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江苏省数学竞赛提优教案:第04讲 集合的概念与运算


第 4 讲 集合的概念与运算 本讲内容包括集合及其性质(集合的元素满足确定性、互异性、无序性) ;元素与集 合、集合与集合的关系(属于、包含、子集、空集、全集) ;集合的运算(交、并、补)及 容斥原理等。 “交、并、补”是集合的三种运算。它们的含义可以用“且、或、非”来理解。这对于 运用集合语言描述数学现象, 或解读运用集合语言描述的问题都有帮助。 集合及其运算 还有如下一些常用

的性质和公式: 若 A ? B ? B ,则 B ? A ; 若A? B ? B ,则 A ? B ; A? B ? B ? A; A? B ? B ? A; ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) ; ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) ; A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ; A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ; [I ( A ? B) ? [ A ? [ B ; I I [I ( A ? B) ? [ A ? [ B . I I 容斥原理 在需要对某一个有限集合的元素进行记数时,为了便于计算,常常通过计 算它的若干个子集的元素个数来实现。实质是将整体计数问题转化为局部计数问题。 我们 将此类计数公式通称为容斥原理。 “容”意指这些子集的并集是原集合, “斥”意指这些子集 中两两交集不是空集时,需要将重复的元素个数排斥掉。 通常以 | X | 表示有限集合 X 中元素的个数, 参照 Venn A B 图可以得到如下计数公式: | A ? B |?| A | ? | B | ? | A ? B | C A B | A? B ?C | ?| A| ? | B | ? |C | ?| A? B | ?| B ?C | ?|C ? A| ? | A? B ?C | ?? A 类例题 例 1 已知数集 A ? { a ? 2 , (a ? 1) 2 , a 2 ? 3a ? 3} , B ? { a ? b , 1, a ? b ? 5 } 。 若 A ? B ,求实数 a , b 的值。 分析 两个集合相等是指这两个集合的元素完全相同。由集合中元素的互异性及无序 性,集合 解 A 中三个元素有且仅有一个为 1。椐此可求出 a ,进而求出 b 。 由A ? B ,得1 ? A 。 a ? 2 ? 1 ? a ? ?1 ; (a ? 1) 2 ? 1 ? a ? 0 或 a ? ?2 ; a 2 ? 3a ? 3 ? 1 ? a ? ?1 或 a ? ?2 . 由集合 A 中三个元素有且仅有一个为 1,得 a ? 0 , A ? {1, 2 , 3} , B ? {1, b , 5 ? b}。 由 A ? B ,得 b ? 2 或 b ? 3 。 ? 0, b ? 2 或a ? 0, b ? 3。 因此,所求实数为 a 例2 集合 M ? { u | u ? 12m ? 8n ? 4l , m , n , l ? Z } N ? { u | u ? 20 p ? 16q ? 12r , p, q, r ?Z} ( ) 的关系是 A M ?N B M ?N N?M C M?N D M ?N (1989 年全国高中联赛) 分析 1 解1 通过化简,认识这两个集合中元素的特征,进而作出判断。 12m ? 8n ? 4l ? 4(3m ? 2n ? l ) ,而 3m ? 2n ? l 可取任意整

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