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2017春高中数学第3章不等式3.3一元二次不等式及解法第2课时含参数的一元二次不等式问题课件新人教B版必修5


新课标导学

数 学
必修5 ·人教B版

第三章
不等式 3.3 一元二次不等式及其解法
第2课时 含参数的一元二次不等式问题

1

课前自主学习

2
3

课堂典例讲练

课 时 作 业

课前自主学习

一辆汽车总重量为 ω ,时速为 v(km/h) ,设它从刹车到停车行走的距离 L 与

ω、v之间的关系式为L=kv2ω(k是常数).这辆汽车空车以50 km/h行驶时,从刹
车到停车行进了10 m,求该车载有等于自身重量的货物行驶时,若要求司机在 15 m距离内停车,并且允许司机从得到刹车指令到实施刹车的时间为1 s,汽车 允许的最大时速是多少?(结果精确到1 km/h)

对于可化为形如ax2+bx+c>0(a≠0)的不等式,如果式子中含有参数,则称
含参数 的一元二次不等式. 此不等式为________ 解含参数的一元二次不等式时,需根据参数的取值范围进行分类讨论,引 起分类讨论的原因有以下几种: 正、负 . 1.二次项系数的________

0 的关系. 2.方程ax2+bx+c=0中Δ与________
大小 . 3.方程ax2+bx+c=0两根的________

正、负 , 我们在解决以上问题时,最优的处理次序是:先看二次项系数的_______ Δ 大小 . 其次考虑________ ,最后分析两根________

x-3 1.不等式 ≤0 的解集是 导学号 27542771 ( B ) x+2 A.{x|-2≤x≤3} C.{x|x≥3 或 x≤-2}
[解析]

B.{x|-2<x≤3} D.{x|x≥3 或 x<-2}


? ??x-3??x+2?≤0 原不等式可化为? ? ?x+2≠0

∴-2<x≤3,故选 B.

2.在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y),若不等式(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 成立,则 导学号 27542772 ( C ) A.-1<a<1 1 3 C.- <a< 2 2 B.0<a<2 3 1 D.- <a< 2 2

[解析] 由定义知(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 成立, 即(x-a)(1-x-a)<1 对 任意实数 x 成立. ∴x2-x-a2+a+1>0 恒成立. 1 3 ∴Δ=1-4×(-a +a+1)<0.∴- <a< . 2 2
2

3.关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2-x1=15,则 a= 导学号 27542773 ( A ) 5 A. 2 15 C. 4 7 B. 2 15 D. 2

[解析] 本题考查一元二次不等式,根与系数的关系. ?x1+x2=2a ? 2 x · x =- 8 a ? 由题意知 1 2 ?x -x =15 ? 2 1 5 5 ?a= 或 a=- (舍去),故选 A. 2 2

4 . 若关 于 x 的不 等式 x2 + x + k>0 恒成 立,则 实数 k 的 取值范 围是 1 k> ________. 导学号 27542774 4 1 [解析] 由题意,得 Δ=1-4k<0,∴k> . 4

{x|x<-a或x>1} 5.当 a>-1 时,关于 x 的不等式 x2+(a-1)x-a>0 的解集是_____________.

导学号 27542775
[解析] 原不等式可化为(x+a)(x-1)>0. ∵a>-1.∴-a<1, ∴不等式的解集为{x|x<-a 或 x>1}.

1 6.已知 f(x)=x -(a+ )x+1. 导学号 27542776 a
2

1 (1)当 a= 时,解关于 x 的不等式 f(x)≤0; 2 (2)若 a>0,解关于 x 的不等式 f(x)≤0.
1 5 2 [解析] (1)当 a= 时,不等式 f(x)≤0 可化为 x - x+1≤0, 2 2 1 ∴(x- )(x-2)≤0, 2 1 所以不等式的解集为{x| ≤x≤2}. 2

1 (2)∵不等式 f(x)=(x- )(x-a)≤0, a 1 1 当 0<a<1 时,有 >a,∴不等式的解集为{x|a≤x≤ }; a a 1 1 当 a>1 时,有 <a,∴不等式的解集为{x| ≤x≤a}; a a 当 a=1 时,不等式的解集为{x|x=1}.

课堂典例讲练

命题方向1 ?含参数的一元二次不等式的解法
解关于 x 的不等式:x2-(2m+1)x+m2+m<0. 导学号 27542777

[分析] 在上述不等式中含有参数 m,因此需要先判断参数 m 对方程 x2-(2m +1)x+m2+m=0 的解的影响,然后求解.

[解析] 解法一:∵方程x2-(2m+1)x+m2+m=0的解为x1=m,x2=m+ 1,且知m<m+1. ∴二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m的图象开口向上,且与x轴有两个交 点.

∴不等式的解集为{x|m<x<m+1}.
解法二:注意到m2+m=m(m+1),及m+(m+1)=2m+1, 可先因式分解,化为(x-m)(x-m-1)<0,

∵m<m+1,∴m<x<m+1.
∴不等式的解集为{x|m<x<m+1}.

[点评] 含参数的不等式的解题步骤为 (1)将二次项系数转化为正数; (2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式,可省去此步); (3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根,为了写出解集还要分析

根的大小).
另外,当二次项含有参数时,应先讨论二次项系数是否为0,这决定不等式 是否为二次不等式.

〔跟踪练习 1〕 导学号 27542778 已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}. (1)求 a、b 的值. (2)解关于 x 的不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0.

[解析] (1)不等式 ax2-3x+6>4 可化为 ax2-3x+2>0, ∴不等式 ax2-3x+2>0 的解集为{x|x<1 或 x>b}, ∴x1=1 与 x2=b 是方程 ax2-3x+2=0 的两个实数根,且 b>1,a>0. 由根与系数的关系, 3 ? ?1+b=a 得? ?1×b=2 a ?
? ?a=1 ,解得? ? ?b=2

.

(2)由(1)知不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0 可化为 x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x -c)<0. 当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为?.

命题方向2 ?分式不等式的解法
导学号 27542779 x-1 (1)不等式 ≥2 的解集为( A ) x A.[-1,0) C.(-∞,-1] B.[-1,+∞)

D.(-∞,-1]∪(0,+∞) 2 3 2x-1 {x| <x< } 3 4 . (2)不等式 >1 的解集为___________ 3-4x

f?x? f?x? [分析] 此类不等式求解, 要先移项通分化为 >0(或 <0)的形式再化为 g?x? g?x? 整式不等式.转化必须保持等价.
x-1 -x-1 [解析] (1)原不等式化为 -2≥0,∴ ≥0, x x
? ?x?x+1?≤0 ∴? ? ?x≠0

,∴-1≤x<0,故选 A.

2x-1 6x-4 (2)原不等式化为: -1>0,即 <0, 3-4x 4x-3 2 3 ∴(6x-4)(4x-3)<0,∴ <x< , 3 4 2 3 ∴原不等式的解集为{x| <x< }. 3 4

〔跟踪练习 2〕 导学号 27542780 3x-1 不等式 ≥1 的解集是( C ) 2-x 3 A.{x| ≤x≤2} 4 3 C.{x| ≤x<2} 4 3 B.{x|x≤ 或 x>2} 4 D.{x|x<2}

3x-1 4x-3 [解析] 原不等式可化为 -1≥0,即 ≥0, 2-x 2-x
? 4x-3 ??x-2??4x-3?≤0 ∴ ≤0,∴? , ? x-2 ?x-2≠0

3 ∴ ≤x<2,故选 C. 4

命题方向3 ?简单高次不等式的解法
x?x+2? 不等式 <0 的解集为 导学号 27542781 ( A ) x-3 A.{x|x<-2,或 0<x<3} C.{x|x<-2,或 x>0} B.{x|-2<x<2,或 x>3} D.{x|x<0,或 x<3}

A [分析] 原不等式左端是分式,右端为 0,属于 <0 型,可等价转化为 AB<0, B 即 x(x+2)(x-3)<0,依次令 x=0,x+2=0,x-3=0 得,x1=0,x2=-2,x3=3, 将数轴按此三数对应点分成四段,令 y=x(x+2)(x-3)列出 x 与 y 的对应值如表: x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,3) 3 (3,+∞) y - 0 + 0 - 0 +

故不等式 x(x+2)(x-3)<0 的解集为(-∞,-2)∪(0,3).

[解析] 原不等式等价于 x(x+2)(x-3)<0. 结合数轴穿根法(如图)可知:

x<-2 或 0<x<3,故选 A.

〔跟踪练习 3〕 导学号 27542782 解关于 x 的不等式:x(x-1)2(x+1)3(x-2)>0.
[解析]
? ?x?x+1??x-2?>0 原不等式可化为? ? ?x-1≠0

? ?-1<x<0,或x>2 ?? ? ?x≠1

?-1<x<0,或 x>2.

∴原不等式的解集为{x|-1<x<0,或 x>2}.

命题方向4 ?不等式恒成立的问题
关于 x 的不等式(1+m)x2+mx+m<x2+1 对 x∈R 恒成立,求实数 m 的取值范围. 导学号 27542783

[分析] 首先考虑二次项系数是否为零, 化简后, 需要对 m 对进行讨论. m≠0 时,可利用三个“二次”之间的关系求解.

[解析] 原不等式等价于 mx2+mx+m-1<0 对 x∈R 恒成立, 当 m=0 时,0· x2+0· x-1<0 对 x∈R 恒成立. 当 m≠0 时,由题意,得
? ?m<0 ? 2 ? Δ = m -4m?m-1?<0 ? ? ?m<0 ?? 2 ? ?3m -4m>0

m<0 ? ? 4 ?m<0. ?? m<0,或m> ? 3 ? 综上,m 的取值范围为 m≤0.

[点评] 一元二次不等式恒成立时满足条件 (1)ax +bx+c>0 恒成立(或解集为
2

? ?a>0 R)时,满足? ? ?Δ<0

; ;

(2)ax2+bx+c≥0 恒成立(或解集为 (3)ax +bx+c<0 恒成立(或解集为
2 2

? ?a>0 R)时,满足? ? ?Δ≤0

? ?a<0 R)时,满足? ? ?Δ<0

; .

(4)ax +bx+c≤0 恒成立(或解集为

? ?a<0 R)时,满足? ? ?Δ≤0

〔跟踪练习 4〕 导学号 27542784 已知不等式 ax2+(a-1)x+a-1<0 对于所有的实数 x 都成立,求 a 的取值范 围. [解析] 若 a=0,则原不等式为-x-1<0,
即 x>-1,不合题意.故 a≠0. 令 f(x)=ax2+(a-1)x+a-1, ∵原不等式对任意 x∈R 都成立.

∴二次函数 f(x)的图象在 x 轴的下方. ∴a<0 且 Δ=(a-1)2-4a(a-1)<0.
? ?a<0 即? ? ??a-1??3a+1?>0

1 ,∴a<- . 3

1 故 a 的取值范围为(-∞,- ). 3

若函数 y= kx2-6kx+?k+8?的定义域为 R,则 k 的取值范围是 ________________. 导学号 27542785

[错解] 0<k≤1 由题意知 kx -6kx+(k+8)≥0 即 k 的取值范围是 0<k≤1.
2

? ?k>0 恒成立, ∴? 2 ? Δ = 36 k -4k?k+8?≤0 ?

, ∴0<k≤1,

[辨析]
致错误.

错解忽视了k=0时,kx2-6kx+(k+8)≥0也成立,考虑问题不全面导

[正解] 0≤k≤1 由题意 kx2-6kx+(k+8)≥0 恒成立.当 k=0 时满足,当 k≠0 时,由题意得
? ?k>0 ? 2 ? △= 36 k -4k?k+8?≤0 ?



∴0<k≤1,综上得 0≤k≤1.


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