (1) ? f (2) ? ?2 ? 0 ∴ f (x) 在(1,2)内有零点。

a1 ? S1 ? ?8
∵ sin ? ?

an ? Sn ? Sn ?1 ? ?10 ? 2n ,由 5 ? ?10 ? 2k ? 8 且 k ? N * ,∴ k ? 8 。

1 1 1 不能推出 ? ? 30? ,反之 ? ? 30? 则 sin ? ? 。∴ sin ? ? 是 ? ? 30? 的必 2 2 2 要不充分条件。 1 8.C 由三视图可知该几何体为圆柱和圆锥的组合体。 V ? ? ? 22 ? 4 ? ? ? 22 ? 3 ? 20? 。 3
9.C

y 2 ? 4 x 的准线为 x ? ?1 ,由抛物线定义 x ? 1 ? 4 。 ∴ x ? 3 。

10.D 从图可见,乙的得分率在低分段的多,而且较散,甲的得分集中在 30-40 分数段 且相对集中,故选 D。 (也可通过计算作答) 。 11. 令 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 9 x ? 2 , f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 9 。 f ?( x) ? 0 得 x ? ?1 或 x ? 3 B 则 令 (舍 去) 。∵ f (?1) ? 7 , f (?2) ? 0 , f (2) ? ?20 ∴ f (x) 的最小值为 f (2) ? ?20 。 ∴ m ? ?20 。 12.A 由已知 g (? x) ? f (? x ? 1) ,又 g ( x) ? f ( x) 分别为 R 上的奇、偶函数。 ∴ ? g ( x) ? f ( x ? 1) ∴ f ( x ? 1) ? ? f ( x ? 1) f ( x) ? ? f ( x ? 2) 从而 f ( x) ? f ( x ? 4) ,即 f (x) 以 4 为周期 ∴ f (2012) ? f (0) ? g (1) ? 2 。 二、填空题 13.

? ? ? ? a ?b 3 1 ? ∴ cos ? a , b ?? ? ? ? a ? b 1? 6 2

? ? ?2 ? ? ? ? 。∵ a ? (b ? a ) ? 2 ,∴ a ? b ? a ? 2 3

? ? a ?b ? 3

? ? ? ? a , b ?? 。 3

14.720。该框图的功能是计算 1? 2 ? 3 ??? N ,即 N! ∵ N ? 6 ∴ 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 720 。 15. ?

? 4 24 。∵ ? ? ? ? 0 , cos ? ? 5 7 2 2 tan? 24 tan 2? ? ?? 7 1 ? tan2 ?

∴ sin ? ? ?

? 3 , tan? ? ? , 5 4

16. 将 C1 、C2 化为直角坐标方程分别为 C1 : 2。 在椭圆 C1 内。∴ C1 与 C2 有两交点。

x2 y 2 又 (0,1) ? ? 1 ,C2 : x ? y ? 1 ? 0 , C2 过 4 3

三、解答题 17.解: (1)有序数组 (m, n) 的所有可能结果为: (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4) , , , , , , , , , , , , (4,1)(4,2)(4,3)(4,4)共 16 组。 , , , ? ? ? (2)由 am ? (am ? bn ) 得 m2 ? 2m ? 1 ? n ? 0 即 n ? (m ? 1) 2 ∴事件 A 包含的基本事件为(2,1)(3,4)共两个 ,
第 5 页 共 8 页

∴所求概率为 P( A) ?

2 1 ? 。 16 8

18.解: (1)因为 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的内角且 B ? ∴C ?

?
3

, cos A ?

4 5

3 1 3? 4 3 2? 3 ? 2? ? 。 ? A? ? cos A ? sin A ? ? A , sin A ? 。于是 sin C ? sin? 2 10 3 5 ? 3 ? 2

(2)由正弦定理 a ? ∴ S ?ABC ?

b sin A 6 ? sin B 5

1 1 6 3 ? 4 3 36 ? 9 3 。 ab ? sin C ? ? ? 3 ? ? 2 2 5 10 50
x

a ? 1 ?1? ? 1? ? 19. (1) f ( x) ? a x 图象过 ?1, ? , a ? , f ( x) ? ? ? , 解: ∵ ∴ 又点 ? n ? 1, n ? 在 f ( x) ? a x 2? 2? 2 n2 ? ? ? ?

n2 an 1 ? n ?1 ,∴ an ? n ?1 。 2 n2 2 2 2 (n ? 1) n 2n ? 1 (2) bn ? ? n ? n n 2 2 2 3 5 7 2n ? 1 ① Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n 2 2 2 2 1 3 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ② S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n?1 2 2 2 2 2 2
的图象上,从而 ①-②得:

1 3 ? 1 1 1 ? 2n ? 1 S n ? ? 2? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n ?1 2 2 ?2 2 2 ? 2

2n ? 5 ∴ Sn ? 5 2n P 20. (1)取 PD 中点 F ,连结 AF , FE 。 ∵ E 是 PC 中点, E F DC ∴ ?PDC 中, EF // DC 且 EF ? 2 D ∴四边形 ABEF 为平行四边形。 ∴ BE // AF ,又 AF ? 平面 PAD , BE ? 平面 PAD ∴ BE // 平面 PAD 。 A B (2)由(1) FE // DC , BE // AF ∵ DC ? AD , DC ? PA ,∴ DC ? 平面 PAD ,从而 DC ? AF ,即 AF ? DC 。 在 Rt ?PAD 中,∵ AD ? AP , F 为 PD 中点,∴ AF ? PD 。 又 DC ? PD ? D ,∴ AF ? 平面 PDC ,又 BE // AF ,∴ BE ? 平面 PDC 。
化简得 S n ? 5 ? 21. (1)由椭圆的定义知 AF2 ? AB ? BF2 ? 4 又 2 AB ? AF2 ? BF2 ∴ AB ?

C

4 。 3

(2)设椭圆左焦点 F1 (?c,0) ,则 l 的方程为 y ? x ? c ,其中 c ? 1 ? b 2

第 6 页 共 8 页

?y ? x ? c ? 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,由 ? 2 y 2 ,消 y 化简得: (1 ? b 2 ) x 2 ? 2cx ? 1 ? 2b 2 ? 0 x ? 2 ?1 ? b ?

1 ? 2b 2 ? 2c , x1 x2 ? 1 ? b2 1 ? b2 4 4 ∵ AB ? ,∴ 2 x1 ? x2 ? ,两边平方得: 3 3

x1 ? x2 ?

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1x2 ?

4(1 ? b 2 ) 4(1 ? 2b 2 ) 8 2 8 ,即 。 ? ? ,解得 b ? 2 2 2 2 9 9 (1 ? b ) 1? b

22.解: (1)当 a ? 3 时, f ?( x) ? ?2 x ? 3 ? 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 (2 x ? 1)( x ? 1) ?? x x

1 或 x ?1 2
?1 ? ∴ f (x) 在 ? ,1? 上递增 ?2 ?
∴ f (x) 在 ?1,2? 上递减



1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 2

当 1 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0

?1 ? ∴ f (x) 在 ? ,2? 上的最大值为 f (1) ? 2 ?2 ? ?1? ?5 ? 3 ?1? 又 f (2) ? f ? ? ? (2 ? ln 2) ? ? ? ln 2 ? ? ? 2 ln 2 ? 0 ,即 f (2) ? f ? ? ?2? ?2? ?4 ? 4
?1 ? ∴ f (x) 在 ? ,2? 上的最小值为 f (2) ? 2 ? ln 2 ?2 ?
(2) f ?( x) ? ?2 x ? a ?

1 x

?1 ? 要使 f (x) 在 ? ,2 ? 上单调必须 f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 恒成立, ?2 ?
即 a ? 2x ?

1 1 ?1 ? 或 a ? 2 x ? 在 ? ,2 ? 上恒成立 x x ?2 ?
1 1 ,则 g ?( x) ? 2 ? 2 , x x
2 2 或x?? (舍去) 2 2

令 g ( x) ? 2 x ?

令 g ?( x) ? 0 得 x ?

? 2? ?1 2 ? ? 2 ? 9 ?1? ? ? ? ? ? g (x) 在 ? , ? 2 2 ? 上递减,在 ? 2 ,2 ? 上递增,且 g ? 2 ? ? 3 , g (2) ? 2 , g ? 2 ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ?
第 7 页 共 8 页

9? ? ∴ g (x) 的值域为 ?2 2 , ? 2? ?
∴当 a ? 2 2 或 a ?

9 ?1 ? 时, f (x) 在 ? ,2 ? 上单调。 2 ?2 ?

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